2020年全国高考数学l卷理科第18题的评析与思考

卢秀敏

立体几何能突出数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养的考查，是历年各地高考试题的一大阵地，考生在立体几何模块的得分情况很大程度地影响了其在高考中的成绩档次，因而提高立体几何的得分率就显得非常重要.本文以2020年高考全国I卷理科第18题为例，谈谈本题的解法及典型错误分析，并提出高三模块复习的教学建议，期望对后续高三复习备考有所帮助.

1 试题及标准答案展示

2 试题评析

本题以考试熟悉的圆锥与正三棱锥的组合体为背景，通过对线面垂直的证明、二面角的平面角的余弦值的求解，考查目标是考生的数学思维严密性及数学运算的准确性，试题立足教材又高于教材，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养对立体几何模块的知识要求及能力要求，试题难度适中，福建省的整体平均分约为4.5分，难度系数0.6-0.7.

从考生答题情况看，本题的设计符合新高考命题模式：针对不同数学基础，不分文理科，但又是有文理思维不同的文理科同题考查，给考生提供了充分的想象空间和多角度的思维平台.考生入题较容易，同时又有不同维度的观察角度和相应计算难度，要求考生准确选择解题方向，因此不少考生得不到高分.

3考生答题情况分析

第（1）问（1）目标

证明线面垂直，关键是在平面PBC中找到两条相交直线都与直线PA垂直，本小题设置为5分，标准解法中数据分析2分，由勾股定理确定线线垂直各1分，判断线面垂直1分，考查了数据分析，数据处理，逻辑推理能力.

（2）第（1）问的典型错误集锦 数据运算中未设定具体长度，导致运算复杂化，进而结果有误;没有数据分析过程，直接“易得”“由题可知”“由图可知”满足勾股定理;判定定理运用出错，“两条相交直线”只找到一条;线面垂直的判定中目标选择错误，如PA⊥PE，PA⊥CE等.

（3）其它解法及错因

方法1取线段BC的中点F，可证得PA⊥ PF.

此解法引入了辅助点、线，将数据运算统一集中到了APAE中，可利用题设分析APAE中的各线段长度，进而由勾股定理得出结论;也可利用对应边成比例，得三角形的相似，进而得出垂直关系.

较普遍的错误典型为BC⊥面PAD，PA 面PAD，BC 面PBC=>PA⊥面PBC.原因：对线面垂直关系的判定定理不熟悉，胡乱应用.

③因为三棱锥P- ABC为正三棱锥，所以对棱PA⊥BC.此解法直接利用特殊几何体的基本线面位置关系.

错误解法将三棱锥P- ABC判断为正四面体;由三棱锥P-ABC为正三棱锥可得侧棱两两垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC.

错误解法建系方向错误;点坐标运算错误;向量坐标运算错误;法向量求解错误;法向量n与PA的关系判定出错.典型错误代表：因为n.PA -0，所以n∥PA.错因：向量之间的运算关系与线面位置关系的转化混乱，基本理论依据不熟悉.

本解法巧妙之处在于将代数关系与几何关系很好地进行转化，可见该考生的思维很好.

第（2）问（1）目标

求二面角B-PC-E的余弦值.

（2）解题思路

建系→求点→求平面向量→求平面法向量→应用向量数量积求夹角余弦值→二面角的余弦值.

（3）考查知识点

立体几何与平面几何的转化，几何问题代数化，数学运算能力.

（4）给分原则

建系（方向及长度）1分，点坐标2分（关键点能算对一个即给1分），关键向量1分，法向量2分，余弦值1分.

（5）失分情况

①建系时仅有方向，没有规定单位长度;

②图中点与线的位置关系分析有误，导致关键点的坐标错误;

③求法向量时，解方程组过程运算出错，或者x，y，z三者的顺序出错;

⑤由于本题的坐标原点可在O，A，B，C，P，AABC三边中点等位置，坐标系单位长度可自由设定，x，y两轴方向可旋转，导致学生在太多的选择中变成无法选择，表明学生在建模方向上的选择困难症状.典型错误代表：C为x轴，CB为y轴;O为x轴，OB为y轴.

⑥直观想象图中∠BCE，∠BPE或者∠BPC即为二面角B-PC-E的一个平面角，目标明显错误.

（6）其他解法赏析

由第（1）问的数据分析可得四棱锥P- ABC为正三棱锥，且PA⊥PB⊥PC，以下解法中设OA=1.

