离散分数阶忆阻系统建模及其在Logistic 映射中的应用

李小敏,王 震

(西京学院 理学院,陕西 西安 710123)

根据电路基本变量组合完备性原理,1971 年蔡少棠[1]教授预测存在一种描述电荷量与磁通量关系的非线性双端无源电路元件,并将这种元件定义为记忆电阻器,简称忆阻器。长久以来,由于没有发现满足忆阻特性的实际元件,使得忆阻器及其电路的研究没有引起研究者的重视。直到2008 年,惠普公司实验室Strukov 团队[2]使用纳米技术掺杂TiO2薄膜成功研制了具有忆阻器特性的实物器件,首次报道了忆阻器硬件的实现,在全世界引起了轰动。

忆阻器包括荷控(或称为流控)忆阻器和磁控(或称为压控)忆阻器两类非线性元件,其主要区别在于主导量的不同,荷控忆阻器的主导量是电荷量,磁控忆阻器的主导量是磁通量。忆阻模型又分为物理器件模型和数学理论模型两大类。常见的有HP TiO2线性杂质迁移忆阻模型、HP TiO2非线性窗函数忆阻模型、分段线性忆阻模型和二次、三次非线性忆阻模型。紧磁滞回线是忆阻的最基本特征,是判断一个模型是否为忆阻模型的重要依据。包伯成教授[3]在其著作《忆阻电路导论》 中详细介绍了各种类型的忆阻模型。由于忆阻器是一种有记忆功能的非线性电子元件,并且具有模拟人类大脑神经功能的超级能力。因此,忆阻模型被广泛应用于混沌系统[4-5]、控制工程[6]、神经网络[7-9]及信号处理[10]等领域。

上述忆阻器模型都是整数阶模型,然而,相比于整数阶,分数阶微积分可以更好地描述具有记忆和遗传特性的系统。近年来,分数阶微积分在各个领域的研究成果层出不穷,如生物学[11-12]、物理学[13]、信息安全[14]及图像处理[15]等。与分数阶微积分概念相比,分数阶差分的研究是一个新的课题。由于分数阶差分理论可以直接引入混沌映射来构造分数阶混沌映射,分数阶混沌映射的建模和应用成为近年来的一个热点[16-19]。包伯成教授等[20]研究了一类含有电容和忆阻的二阶离散忆阻系统的混沌特性,并提出该模型可应用于图像加密。Peng 等[21]讨论了离散忆阻系统在Hénon 映射中的应用,结果表明,基于忆阻器的Hénon 映射具有更大的混沌区域以及更高的复杂性。曹颖鸿等[22]运用ADM 算法,研究了一个含有电容、电感及忆阻的串联分数阶系统,该分数阶忆阻系统具有丰富的动力学特性,当阶次在一定范围时,系统的随机性和复杂性最好,得到了分数阶忆阻系统适用于保密通信领域的结论。方淼等[23]研究了一个含有电容、电感及忆阻的并联忆阻系统,通过特征值分析了系统的稳定特性。除此之外,忆阻器在混沌映射[24]、忆阻混沌电路[25]及同步控制[26-27]等方面也有很多研究成果。

然而,目前有关离散分数阶忆阻模型的研究却很少见,贺少波教授等[28]基于HP TiO2线性杂质漂移模型,设计了离散分数阶忆阻模型,并用数值模拟验证了紧缩磁滞回线满足忆阻器的三个特性。离散模型的优点是输入信号可以是时间序列的形式。本文提出了一种三次非线性磁控忆阻模型,将模型进行离散化并取分数阶次,利用分数阶差分理论,得到系统的Volterra 和分解,数值模拟显示,该模型满足忆阻器的三个特征。最后,将该离散分数阶忆阻模型应用于Logistic 映射中,构造离散分数阶忆阻Logistic 映射,数值结果表明,该映射在分数阶次下能够产生新的混沌序列,并表现出多稳定性的特征。

1 忆阻器

忆阻器是一种具有记忆效应的非线性电子元件,可表示电荷量q与磁通量φ的关系,其数学表达式为:

式中:M(q)为忆阻;W(φ)为忆导。因此,忆阻器分为荷控忆阻器和磁控忆阻器。

荷控忆阻器数学模型为:

磁控忆阻器的数学模型为:

忆阻器的本质特征有:(1)当一个双极性周期信号驱动时,伏安关系为一条紧缩滞回曲线;(2)紧磁滞回线的旁瓣面积随施加信号频率的增加而单调减小;(3)当频率趋于无穷时,紧磁滞回线紧缩成一条直线。

该领域的学者提出用分段线性函数以及二次、三次非线性函数等描述忆阻的数学理论模型,这些模型是具有忆阻特征的简单模型,适用于基于忆阻模型的各种应用电路。

本文采用三次非线性函数描述的磁控忆阻:

