悬浮隧道子结构简化模型与动力响应分析

潘权，易壮鹏，杨胜江，颜东煌，杨聪

(1.长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙，410114；2.贵州交通建设集团有限公司，贵州 贵阳，550001)

悬浮隧道[1-2]是一种新型的水下交通结构，具有跨越能力超强、对水面环境影响小、单位长造价不随跨度变化等优点。锚索水下固定是一种有效的支撑锚固方式，具有交通承载的功能，国内外学者对其在波浪、洋流、交通荷载、爆炸[3]、地震等动力荷载作用下的结构建模[4]、动力响应[5]和合理参数设置进行了广泛研究。悬浮隧道由管体、锚索组成，针对这两类构件单独建模可很好地了解局部振动并突出某些非线性效应。就管体而言，SATO 等[6-7]提出了简化之后的均匀弹性地基梁模型，并给出了等间距支撑刚度的取值范围，在此基础上，XIANG等[8-9]探讨了冲击荷载下的振动效应；秦银刚等[10]基于简支梁模型探讨了管体的合理支撑间距；田雪飞等[11]提出了研究管体振动的弹性简支梁-弹性支撑刚性梁叠加模型。整体上，现有管体模型一般假定每一处锚索支撑刚度是相同的，适用于特定的均匀情形并得到一些相应的规律。然而，跨度范围内锚索支撑刚度与材料、截面、锚固长度等均相关，实际拟建水域的地形地貌具有长、深、陡等特点，不同位置锚索的支撑刚度不相同。研究实际交通荷载作用下多锚索的悬浮隧道管体建模及分布不均匀等因素的影响具有重要意义，目前人们对这方面的研究较少。为此，本文作者基于一种新的建模思路，即采用子结构离散/整合技术构建悬浮隧道的简化分析模型，以多锚索约束且其刚度非均匀的悬浮隧道为对象，研究锚索支撑刚度对结构自振特性、移动荷载响应的影响。将管体沿锚索支撑点离散为多段梁单元，采用多节段子结构离散/整合技术[12-13]，建立管体的动力学模型。同时，采用Morison 公式[14]描述水动力荷载，考虑高铁列车[15]的移动荷载响应。

1 问题描述

1.1 力学模型

为模拟跨越长、深、陡水域的悬浮隧道，适用于跨内锚索多点支撑且支撑刚度不均匀的情形，将任意第i个位置锚索的作用等效为竖向刚度为Ksi的弹性支撑，将管体视为在Ksi处分开的梁节段，其结构示意图如图1所示。为探索一般性规律及便于推导，引入如下基本假定和简化条件：1) 隧道管体简化为欧拉-伯努利梁；2) 两端边界为铰接；3) 隧道管体材料、截面等参数沿跨径为常数；4) 采用Morison公式[14]考虑水动力荷载；5) 荷载[15]等效为一列移动集中力。

图1 跨内多锚索支撑悬浮隧道的结构示意图Fig.1 Schematic diagrams of a submerged floating tunnel with multiple intermediate cable supports

图1中，直角坐标系xOy中坐标原点位于左端点；Vi为第i节段的竖向位移；mt为单位长质量；Et和It分别为弹性模量和惯性矩；L为总跨度；n为锚索的数量；D i为锚索处横坐标。考虑移动荷载列Ph(h=1～m)以速度vp通过悬浮隧道，t时刻的荷载位置为xh=vpt-(h-1)Lm-Di-1(其中，m为集中力数目，Ph为集中力大小，Lm为相邻集中力间距)。根据假定条件4)水动力荷载Fd(x，t)的表达式为

式中：ρw为流体密度；Cm和Cd为水动力系数；D为管体直径。借鉴文献[6-9,16]中处理方法，基于子结构离散/整合技术构建新的悬浮隧道简化分析模型，第i节段管体节段的量纲一动力方程可写为

