“串联”“并联”法在初中数学相似三角形试题命制中的应用

一道数学试题之所以能够同时考查多个知识，是因为所考查的数学知识之间存在着内在逻辑联系，这种内在逻辑联系为数学试题的命制提供了多样的可能.由于数学知识之间的内在逻辑联系类似于物理学中的“串联”“并联”电路，故本文将基于这种理解，提出“串联”“并联”命题方法，并借助一道相似三角形试题的命制过程阐释这种命题方法.

1 数学知识的“串联”与“并联”

数学知识包括定理、公式、法则、定义、公理等，这些可以统称为数学命题[1]，人教版初中七年级下册教材指出命题由题设与结论两个部分组成，通过题设与结论的组合，衔接形成具备逻辑性的判断语句，因此数学知识可以表述为包含题设与结论的语句.当数学试题考查单一知识点或多个知识点时，实际上就是考查题设与结论的逻辑联系，而这种逻辑联系从其衔接结构来看，类似于物理电路组成方式中的“串联”“并联”，

在电路中，串联只有一条路径，所有的电子元件首尾依次连接.当数学知识发生“串联”时，所有的题设与结论首尾相连，构成一条逻辑推导思路.单一知识由单个题设推导出结论，形成“串联”;当一个数学知识的结论可以作为另外一个数学知识的题设时，那么这两个知识就形成了“串联”;当题设推导出结论，结论又作为新的题设推导出结论，如此反复，从而实现多个数学知识的“串联”.

在电路中，并联电路有多条路径，最后汇总到一条主路径，当数学知识发生“并联”时，多个题设或结论组合作为题设，推导出结论.单一知识由多个题设共同推导出结论，形成“并联”;多个知识的结论共同作为新的题设推导出结论，形成“并联”.

数学试题在命制过程中，“串联”与“并联”方法可同时使用，二者并不矛盾，因为两种方法本质上均是基于题设与结论的逻辑联系.

2 数学试题命制基本流程

2.1 选择知识内容

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称为课标）指出，初中数学内容分为数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践四个部分.

2.2 确定考核目标及知识点数量

根据初中数学学业考试的相关要求，结合试题考核难度要求，并依托数学知识点之间的内在联系，即数学知识点题设与结论之间的联系，确定可参与考核的知识点及数量.

2.3 单一知识点的“联前”整理

在对多个知识点进行“串联”或“并联”之前，先对每一个知识点的侧重程度、显隐性、正逆向、表征方式进行处理.

（1）明确知识点侧重点

根据课标中课程内容的水平要求，确定主考知识点、次考知识点;

（2）明确知识点显隐性

根据课标中课程内容的水平要求，确定知识点题设或结论的显隐性程度.在隐性程度的提升方面，为使得试题所给定条件抽象化、形式化，解题需多步骤进行[2]，可对题设或结论采取隐藏，调换、等价转化表述、多次“串联”或“并联”衔接生成、添加实际背景等方法.

（3）明确知识点正逆呈现方向

根据课标中课程内容的水平要求，确定知识点正逆呈现方向，明确题设与结论.初中数学教材给出的知识点一般视为知识的正向呈现，如果调换题设与结论就视为该知识点的逆向呈现，比如人教版七年级下册数学教材中先给出平行线的判定方法，可视为知识点的正向呈现，如果将其题设与结论调换，也就是平行线的性质就可视为知识点的逆向呈现，一般而言，逆向呈现的知识点在难度上以及隐性程度上比正向呈现的知识点大，因此可通过调换题设与结论来提升知识点的隐性程度.

（4）选择知识点表征方式

数学试题可通过文字、符号、图象三种语言来表征.

（i）文字表征

數学概念、性质、公理、定理、判定方法、命题等通常以文字形式呈现，在试题命制中，可将知识点的题设或结论使用文字进行表述.

（ii）符号表征 常见于数学公式、性质、定义等，在试题命制过程中，可将题设或结论借助符号来表示.

（iii）图象表征

数学知识点以表格、图象、几何图形、平面直角坐标、统计图等方式呈现，常见于函数模块、几何模块、统计与概率模块等;在试题命制过程中，可将题设或结论以图表形式来表达.

（iv）对数学知识点进行“串联”“并联”衔接

根据知识点题设与结论之间的内在逻辑联系，确定数学知识点的出场次序，明确知识点“串联”或“并联”衔接结构.

3 试题生成范例

3.1选择知识内容 考查的知识内容为数与代数中的二次函数、图形与几何中的等边三角形和相似三角形;

明确知识点侧重点：主考知识点为相似三角形、二次函数，次考知识点为等边三角形.

3.2建构等边三角形

（1）等边三角形隐性呈现

（i）使用几何画板绘制等边三角形ACED，隐藏ED，在CD上任意取点F，在等边三角形内部构造ACEF.

（ ii）设置几何图形的变换.如图1，将△CEF绕着点C旋转60°，产生△CDA，构造“手拉手”模型.

此时发现，若连接AF，则始终能保证△CFA是等边三角形，CE∥AF.

以上两个步骤实现等边△CED和△CFA的隐藏.