2 磁控型忆阻器基本模型

2.1 连续型磁控忆阻模型

磁控忆阻的基本模型可定义为[3]:

式中:i(t)为忆阻电流;u(t)为忆阻电压;φ(t)为磁通量;k为常数。由式(7)第二个方程得:

取双极性周期信号u(t)=Asin(ωt),参数a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;绘制不同频率ω(如图1(a))和不同振幅A(如图1(b))的忆阻器u(t)-i(t)曲线,如图1 所示。

从图1(a)可以看出,收缩的磁滞回线随频率ω的增大而收缩,当频率ω增加到20 时,紧磁滞回线收缩为一个单值函数;从图1(b)可以看出,收缩的磁滞回线以不同振幅A保持在原点收缩。显然,该模型满足忆阻器的三个特征。

图1 连续忆阻器的紧磁滞回线Fig.1 Pinched hysteresis loops of the continuous memristor

2.2 离散磁控型忆阻模型

以相同时间间隔τ进行取值,磁控忆阻基本模型式(7)可离散化为:

式中,Δφ(tn)=φ(tn+1)-φ(tn)。这里采用向前差分格式,取c=kτ,由式(10)中第二个方程可得:

则

式中,φ(t0)为初始条件,对应忆导W[φ(t0)]。

类似于连续型忆阻模型,同样取双极性周期信号u(tn)=Asin(ωtn),参数a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;绘制不同频率ω(如图2(a))和不同振幅A(如图2(b))的忆阻器u(tn)-i(tn)曲线,如图2 所示。从图2(a)可以看出,收缩的磁滞回线随频率ω的增大而收缩,当频率ω增加到20 时,紧磁滞回线收缩为一个单值函数;从图2(b)可以看出,收缩的磁滞回线以不同振幅A保持在原点收缩。显然,该离散模型同样满足忆阻器的三个特征。

图2 离散忆阻器的紧磁滞回线Fig.2 Pinched hysteresis loops of the discrete memristor

3 离散分数阶磁控忆阻模型

3.1 离散分数阶微积分

这里,首先介绍分数阶差分与和分的相关概念。

考虑阶乘多项式:

式中:Γ(·)为Gamma 函数,Γ(z)=zΓ(z),Γ(n+1)=n!。

对n进行扩展,则有:

定义前向差分Δf(t)=f(t+1)-f(t),离散时间尺度Na={a,a+1,a+2,…},a∈R。

定义1 设函数u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,则α阶和分定义为:

定义2 设函数u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,则Caputo 型α阶差分定义为:

式中:n=[α] +1。

引理1 设函数u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,则Caputo 型分数阶差分方程为:

利用预估-校正算法,与式(17)等价的Volterra 和分方程为:

3.2 离散分数阶磁控忆阻模型

设Nt0={t0,t0+1,t0+2,…},t0∈R,t0=t0+nτ(n=1,2,3,…),则式(7)所对应的离散化分数阶模型为:

根据引理1:

取j=s-(m-α),则:

当0＜α＜1 时,

当α=1 时,式(22)等价于:

同样取双极性周期信号u(tn)=Asin(ωtn),参数a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;分别取不同阶次α=0.9,0.8,0.85 下不同频率ω(如图3(a)),不同振幅A(如图3(b)),不同频率ω与振幅A(如图3(c))及相同频率ω和振幅A下的不同阶次α=0.95,0.85,0.75,0.65(如图3(d)),绘制出u(tn)-i(tn)曲线,如图3 所示。

图3 离散分数阶忆阻器的紧磁滞回线Fig.3 Pinched hysteresis loops of the discrete fracmemristor

采用控制变量法,分析了不同阶次下不同频率和振幅对u(tn)-i(tn)关系的影响。显然,分数阶模型同样满足忆阻器的三个特性,但不同的是,由图3(d)可以看出,不同阶次的u(tn)-i(tn)图像,紧磁滞回线旁瓣面积随着阶次的降低而减小,直至近似收缩为一条直线。

3.3 离散分数阶模型分析

对比式(22)和式(23),分数阶差分方程与整数阶差分方程的解在形式上的区别是由每一步的迭代权重系数Γ(n-j+α)/Γ(n-j+1)及平均迭代系数1/Γ(α)引起的。分别取输入电压u(tn)=sin(tn)和u(tn)=1,初值t0=0.01,φ0=0.1,对比不同阶次α=1,0.9,0.8,0.7,0.6 时的tn-φ(tn)曲线,如图4 所示。从图4 可以看出,随着阶次的减小,φ(tn)的值呈现出减小趋势,这表明分数阶次模型的记忆效应使得分数阶模型在运算过程中占有相对较小的内存。