式中：γ为长细比；δ为delta 函数。量纲一变量的转换关系为

其中：c为阻尼系数；W=EtIt·∂2Vi/∂x2，Q=EtIt·∂3Vi/∂x3，分别为管体弯矩与剪力；为考虑流体附加质量的隧道管体单位长度质量；vi，，，di，lm，τ，ksi，，，ph，，和cd分别为与Vi，x，xh，Di，Lm，t，Ksi，W，Q，Ph，vp，c和Cd对应的量纲一变量。弹性支撑ksi位于相邻节段衔接处，由此处的量纲一位移、量纲一转角、量纲一弯矩和量纲一剪力满足变形协调关系[12-13]可以得到：

式中：右上标的加、减号分别表示截面的左、右侧。

1.2 自振特性

对于整体结构，系统解为{v1，v2，…，vn+1}T=其中i 为虚数单位，上标T表示装置，ωj为系统自振量纲一频率，φji()为第j阶模态第i个节段的振动幅度。将其代入与式(2)对应的无阻尼线性自由振动方程，可得如下特征方程：

其解为

其中，2×4 阶边界矩阵BL和BR及4×4 阶衔接矩阵Θi均为ηj，di和ksi的函数。整合跨度内n+1个节段可得悬浮隧道的整体特征方程为

由式(8)可求得各阶量纲一频率及向量A1，结合式(7)可得悬浮隧道结构正交规范化的整体模态[17-18]。

1.3 移动荷载响应

悬浮隧道振动系统的量纲一解可以表示为各阶模态与对应时间广义坐标qj(τ)的乘积：

由模态正交性和Galerkin积分取前N阶，可得qj(τ)的求解方程：

其中：q(τ)={q1(τ)，q2(τ)，…，qN(τ)}T，为广义坐标向量；质量矩阵M、阻尼矩阵C、刚度矩阵K为对角矩阵，其第j个主对角元素分别为1，cˉ，ω2j；FQ(τ)，FM(τ)和FH(τ)分别为与非线性项、移动荷载项和波流荷载项对应的向量，其与第j阶模态相关的分量分别为

式中：sign(x)为符号函数。

2 锚索支撑刚度影响分析

2.1 结构参数、列车荷载与锚索支撑刚度确定

对于尚未建成的悬浮隧道，通过大量参数分析获取结构性能是可取的途径。因此，采用所提方法进行分析时，参考文献[19]选取如下基本结构参数：L=1 000 m，D=15 m，ρw=1 000 kg/m3，ρt=2 500 kg/m3，Et=34.5 GPa，锚索弹性模量Ec=200 GPa，Cm=Cd=1.0。

以高速行驶的列车为背景，考虑作用于悬浮隧道上的移动荷载，车厢轴重力组成的荷载如图2(a)所示。为便于探讨一般性规律，将列车等效为图2(b)所示的移动集中力[15]。根据所选悬浮隧道基本参数将1列8车厢(每节车厢质量为60 t)高铁列车的荷载乘以2 作为作用于管体上的移动荷载，于是，取m=8，Ph=1 200 kN，vp=250 km/h，Lm=25 m。

图2 高铁列车编组及等效荷载示意图Fig.2 Schematic view of high speed railway train carriage and equivalent loads

针对锚索竖向刚度，一方面，为了研究ksi变化对频率的影响，通过量纲一刚度ks建立量纲一刚度ksi之间的联系。考虑跨度内n有3，4，7 和9个支撑锚索的均匀情形，对应表1内的工况1至工况4，并以n为4和9为例考虑表1所示锚索刚度为不均匀情形的工况2-1至工况2-4、工况4-1至工况4-4，刚度在ksi的基础上乘以材料安全系数、锚固长度等引起的变化系数。另一方面，为了研究移动荷载引起的位移、内力规律，ksi按照锚索索力与该锚索支撑范围内净浮力相等的原则确定，此时，Di处的竖向弹性支撑刚度基准值Ksi可以表示为

表1 悬浮隧道跨度内支撑刚度分布工况Table 1 Distribution of intermediate supporting stiffness of SFT

