史海钩沉教有根的数学课

◇杨凌一（江苏：启东市惠丰小学）

2022年版《义务教育课程方案和课程标准》在课程理念方面强调，“关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化”。随着数学教学改革的逐步推进，教育人对于数学史越来越关注。数学史是数学本源的集中体现，教师只有抓住本源才能认清本质，合理设计教学，提升教学质量。笔者基于数学史的视角，以2022年版课标为导向，立足大单元统整教材，选取苏教版五年级下册《分数的意义》一课为例，在概念教学中融入丰厚史料，注重数学概念教学的多样性和层次性，将数学教育最终落实到立德树人。

一、勾连历史，正本清源

分数的意义在不同历史发展阶段的具体解释也存在一定差异。J.Park 等人根据分数意义的历史演变，将其分为“部分/整体”“测量”“除法”“集合论”这四种意义；张奠宙将分数的意义概括为“份数”“比”“商”“公理化”。这两种分类在本质上是相同的。

“部分/整体”。在公元前1700年左右形成的阿梅兹草片文书记载着古埃及人使用符号将整体的一部分表示为分数。该阶段是学生初步认识分数阶段，苏教版三年级上册教材中也有“分东西时，经常出现结果不是整数的情况，渐渐出现了分数”的内容。

“测量”则与“可公度性”有关。公元前300年欧几里得认为，可以被相同尺度测量的量即为可公度的。单位分数就被视为测量对应分数的基本单位，又称分数单位，分数就是利用分数单位来“测量”的。这与苏教版五年级下册的分数意义中分数单位的内容很贴合。

“除法”与分数之间的联系，离不开19世纪Galois、Dedekind 等人的贡献。分数是由乘法的逆运算得到的，这也搭建起分数与运算之间的桥梁。该内容在苏教版五年级下册会系统学习。

“集合论”是19世纪末20世纪初康托发明的，最终促成有理数（分数）的产生。该内容涉及更高层次的知识，在小学阶段不做讨论。

在本节课教学之前，学生已经认识到分数可以表示部分与整体之间的关系，本课主要是让学生归纳提炼出分数在分单位“1”，脱离具体情境讲述分数的意义，明白分数是由分数单位测量得到的。

二、立足大单元，统整教材

每个知识都不是孤立存在的，而是存在于一个完整的体系中，与其他知识有着紧密的联系。因此在分析教材时，应将本课归于分数的意义和性质这一大单元，甚至是整个小学阶段的分数教学体系中去研究。

（一）教学内容——搭建知识框架

在教学内容方面，教师要搭建完整的知识框架，将一个单元的数学知识点串联起来。本单元主要学习分数的概念（前期已学过分数的组成、具体情境中分数的意义），单位“1”，分数单位，分数与除法之间的关系，一个数是另一个数的几分之几，分数的分类，比较大小包括分数与分数、分数与整数、分数与小数之间的比较大小（前期已学过同分母分数比较大小），分数的基本性质以及通分、约分。主要通过思维导图在知识点之间搭建桥梁。

本单元共有两大重点内容——分数的意义以及基本性质。理解分数的意义不仅会影响本单元下阶段的学习内容，例如，分数与除法的关系、一个数是另一个数的几分之几（找单位“1”）、理解真分数假分数的含义以及分数的基本性质，同时对后面学习分数的运算以及利用分数知识解决实际问题也会产生重要影响。

（二）习题选择——“1→n”多指向练习

在“双减”背景下，习题的选择要体现量少质高的原则。学生通过少量的练习就能够将一堂课的知识体系联系起来，有利于发展学生的逻辑思维能力。以本课教学为例，《分数的意义》的练习要让学生将单位“1”、分数的意义以及分数单位三个核心内容连接起来。因此笔者在安排课堂练习时，选取了书本练习八中的第四题，并对题目要求进行了改编，原题要求是说出分数表示的含义。修改后的要求为：第一，找出单位“1”并说出分数的含义；第二，说出分数单位以及分数单位的个数；第三，探究分数单位和什么有关，分数单位的个数和什么有关。通过适当修改题目，可以充分发挥练习的价值，让练习涵盖本节课的知识点，体现一题多指向的原则。

三、聚焦重点，关注生成

“分数的意义”属于分数领域，而分数又属于数与代数领域，从数的发展历程来看，数的产生过程是自然数（整数）—分数—小数。教材在编排时，也遵循了这样的顺序，符合“数”发展的进程。通过调查发现，小学生对于分数概念以及意义的理解比对分数计算的掌握困难得多。为了促进学生认知，加强理解，教师一定要聚焦重点，关注生成。笔者认为本课的重点，一个是让学生理解单位“1”，另一个重点则是让学生分清表示具体数量还是关系。

（一）抓住生成，理解单位“1”

课堂伊始，笔者引导学生回顾旧知，基于已有的学习经验，让学生用自己的方式表示，并说说所表示的这个分数代表的具体含义。通过观察，笔者发现，学生会用各种各样的方式表示，有画一个苹果平均分成四份涂一份的，有画一个正方形平均分成四份涂一份的，还有画一些圆片平均分成四份涂一份的，等等。此时教师应明确需要，寻找表示“一个物体”“一个整体”“一个计量单位”的作品。

