从科研思想角度出发对高等数学中泰勒公式的一点浅析

谭秀辉 王鹏 李有文 张庚为

[摘           要]  从泰勒公式在科研中的应用出发，讨论了对同一函数的逼近问题中设置不同的泰勒展开点及泰勒展开式阶数的重要作用，为泰勒展开式的实际应用提供一定的参考依据。

[关    键   词]  泰勒公式;泰勒展开式误差;科研思想;高等数学

[中图分类号]  G642                   [文献标志码]  A                 [文章编号]  2096-0603（2022）25-0052-03

现阶段是科技高速发展的时代，是一个急需各类高素质创新型人才的时代，高校承担着培养科技人才的主要任务，因此培养出具有一定科研素质及科研能力的本科毕业生是本科教学阶段的一个重要任务。高等数学课程是工科专业本科生的必修课程，也是工科类学生在各自研究领域必然会应用到的知识储备，在有限的学习时间内，高等数学课程的教学内容多而广，同时教学要求往往在短短的两个学期内完成，这就会造成很多時候学生对高等数学课程的学习往往只停留在知识点的表面，看似已经掌握了，但当真正遇到科研问题时往往不能够将相应的知识与问题自然地联系起来，要做到游刃有余地将高等数学知识应用于问题之中仍存在很大的差距。一方面掌握了高等数学这门基础知识工具的学生，并不知晓这些工具知识的深远意义及实际用途。另一方面当他们进入更高层次学习阶段进行具体问题研究时，面对已修过的数学基础知识又茫然不知从何入手。因此，在高等数学教学中对一些知识点教授需要教师进行深入的研究和设计。

泰勒公式是高等数学教学中的难点、重点，也是教学方法讨论比较多的对象[1]。很多学生对这一部分知识的学习带有一定的抵触情绪，主要源于泰勒公式的表达形式较繁杂，这是因为学生对泰勒公式的本质及作用不能深刻体会。此部分的教学步骤通常沿用教材中的安排：首先介绍定理内容，其次进行证明，再次是一些基本函数的泰勒展开式，最后介绍一些简单的应用。这样的教学安排从逻辑推理上非常严谨，但对学生的学习理解过程并非最佳。为了让学生更好地理解泰勒公式的内涵，很多更加生动的导入方法被提出，如例题导入法、直观导入法、类比法、误差“捡回法”[1]等。

绘制各点处不同阶数泰勒展开式对应的图形如图1，为了对比方便，区间分别取以展开点为中心、6为半径的区间进行观察。可以看到，从二阶展开式一次函数的直线型拟合逐步过渡到越来越接近原曲线走势的八阶多项式展开式对应图像，随着展开式阶数的增加对函数f（x）=ex的近似逼近程度越来越高，由于在展开处具有相应阶数导数相等，因此曲线具有相同的性态，并且这种共同的性态随着泰勒展开式阶数的提高而增多，因此拟合精度更高。当自变量远离展开点时，这种共同性态的误差逐渐显现，随着展开阶数的增加可以看出误差“捡回”[3]的过程。

如图2所示为泰勒展示与函数f（x）=ex真实值之间的绝对误差，同样在以展开点为中心、6为半径范围内进行绘图。可以看出在不同点处进行泰勒展开式时，其附近的绝对误差是有区别的，同样是距离中心点距离相等的点处，误差的数量级有巨大的差别，同样距离展开点距离为6的点处，相同阶数展开式的绝对误差数量级从10变化到105，这与f（x）=ex曲线不同区间形态变化的剧烈程度密切相关。因此在具体问题的泰勒公式应用过程中，要密切关注这一因素所引起的变化。

总之，对于泰勒公式的理解需要向学生强调以下几点：第一，泰勒公式以增加更高次数幂函数项使函数逼近精度不断提高，这种精度上的提高依据具体要求而定，展开项数可进行调节。第二，泰勒公式的展开是以x0为中心进行的，即要求所处理的问题要在x0处具有各阶导数，并且导数值易于求出。第三，泰勒公式的近似是以x向x0的接近程度为前提的，因此要明确问题所考虑范畴是否围绕x0进行，即选择恰当的x0点处对函数进行泰勒公式展开也是具体问题中的重要因素。

参考文献：

[1]智红燕，张丹青，张艳华，等.“泰勒公式”的导入与剖析[J].教育教学论坛，2021（1）：125-128.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]康建梅，陈占华，郑丽霞，等.对“泰勒公式”教学的探讨[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2017，30（3）：139-141.

编辑 马燕萍

An Analysis of Taylor’s Formula in Higher Mathematics from the Perspective of Research Thought

TAN Xiu-hui，WANG Peng，LI You-wen ，ZHANG Geng-wei

Abstract：From the application of Taylor’s formula in scientific research， the important role of setting different Taylor expansion points and the order of Taylor expansions in approximation problems for the same function is discussed to provide some reference basis for the practical application of Taylor expansions quality of students’ mathematical thinking.

Keywords：Taylor formula;error of Taylor’s formula;scientific research thought;Advanced Mathematics