方法1面积射影法

4 高三对立体几何模块的教学定位及复习建议

（1）加强常规立体几何模型（柱、锥、球等）的认识

加强常规立体几何模型（柱、锥、球等）的认识，增强空间及平面图形中点、线的位置关系的辨别，培养建立合理的優化运算的坐标系模型（尽可能的使关键点都在坐标轴上或坐标面内），是正确解题的关键.

从2020年各地的高考试题中发现对立体几何的考查，所铺设的空间模型都是基本的简单几何体为主，如全国I卷的第3题：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.全国Ⅱ卷第20题：已知三棱柱ABC- A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形.这一条件指明了研究对象为特殊的正三棱柱.全国Ⅲ卷的第19题的题设条件为“在长方体ABCD - A1B1C1DC中”，山东卷第20题：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.研究主体也是一个简单的常见的几何体.

这些题只需考生能够分析简单的柱、锥、台、球等几何体，就可以考查学生的读图能力、空间想象能力，再结合逻辑推理和数学运算的要求，就可取得多维度的能力考查，使学生明确了立体几何的考查要求，又实际演练应答方式，既激发了学生的学习热情，也提升了学生的学习立体几何的信心.

（2）加強对立体几何公理、定理、推理的认识和理解

立体几何众多的公理、定理、推理，是立体几何的一个特色，也是准确推理的前提，对于立体几何众多的公理、定理、推理，不仅要知其然，更要知其所以然，做到了然于胸.

（3）加强运算素养的培养

加强运算能力的提升训练，主要是细化到位，如线中寻点，面中觅点，两点成向量，向量的数量积及模长运算等基本环节.

数学核心素养中的运算求解能力具有鲜明的数学学科特点，是学生学习数学必须具备的能力，也是数学教学中着力培养的、数学考试着重考查的能力[1].高考试题在立体几何模块第二问的设置上主要集中为对空间角的求解，主要是通过代数运算解决问题，其中对关键点的坐标分析是成功的第一步.为鼓励学生将本题的目标确定为满分，在复习过程中，建议慢工出细活，追求准确性地进行运算.全国I卷的第18题就可以作为课堂复习例题，要求学生分别以O，A，B，C，P，△ABC三边中点等位置为空间直角坐标系的原点，计算出关键点的坐标，再变换不同单位长度，重新计算关键点的坐标，进而提升了运算能力.

（4）加强逻辑推理的训练

加强逻辑推理的模式训练，运用分析法，由目标制定推理框架，再依据题设，结合判定定理和性质定理进一步完善框架，因而点、线、面位置关系的判定定理及性质定理的记忆尤为重要，可分类整合，辨析记忆，精选例题，反复运用以致熟烂于心.

要梳理好几种位置关系的常见基本证明方法，比如求证线面垂直，既可通过线线垂直，也可通过面面垂直实现;求证线面平行，既可由线线平行判定，也可通过面面平面判定.在解题时要善于从题目己知条件出发联想判定定理、由待证结论联系判定依据，即分析法与综合法相结合来寻找证明思路;要培养学生缜密逻辑思维，避免使用一些虽正确但教材中未作为定律或推论的二级、三级结论来证明.

（5）加强增分能力的训练

加强解题增分能力的训练，如本题第（1）问即可建立坐标系，可在第（2）问中“由（1）可知”，延用第（1）问的计算结果，节约了计算量，节省了解题时间.再如第（1）问中利用勾股定理证得PA⊥PB后，根据PB，PC两者的对称关系，同理可得PA⊥PC.克服会而不对，对而不全的毛病.特别是定理的运用，一定要满足所有条件，才能推出结论.

立体几何在历年的高考试卷中的分值设置比例较高，通常是两小题一大题，共计22分，而且该模块分值是学生“蹦一蹦”就能够着的内容，所以教师对学生的高三复习备考过程要加以重视，在课堂教学过程中激发学生的挑战热情，锻炼学生的空间想象能力，注重对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的渗透，同时着重研究提高学生解题效率及简化学生解题思维的解题方法，这样才能实现立体几何的高效率、高质量教学.[2]

参考文献

[1]任子超，赵轩，基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径[J].中国考试，2019 （12）; 27-31

[2]陈学亮，高考立体几何题的解析及所涉模块的教学启示[J].福建基础教育研究，2019 （08）：8-11