常微分方程求解中变量替换的应用

李祖平，娄默军，冯强

(潍坊职业学院，山东潍坊 261041)

常微分方程是高等数学中的重要内容，它不仅在数学理论上有着重要的地位，而且在实际应用中也发挥着极其重要的作用。很多实际问题，从数学的角度进行抽象，其数学模型就是一个微分方程，要研究该实际问题，求解此微分方程变得更加重要。但一般的教材上对可求解的常微分方程的类型介绍得并不多，而某些常微分方程的求解，可通过变量替换的方法化为上述已知的可求解的微分方程类型。本文就是以一阶和二价的常微分方程为载体，对求解中的变量替换进行了拓展。

一、变量替换在一阶常微分方程中的应用

（一）齐次常微分方程、Bernoulli方程、Riccati方程中的替换

一阶常微分方程中常见的类型有：变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，Riccati方程，Bernoulli方程等。其中齐次方程、Bernoulli方程中，某些方程可通过变量替换的方法得到解决。

（二）线性替换

所谓的线性替换是原微分方程中的未知函数与引入的新变量的等式中，将未知函数视为变量时，与新变量之间是一种线性关系，线性替换是一种简单的替换，一般不改变微分方程的价数。

(三)参数替换

（四）极坐标替换

（五）替换u=xy

二、变量替换在二阶常微分方程的应用

（一）二阶齐次线性微分方程中的替换

（二）遇xy′−y用变量替换y=xz

若微分方程中含有xy′−y时，可用替换y=xz，这样方程就转化为含z，x的方程，求得通解后，可得原方程的通解。

（三）遇yy′′+y′2用变量替换 z=y2

（四）三角替换

（五）欧拉（Euler）方程中的替换y=xk