（二）反复比较，深入探究

在引出单位“1”这个概念以后，将学生所说的具体含义进行概括。例如，学生会说“一个蛋糕的就是把一个蛋糕平均分成4 份，取其中的一份”，此时教师应追问：“那有多少个蛋糕呢？”学生会总结出：“一个蛋糕的就是个。”后面学生介绍的时候自然而然会说出“一筐桃子的就是筐”“1 米 的就是米”。教师将其板书后，抛出问题：“和个有什么区别？”学生会发现一个有单位，一个没有单位，这时候教师揭示：表示的是1 个和个之间的关系，而个表示的则是具体的数量。

在这里安排学生区分关系和具体数量主要是为下面的学习做铺垫，练习当中会出现许多表示具体数量的分数，让学生判断单位“1”是谁，学生往往会混淆。因此笔者在课堂上通过比较，让学生明确分数带单位和不带单位的区别。

四、巧设环节，融入史料

汪晓勤教授曾概括了数学史在小学数学教学中的运用方式：附加式、复制式、顺应式、重构式。目前我们课堂中运用最多的是附加式，直接将史料作为阅读材料。在本课中，笔者主要运用附加式和复制式。

（一）学科特点的体现

在教学“分数单位”这一环节时，笔者引入“古埃及单分子分数”这一史料，通过附加式与复制式相结合的方式，让学生了解“分数单位”的前世今生。在介绍分数单位就是分子是1 的分数后，笔者对分数单位的知识进行扩展，通过录音让学生了解到分数最早出现在古埃及。通过举例，让学生了解到古人只能用来表示，从而切实感受到过去人们表示分数的不容易，继而认识到分数单位和分数单位个数的简洁性。教师最后抛出问题：“现在你怎么用单分子分数表示？”让史料鲜活起来，对课堂教学起到一定的帮助作用，并且通过古今方法的对比，体现数学学科简洁性特点，同时也体现了教学的有效性原则。

（二）教育价值的彰显

笔者认为，本课的一大重点是突破单位“1”。在课前谈话中，笔者通过让学生在教师的名字中寻找数字信息，将学生的目光聚焦到“1”这个数字上来。通过举一些生活中的例子，让学生发现这个普通的“1”并不普通。再运用老子在《道德经》中的名言“一生万物”，将学生的兴趣推至高潮，充分激发学生学习的兴趣以及好奇心，对本课中单位“1”的理解和掌握有一定的助推作用。

在本课的尾声，笔者引用德国的谚语“掉进分数计算里去了”，让学生明白在过去分数的运算不是一件简单的事，这不禁又让学生产生认知冲突——“已经学过的同分母分数运算较为容易，为什么说分数计算很难呢？”同时也为本册书第五单元“分数的加法和减法”的教学埋下伏笔。

五、总结反思，拔节生长

基于前两次的经验，学生对分数有了一定的认识，因此对于分数的意义以及分数单位都能很好地理解并掌握，熟练表述出分数的含义。数学史的融入加重了整堂课的文化底蕴，提高了学生的数学学习兴趣以及求知欲。

任何一节课都不是十全十美的，即使在课堂中再三强调关系与具体数量之间的区别，在解释“时”的具体含义时，仍有学生找不到单位“1”或是找错单位“1”。在这一类有单位的分数中，找出单位“1”，学生往往错误频出。其实这就与单位“1”所涉及的第三个含义——表示一个计量单位有关。由此可见，学生对于“计量单位”这个抽象的词，还是有些模糊的。如何处理好这一部分的教学，让学生深切体会到计量单位也与单位“1”有关，在今后的课堂教学中还要继续深入研究。

课后，我对学生进行了相关的访谈，了解数学史融入课堂教学的情况。学生了解到与分数相关的历史知识，知道了分数单位的源起，还有的学生已经将课上所学到的“掉进分数计算里去了”应用起来。更多的学生表示，希望课堂上有更多有趣的数学史故事呈现。通过学生的反馈，让笔者真实地感受到数学史融入课堂给学生带来的变化：丰富了学生的学习体验，积淀了数学文化素养。对于教师而言，在备课、上课的过程中，扩展了自身的知识面，不仅有助于提升课堂教学能力，自身也获得了成长。

人们对分数的认识经历了“从畏惧到接受、从形象化到抽象化再到具体化”的复杂演变过程。在小学阶段，分数内容对于逻辑推理能力尚弱的小学生来说，具有一定难度，而数学史正能唤醒课堂的活力，让数学学科有了更多的人情味。这也决定了数学文化融入数学课堂的必然趋势。一线小学教师不仅是数学史料的学习者，更是数学文化的传播者。把数学史融入日常课堂教学，让数学史与教学深度融合，既是课堂上跨越时间与空间的相融，也是数学家与小学生创造经历的相融。教数学要教有根的数学。