在概率与统计教学中培养学生的不确定思维

李磊

人们比较习惯用一种很确定的思维方式来思考问题，习惯去问“它对吗？”但是，确实存在一些无法得出准确结论的问题，例如，统计与概率领域，对于一些分析统计问题的方法、根据数据得出的结论、由此给出的建议，却很难用“对不对”去衡量。我们需要知道的是“这个方法好吗”“这个建议合理吗”，这就需要用一种不确定的思维方式去思考统计问题，用“好不好”作为判断统计问题的标准。本文以“概率与统计”的教学为例，简要阐述如何培养学生的不确定思维。

1.设置开放型的情境，在经历统计中体会不确定思维

统计学的研究对象是数据，无论是数据的采集还是分析，一旦脱离其现实的背景，就失去了统计的意义。一个合适的现实情境是学生分析统计问题，进入数学思考的关键。情境的设置要注意开放性。开放性是指关注的角度要广，不能限制学生思考的路径和空间。这样，学生在开放的情境中会遇到真实的问题，而由于情境的开放性没有限制学生的思维，学生可以大胆思考各种可能性，而非唯一路径或结论。

例如，在学习“统计图的选择”一课时，学生经过六年的统计内容学习，积累了一定的统计内容经验，我们按照教材思路设计了一个奥运会的情境，呈现几届奥运奖牌排名的数据，让学生根据这些数据，提出并解决自己感兴趣的奥运问题，教师在解决问题中渗透统计图的选择。我们不给定统计图限定学生的思维，而是让学生自主思考，以自己最喜欢的方式将数据呈现出来，并让学生解释为什么要采用这样的统计图。在各种不同方面、不同方法的对比中，学生的不确定思维得以培育。

2.鼓励合理质疑，在质疑与分析中习得不确定思维

“学贵质疑”，质疑能让我们从多个角度去思考统计问题，它是不确定思维的重要前提和基础。

第一，对数据收集的质疑。

統计的基本思想是尊重事实、用数据说话，数据的重要性不言而喻。对于数据收集，我们可以从数据的代表性和数据的可操作性进行质疑。数据的代表性即这些数据可否支撑并因此得出结论，这些数据的来源是否合适，数据的样本大小是否合适。数据的可操作性即我们能否收集到这些数据吗，可以收集到多少。

例如，我们要帮学校建议设置的活动课种类，样本可能来自哪儿？学生可能会有以下回答：“我们几个要好的同学的爱好”“某一个班的学生调查数据”“一个年级学生的调查数据”。我们可以组织学生对这几种样本来源进行讨论，提问学生：“你觉得哪一种比较合适，为什么？”学生在讨论过程中会提出“这可能是我们这几个人的想法，其他人不这么想”“这是我们班的想法，其他班的人要是不这么想呢”“整个年级的人都调查了，倒是所有人都想到了，可是这么多人，整理起来就太困难了”“能不能每个班调查一些人”“每个班调查的要男女都有”。如果只问某一个人群，数据可能代表的是某一个人群的意见，并不能代表全部。所以，“用数据说话”得出的结论一定要有前提条件。那么，如何才能代表全部呢？学生就这样在不断质疑中习得了不确定思维，并真正理解了数据统计与概率知识的本质。

第二，对数据处理与分析的质疑。

数据的处理方式有多种，我们都知道需要根据不同的背景，选择不同的数据处理方式。处理与分析问题方式的不同会带来不同的结果。

例如，我们要对购买图书提出一些建议。通过整理已有图书，发现科幻类的图书最多，自然类的图书最少。由此，能提出哪些建议？我们经常听到这样的建议：“喜欢科幻类图书的人最多，所以科幻类的图书要多买一些，自然类的图书少买一些。”一定是这样吗？如果有学生提出质疑：“我们应该兴趣多种多样，喜欢自然类图书的人少，就应该加大宣传，改变方式，让更多人喜欢上自然类的图书。”也可能有学生补充：“这是班里购买图书的建议，如果是成人图书馆购买图书，就可以按照读者的兴趣爱好去购买，喜欢的人多就多买，喜欢的人少就少买。”或是教师带领学生提出质疑：“一定是这样吗？有没有不是这样的情况？”引导学生对数据处理与分析的质疑，也会发展学生的不确定思维。

3.训练数学语言，在数学表达中训练不确定思维

语言是思维的表达，数学语言的训练是内在数学思维培养的外化。数学语言的训练可以让学生用统计语言完整严谨地论述问题和答案。

第一，不确定思维需要完整性表达。

完整性是指说话要把一句话尽可能说完整，把考虑到的情况说完整。比如，在教五年级上册“等可能性”时，教师问：“把红、黄、蓝、绿四种颜色的球放到袋子里摇均匀，我会抓到什么颜色的球呢？”有些学生急于回答“红色”或是“黄色”“蓝色”“绿色”，这样的回答是一种确定性思维方式的回答。如果以一种不确定的思维来回答，应该说“我觉得可能抓到红色的球”。完整的论述中又能对这个问题进行再次思考与反思：“我还可能抓到蓝色或是绿色的球。”“我没法确定会抓到什么样的球，抓到每种球的可能性是一样的。”

第二，不确定思维需要严谨性表达。

针对同样一组数据，不同的处理方式会得出不同的结论。在表达中要注意这些词汇的运用，如“可能”“会好一些”“××更合适”。我们可以用不同的方式表达同一个问题，让学生自己观察、感悟和对比。

不确定思维为学生的思维培养打开了一扇窗户，让学生看到确定世界之外的世界。不确定思维不是静态的，而是动态的、生动的，这是学生创造能力与实践能力养成的基石。数学教育要重视学生这种思维方式的形成和培养，但同时又要注意，切不能将学生引入怀疑和相对主义的深渊，这不但不会促进学生的思维发展，还会给学生带来学习和生活的困扰，影响学生的身心发展。

编辑 _ 张晓震