关于2×2分块矩阵性质的应用关于2×2分块矩阵性质的应用

◎任芳国 和嘉琪

(陕西师范大学数学与统计学院，西安 710119)

一、引 言

矩阵是高等(线性)代数与矩阵分析研究的核心对象，它具有丰富的内容及广泛的应用.分块矩阵使矩阵的结构及运算变得简单清晰，是研究矩阵的最基本、最重要的工具之一.它贯串于整个高等代数学习的始终，体现了整体到局部再到整体的数学思想，在矩阵的数字特征如矩阵的行列式、秩中有着重要的应用，特别地，2×2分块矩阵是研究分块矩阵的基础.本文主要利用2×2分块矩阵、矩阵行列式及秩的基本性质，讨论了2×2分块矩阵在矩阵行列式、秩方面的应用.

为了叙述方便, 我们对文中符号进行约定:Mn×m表示复数域上所有n×m阶矩阵构成的集合，Mn×n简记Mn；In表示n阶单位矩阵，AT,A*,|A|,r(A)，n(A)分别表示矩阵A的转置，共轭转置，行列式，秩及零度.其他未说明的见参考文献[1]-[2].

为了本文讨论更方便需要引入以下定义和引理.

定义1 设A=(aij)n∈Mn.

(1)如果满足A*A=In，称A是酉矩阵；

(2)设Aij是A中元素aij的代数余子式，称n阶方阵adj(A)为A的经典伴随矩阵，其中adj(A)的(i,j)元素为Aji(i,j=1,…,n).

如果A11可逆，则|A|=|A11|·|A22-A21A11-1A12|；

如果A22可逆，则|A|=|A22|·|A11-A12A22-1A21|.

二、主要定理

(1)|H|=|A|d-yTadj(A)x.

证明(1)①当A是可逆矩阵时，由引理1及adj(A)=A-1|A|知，

|H|=|A|(d-yTA-1x)=|A|d-yT|A|A-1x=|A|d-yTadj(A)x；

(2.1)

综上，结论得证.

(2)由于A(λ)=A+λeeT，其中e=(1,…,1)T，则由引理1及2.1知，

综上，定理得证.

推论1设A=(aij)n∈Mn，Aij是A中元素aij的代数余子式，λ是一个未定元，A(λ)=(aij+λ)n，则

另一方面由行列式的性质有，

(1)如果AC=CA，则|H|=|AD-CB|.

(2)如果AB=BA，则|H|=|DA-CB|.

(2)由于AB=BA，则有ATBT=BTAT.于是由行列式性质知，

综上所证，定理得证.

综上，定理得证.

(1)n(A11)=n(B22)； (2)r(A11)=r(B22)+r+s-n.

(2)由于r(A11)=s-n(A11),r(B22)=n-r-n(B22)，于是由(1)知，(2)成立.证毕.

r(U22)=n-2k+r(U11).

三、结 论

分块矩阵是高等(线性)代数与矩阵分析讨论的重点内容之一，矩阵的分块能使矩阵的结构变得清晰,运算变得简便，因此，分块矩阵是研究矩阵的最基本、最重要的工具之一.本文利用2×2分块矩阵的重要性质、矩阵行列式、秩的基本性质，讨论了行列式的重要性质，获得了分块可逆矩阵与其逆矩阵之间子块秩之间的关系，旨在提高用分块矩阵去解决矩阵问题的能力，为高等(线性)代数与矩阵分析的学习和研究提供参考.