（2）多个知识点“并联”一结论到题设逆向推导

为推导△CFA是等边三角形，先借助等边三角形的判定方法之一“有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形”找出该判定方法中的题设与结论如下：

题设 如果一个三角形的一个内角是60度，并且这是个等腰三角形;

结论 那么这个三角形是等边三角形.

从结论到题设的逆向推导使用符号语言表示如下：△CFA是等边三角形<=>CF= CA且△CFA内有角为60°.

将题设中的等腰三角形作为结论1，将内角为60°作为结论2，逆向推导继续寻求其题设.

结论1 CF= CA.

逆向推导，寻得题设至少五种方案：

①△CEF由△CDA旋转而来;

②△CEF≌△CDA;

③∠CFA= ∠CAF;

④让点C落在线段FA的垂直平分线上;

⑤令线段CF，CA的长度数值相等.

结论2 ACFA内有角为60°.

逆向推导，寻得题设至少四种方案：

①给定C，F，D，A等点的坐标，使得能通过三角函数值求得角度;

②借助△CFA三边相等来求角度;

③构造与△CFA相似或全等的某个等边三角形;

④令CA∥x轴并结合“手拉手”模型.

在设置数学试题己知条件时，就可以从题设方案中进行选择，比如选择题设“△CEF由△CDA旋转而来”和题设“令CA∥x轴”.

将上述（2）中知识点“串联”“并联”的衔接结构用图表达如下（如图2所示）.

3.3衔接平面解析几何

（1）多个知识点“串联”

固定几何图形在二维平面内的位置.

（i）借助几何画板，将“手拉手”模型与平面直角坐标系整合，整合后使得点E，D落在x轴上，且点E，D关于y轴对称，让点C落在y轴正半轴上，不要刻意将∠A弄成直角，否则会造成学生错觉（如图3所示）;

缺漏说明：此时“手拉手”模型的大小并未确定，因此可以借助固定该模型中的某些点的位置或线段长度来确定模型大小.

（ ii）“手拉手”模型中点坐标的位置可以借助二次函数来给定，比如设置开口向上的、以点G为顶点的二次函数图象经过点A（如图4所示）;缺漏说明：借助几何画板发现，令二次函数图象经过点A不足以固定点A位置，因此需要添加条件，使得点A与二次函数具备两种限定关系.

（2）多个知识点“并联”

添加条件“令点A，F，G在同一直线上”，或添加一次函数，使得点A，F，G都在一次函数图象上.

将上述3.3中知识点“串联”“并联”的衔接结构用图表达如下（如图5所示）.

3.4 引入相似三角彤

（1）连接线段，找平面图形中的固定三角形、固定大小和位置的三角形至少有三种：

①令抛物线图象与x轴分别交于点I，J.过点G作GB⊥x轴于点B，此时连接JG，产生△JBG，形状大小固定（如图6所示）;

②连接点A，G，线段AG交x轴与点M，过点G作GB⊥x轴于点B，产生△BMG，形状大小固定（如图7所示）;

③连接线段EF交y轴于点K，产生ACKD，形状大小固定（如图8所示）;

（2）单一知识点“串联”一设置与几何图形运动或变化属性相关的问题

知识点正向呈现：给定动点位置，使得动三角形与固定三角形相似，现隐藏题设中的动点位置，将动点位置作为问题来设置.

针对①中的固定三角形，设置问题如下：如图6，在抛物线上设置动点P，作PK⊥x轴，点K为垂足，问是否存在点P使得△JBG与△PIK相似;

针对②中的固定三角形，设置问题如下：如图7，在x軸上设置动点P，问是否存在点P使得ABMG与APAM相似;

针对③中的固定三角形，设置问题如下：如图8，在抛物线上设置动点P，连接线段FG交x轴于点N，问是否存在点P使得△PNG与△CKD相似，

以上三种问题设置均可，都是与初中几何相似三角形有关.

3.5预设问题

一般预设三个小问题，问题的设置要考究难度梯度，三个小问题难度逐渐增大，设置常规、计算量合理的二次函数，并逐一验证计算三个小问题;

3.6将题设用文字、符号、图象语言表征形成题干

如图9，在平面直角坐标系中，抛物线y= √3/6（x+4）2—3√3经过点A，点G为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在x轴的正半轴上，ACAD绕点C顺时针旋转得到△CEF，点F落在线段CD上，点E落在x轴的负半轴上，CA∥x轴，点A，F，G在同一直线上.

3.7设置问题

（1）连接AF，求∠CFA;

（2）求点A的坐标;

（3）连接EF交y轴于点K，连接F交x轴于点N，连接皿，问抛物线上是否存在点P使得△PNG与△CKD相似.如果存在，请求出点P坐标，如果不存在，请说明理由.

参考文献

[1]韩龙淑，屈俊，李晓芬等，基于启发式数学教学思想的命题教学设计——以“一元二次方程的求根公式”为例[J].教学与管理，2012 （11）：69-71

[2]余清莺，高中数学知识应用维度的调查研究——以数列为例[D].福建：福建师范大学，2017

[3]柯跃海，选拔性数学考试的命题与评价[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018

[4]许芬英等，数学命题技术研究[M].杭州：浙江教育出版社，2017，

[5]孔凡哲，中考数学命题技术探析[J].中学数学教学参考，2016 （5）：