偏心量对缓冲环支撑下的电磁轴承转子系统非线性振动特性影响分析

滕汉卿，穆 然

（湖南铁道职业技术学院，湖南 株洲 412001）

电磁轴承转子系统被广泛应用于流体机械、航空航天、军事装备等领域，而在电磁轴承高速旋转时，转子的偏心量直接关系到系统运行的平稳性与可靠性[1-2]，因此,针对转子不平衡量对转子系统非线性动力学特性的影响分析就很有必要。刘桂珍等[3]研究了偏心量影响下的裂纹转子系统非线性动力学行为；张文超[4]等利用解析法分析电机输出性能与转子偏心程度的关系；徐学平等[5]分析了动静复合偏心情形下转子系统的轴心轨迹和位移频谱,讨论了静偏心方向、初始静偏心量对转子系统振动特性的影响。

本研究通过分析磁悬浮转子系统偏心量和转子转速双参数共同变化时系统稳态响应，从中寻找偏心量变化对系统非线性特性的影响规律，为此类转子系统参数选择及匹配提供借鉴。

1 系统模型

系统简化力学模型见图1，其中：m1为轴颈质量；m2为转盘质量；δ 为转子与缓冲环间隙；u 为转子质量偏心距；k为转轴刚度；c 为转子阻尼；w 为转子角速度；γ 为电磁轴承空气间隙；O 为缓冲环中心；O'为转子中心。

图1 力学模型

本研究基于以下假设：

（1） 忽略缓冲环的质量及缓冲环的阻尼效应。

（2） 忽略了缓冲环与转子之间的摩擦力。建立系统的动力学方程为

缓冲环与转子之间的碰撞力Pn主要由刚度为kf的缓冲环支撑弹簧提供，它在x、y 方向的分量可表示为

其中：

在式（4）-式（6）中：γ 为磁浮轴承空气间隙；α 为几何耦合参数；μ0为空气磁导率；N 为线圈匝数；Ag为磁极有效磁通面积；ib为偏置电流；P 为反馈增益比例因数；D 微分反馈增益因数。引入以下无量纲参数：

基于以上无量纲参数，则转子与缓冲环间歇碰撞力无量纲化后的形式为

无量纲化后的电磁力方程为

综上所述，系统无量纲化后的运动方程为

2 数值仿真

选取基准参数：ζ=0.1，α=0.28，P^=1.1，D^=0.03，K=4.0，f=2.0，M=5.0，η=0.017，W=0.07，λ=0.1，利用四阶龙格-库塔法对系统运动微分方程进行数值仿真计算。如图2 所示为平面双参数图，它表示系统在二维参数平面[U∈（5-15），Ω∈（1.5-3.5）]内各点处，系统响应所呈现出的周期、混沌及概周期运动类型分布规律，图中不同深度色区代表不同运动类型的分布区域，从图中可以看出在整个参数域内主要以1 倍周期、2 倍周期运动为主，同时在高低转速区间内存在着一定范围的混沌及概周期运动。随着转子偏心量增加，当偏心量U＞10.2 时系统响应在Ω∈（3.0-3.5）的范围内出现了周期性运动与混沌、概周期运动交替出现的岛状区域，同时在5 倍周期运动的区域边缘存在运动特性突变的情况。

图2 基于基准参数的U-K 双参数平面图

双参数平面图能从多参数角度及系统层面描述系统不同类型运动的分布区域与规律[6]，而对于分岔特征及运动形态分析还需借助分岔图等做进一步分析，图3 为不同偏心参数下的分岔图，当U=5.0 时，系统在转速区间Ω∈（1.5-2.5）的范围内，经历了同步运动-倍周期运动-概周期运动-倍周期运动的转迁过程；U=7.0 时，系统在Ω∈（1.5-1.8）范围内除了倍周期运动外，还以倍化分岔的形式进入到混沌运动，U=9.0 时，Ω∈（1.5-1.8）的范围内以混沌运动为主，周期性运动窗口消失，同时在Ω∈（2.0-2.25）范围内的概周期运动中出现了较宽的6 倍周期运动区间，这与图2 中6T 分布区域相一致。

图3 不同偏心量参数下的分岔图

如图4 所示，当Ω 取2.1 时不同偏心量所对应的轴心轨迹图，如图4（a）所示为U=5.0 时的轴心轨迹图，此时轴心轨迹相对较混乱，庞加莱截面映射图表现为随机分布的离散点，如图5（a）所示，但随机分布的离散点中还具有一定的规律性，这些离散点聚集在两个边界相对清晰的不规则区域内，表现为混沌吸引子；如图4（b）所示当U=7.0 时，系统运动为2 倍概周期运动，此时轴心轨迹为网状交织的轮胎形，庞家莱截面映射如图5（b）所示为两个封闭的极限环，此时系统处于极限稳定状态；如图4（c）所示当U=9.0 时，系统运动为6 倍周期运动，对应的庞加莱截面映射图为6 个不动点。结合图4 与图5 信息发现，在高转速区内（以Ω=2.1 为例）随着偏心量的增大，系统运动由混沌运动-2 倍概周期运动-周期6 运动变化。

图4 Ω=2.1 时不同偏心量参数下的轴心轨迹图

图5 Ω=2.1 时不同偏心量参数下的庞加莱截面映射图

3 结论

本研究以U-K 双参数平面图为基础，结合分岔图、轴心轨迹图及庞加莱截面映射图分析了磁浮转子系统偏心量参数变化对系统振动特性影响规律，得出以下结论：（1） 在双参数域内，当偏心量U＞10.2 时系统响应在Ω∈（3-3.5）的范围内出现了周期性运动与混沌、概周期运动交替出现的岛状区域，岛状区尖端（U=10.2）出现了突变，说明在U=10.2 附近系统运动由于偏心量变化容易引起运动特性突变，在实际选取参数时应尽量避开U=10.2 附近参数域。（2） 在Ω∈（1.98-2.25）转速点附近，随着偏心量取5.0、7.0及9.0 时，系统响应分别出现了混沌、概周期、6 倍周期运动，这说明在此转速区间内偏心量适当增加反而有利于转子系统获得更宽的周期性运动转速区间。