布尔代数的乘积型双极值模糊点理想*

姜 曼

（西安交通工程学院公共课部，陕西西安 710300）

0 引 言

模糊集是处理不确定信息的有力工具［1］，在实际生活应用中，模糊集也发挥了一定的作用［2-3］，但客观世界中不相容两极性问题也不能忽视.基于此，Zhang［4］提出了双极值模糊集理论；Lee［5］定义了双极值模糊集的一些运算和基本性质，双极值模糊集首次将不相容两极性引入到模糊集理论中，为分析和解决带有不相容特性的大数据问题提供了新的思路和方法.近年来，关于双极值模糊集在代数结构中的应用研究从未间断，进一步拓展了双极值模糊集的应用领域.如：索南仁欠和华毛加［6］研究了双极值模糊集的距离与测度，给出了定义并研究其性质；王金英和王艳平［7］把双极值模糊集、犹豫模糊集和软集相结合，并在决策中研究了一些应用；王丰效［8］在半群中定义了双极值模糊子半群，得到了一些重要的结论.其余更多关于双极值模糊集与代数结构相结合的研究可见文献［9-14］.

布尔代数在代数结构中占有重要的位置，现阶段，用模糊集的拓展和双极值模糊集对布尔代数的研究从未间断.陈露［15］研究了布尔代数的子代数以及理想等推理规则；刘卫锋［16］研究了布尔代数的模糊点子代数，给出布尔代数的模糊点子代数的几个简化判断定理；傅小波等［17］研究了布尔代数的犹豫模糊理想；姜曼和彭家寅［18］在布尔代数中研究了IV 犹豫模糊子代数.用双极值模糊集研究布尔代数并不多见，本文拟对布尔代数中的一个推理准则——理想进行研究.

1 预备知识

定义1.1［19］称二元运算+，⋅的代数系统为布尔代数，如果R至少含有2 个不同元，且有：

（1）∀a，b，c∈R，a+b=b+a，ab=ba，且ab为a⋅b；

（2）a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c)；

（3）(a+b) +c=a+ (b+c)，(ab)c=a(bc)；

（4）∃0，1 ∈R，a+ 0 =a，a1=a；

（5）∀a∈R，∃aˉ∈R，满足a+aˉ= 1，aaˉ= 0.

定理1.1［19］设为布尔代数，∀a，b∈R，有：

定义1.4［4］设ϕ+：X→[0，1]和ϕ_：X→[0，1]是2 个映射，称ϕ={(x，ϕ−(x)，ϕ+(x))|x∈X}是X上的一个双极值模糊集，简记为ϕ= (ϕ−，ϕ+).记X上的全体双极值模糊集为BVF(X).

定义1.5［11］设ϕ∈BVF(X)，ψ∈BVF(X)，称ϕ⋂ψ为ϕ和ψ的交集，这里

设ϕ∈BVF(X)，[s，t]∈[ −1，0]×[0，1]，称集合N(ϕ，s) ={x∈X|ϕ−(x) ≤s}为ϕ= (ϕ−，ϕ+)的负s-截集，集合P(ϕ，t) ={x∈X|ϕ+(x) ≥t} 为ϕ=(ϕ−，ϕ+) 的正t- 截集 . 称集合C(ϕ，[s，t]) =N(ϕ，s) ⋂P(ϕ，t)为ϕ= (ϕ−，ϕ+)的(s，t)-截集.

2 布尔代数的乘积型双极值模糊点理想

定义2.1 设ϕ∈BVF(R)，若∀a，b∈R，如果下面条件成立：

（1）ϕ+(a+b)≥ϕ+(a)ϕ+(b)，ϕ−(a+b)≤ϕ−(a)ϕ−(b)；

（2）ϕ+(ab) ≥ϕ+(b)，ϕ−(ab) ≤ϕ−(b).则称ϕ是R的乘积型双极值模糊点理想. 记为ϕ∈BVFI(R).

定理2.1 设ϕ∈BVFI(R)，∀a，b∈R，且a≤b，则ϕ+(a) ≥ϕ+(b)，ϕ−(a) ≤ϕ−(b).

证明 由于a≤b，可得a=ab，于是ϕ+(a) =ϕ+(ab) ≥ϕ+(b)，ϕ−(a) =ϕ−(ab) ≤ϕ−(b).

推论2.1 设ϕ∈BVFI(R)，∀a∈R，则有ϕ+(0)≥ϕ+(a)，ϕ−(0) ≤ϕ−(a).

定理2.2 设ϕ∈BVFI(R)，则U={a∈R|ϕ+(a)=1，ϕ−(a)=1}≠∅是R的理想.

证明 ∀a，b∈U，则有ϕ+(a)=ϕ+(b)=1. 于是ϕ+(a+b)≥ϕ+(a)ϕ+(b)=1，ϕ−(a+b)≤ϕ−(a)ϕ−(b)=1.即ϕ+(a+b) = 1，ϕ−(a+b) = 1.故a+b∈U；

∀a，b∈U，则ϕ+(a) = 1，ϕ−(b) = 1. 于 是ϕ+(ab) ≥ϕ+(a) = 1，ϕ−(ab) ≤ϕ−(b) = 1.故ab∈U.所以，U={a∈R|ϕ+(a) = 1，ϕ−(a) = 1}≠∅是R的理想.

定理2.5 设f：R→R′是同态满射，ψ∈BVF(R)，若ψ∈BVFI(R)，则f(ψ) = ((f(ψ))−，(f(ψ))+) ∈BVFI(R′)，其中

定义2.2 设ϕ∈BVF(X)，ψ∈BVF(Y)，定义映射：

定理2.6 设ϕ∈BVFI(R1)和ψ∈BVFI(R2)，则直积ϕ×ψ∈BVFI(R1×R2).

类似地，可证

3 结束语

作为模糊集一个重要的分支，双极值模糊集对研究布尔代数有非常重要的理论意义.一般情况下主要研究布尔代数的理想以及滤子，是在模糊集的基础上研究布尔代数.本文基于数乘定义的基础，在布尔代数中研究了乘积型双极值模糊点理想，讨论其性质，日后将尝试把双极值模糊集，软集和布尔代数相结合研究软滤子以及软理想等问题.