图4 不同阶次下记忆权重系数曲线Fig.4 Memory weight coefficient curves at different orders

4 离散分数阶忆阻模型

通过对比发现,整数阶模型是分数阶模型的特殊形式,因此,分数阶模型更具有一般性。下面给出忆阻模型离散分数阶化的分析步骤:

(1)将忆阻模型按时间进行离散化,用分数阶差分算子代替整数阶微分算子,得到离散分数阶忆阻模型;

(2)设定初值,利用分数阶差分方程的求解方法求解离散分数阶忆阻模型;

(3)调整参数,使其具有忆阻特性。

广义忆阻器数学模型:

当x(t)、y(t)、z(t)分别为电流i(t)、电压u(t)和电荷q(t)时,式(24)为荷控型忆阻器;当x(t)、y(t)、z(t)分别为电压u(t)、电流i(t)和磁通φ(t)时,式(24)为荷控型忆阻器。

取初始时刻为t0,时间间隔为τ,分数阶差分算子代替整数阶微分算子,得到式(24)所对应的离散分数阶模型为:

其中分数阶次0＜α≤1。根据分数阶差分定义,当α＞1 时,先求[α]阶差分,接下来与分数阶次0＜α≤1时分析方法一致。

根据式(19)和式(22),由式(25)第二个方程可得:

以荷控型忆阻器为例,给定初值t0与时间间隔τ即可得到tj=t0+jτ(j=1,2,…,n)。给定输入电流和电荷量的时间序列x(tj)和z(tj),通过式(26)即可得到z(tn),代入式(25)第一个方程可以得到模型的u-i关系,通过调节参数,使模型(25)满足忆阻特征。

5 在Logistic 映射中的应用

随着非线性科学的兴起,对混沌的研究逐渐成为一个富有挑战性的课题。由于混沌信号的随机性、不可预测性及较为复杂的特性,使其在自然科学领域有着广泛的应用。常见的Logistic 映射是混沌系统中较为简单的混沌映射,它的形式为:

式中:x(n+1)和x(n)为混沌序列值;k为混沌控制参数。

当0＜k＜3 时,迭代结果是一个确定值,趋于一个不动点,这相当于一个稳定态;当3 ＜k＜3.449 时,x(n)在两个值之间往复跳跃;当3.449 ＜k＜3.544,x(n)在四个值之间往复跳跃,系统在此过程中发生了倍周期分岔;当3.5699＜k＜4 时,系统进入混沌状态,此时系统会产生伪随机序列。

虽然Logistic 映射具有良好的混沌特性,但该系统结构略为简单。随着大数据时代的到来,信息安全成为了一个不容忽视的问题。密码学是信息安全的核心学科,主要解决信息传输、存储过程中的安全问题。目前,常见的信息加密算法重点关注加密系统中随机序列的生成方式,在信息加密策略中,随机序列的生成方式大部分基于混沌系统。由于加密系统的安全性强烈依赖于混沌系统的复杂性,因此,在基于混沌序列的信息加密算法中,混沌映射的构造显得尤为重要。本文基于离散分数阶忆阻模型,提出了一种分数阶忆阻Logistic 映射,该映射定义为:

式中:W[φ(n)]=p+q[φ(n)]2为磁控忆阻器;φ(n)为电磁信号序列。根据离散分数阶微积分定义:

当0＜α≤1 时,

当φ0=0.2,y0=0.1,p=1.3,q=0.3 时,分别取:μ=3.856,阶次α=0.8,0.65,0.5;μ=3.941,阶次α=0.8,0.65,0.5,得到分数阶忆阻Logistic 映射序列如图5 所示。

图5 分数阶忆阻Logistic 映射序列图Fig.5 Sequence diagram of fractional-order memristor Logistic mapping

从混沌映射的定义式及图像可以看出该映射较Logistic 映射具有更强的复杂性,能够在不同阶次生成伪随机序列,并且在混沌映射系数μ=0.856,阶次α=0.5 时表现出了多稳定性的特征。在混沌系数μ=0.941 时,随着阶次的降低,混沌范围有增大的趋势。

6 结论

本文通过引入分数阶差分概念,研究了一类三次非线性磁控型忆阻模型,对给定输入电压u(t)=Asin(ωt)进行离散化,通过调节参数,用MATLAB 进行数值仿真,结果表明该离散分数阶模型具有忆阻特性。根据分数阶差分方程解的形式可以看出,整数阶模型是分数阶模型的特殊形式,因此,分数阶模型更具有一般性。最后,给出离散分数阶忆阻模型的分析方法,对于离散模型,输入电压或电流可以不是电压或电流函数,而是电压或电流的时间序列。因此,该模型在不同领域中具有广泛的应用,例如,非线性混沌映射、神经网络及忆阻混沌电路等。