其中：[σ]为锚索的应力限值，取1 350 MPa；hci为锚索竖向投影长度，取50 m；β为管体浮重比；λ为索力安全系数或放大系数，其取值可作为锚索参数合理性判定指标。当悬浮隧道结构发生流致振动时，锚索索力会出现变化，尤其是出现大位移可能导致锚索出现松弛现象时[20]，锚索的瞬态冲击力可达到静态平衡的10 倍左右，因此，取λ=10 对移动荷载下结构位移、内力分布规律进行研究。

式(8)可用于分析悬浮隧道的量纲一频率等自振特性，式(10)可用于分析移动荷载响应的分布规律，同时，采用ANSYS软件对部分结果进行有限元(FEM)验证。各物理量之间的量纲转换关系见式(3)。为获取更一般性规律，文中分析结果以量纲一形式给出。

2.2 自振特征分布

图3 和图4 所示分别为工况1 至工况4 和工况2-1 至工况2-4 中悬浮隧道各阶量纲一频率ωj随量纲一刚度ks变化的频谱图，其中，1st，2nd，…，10th分别为第1，2，…，10阶量纲一频率的阶次。同时，采用ANSYS软件对工况2-1至工况2-4的理论结果进行验证，管体和弹性支撑分别采用Beam和Combine单元模拟。图4(b)中空心三角形表示有限元模拟结果，可知工况2-1 至工况2-4 的理论结果与有限元结果较吻合，二者频率的最大相对误差在2%之内。

图3 均匀工况下量纲一频率ωj随量纲一刚度ks变化的频谱图Fig.3 Frequency spectrum of variation of frequency ωj versus dimensionless stiffness ks for uniform cases

图4 非均匀工况下量纲一频率ωj随量纲一刚度ks变化的频谱图Fig.4 Frequency spectrum of variation of frequency ωj versus dimensionless stiffness ks for no-uniform cases

由图3 可知：在工况1 至工况4 中，频谱上每n+1阶量纲一频率为一组，其中第(n+1)整数倍阶次量纲一频率不随ks变化，而其余阶次的量纲一频率随着ks的增大而增大。这是因为n+1刚好为梁节段数目，整体特征方程式(8)可进一步写为含ks项与不含ks项的乘积；每组n+1阶量纲一频率均汇聚于某一个局部区域，对应图3中的长方形区域，在该区域内量纲一频率密集汇集，与该区域结构参数对应的结构可能存在模态能量转换等非线性行为。此外，工况1 至工况4 中，按照式(12)中所得的量纲一竖向弹性支撑刚度基准值ksi分别为2.10×104，2.62×104，4.20×104和5.25×104，这些取值位于或靠近模态聚集区。另外，对比工况1至工况4可发现不同锚索支撑数目时各阶量纲一频率对ks变化的敏感区间不同，如工况1的量纲一频率敏感区间为量纲一刚度ks∈[103，105]。

在图4所示的工况2-1至工况2-4共4种非均匀工况中，与均匀工况类似，每5阶量纲一频率为一组且该组量纲一频率汇集于某一局部区域，量纲一频率随ks变化的分布规律也与工况2的类似，敏感区间为量纲一刚度ks∈[103，105]，在此区间内量纲一频率增大十分显著。与均匀工况不同之处在于，由于4个支撑刚度在跨度范围内不对称，模态汇集区内各阶量纲一频率不再交于某一个类似于交点的小区域，而是分布在一个较大的区域，各阶量纲一频率之间随着ks变化的接近方式为交叉或转向。

2.3 位移响应特征

图5 所示为锚索支撑刚度取式(12)中基准值时，工况2-1 至工况2-4 及工况2 中悬浮隧道xˉ=0.50，0.60 处量纲一位移vi(xˉ，τ)随量纲一时间τ的变化曲线，图中结果通过式(10)的多阶模态计算迭加获取，各种工况下管体不同位置结构竖向位移在模态截取阶数N≤10时均已收敛，其中，将工况2-1和工况2的量纲一位移结果与对应的ANSYS结果进行对比验证，最大相对误差均在3%之内。从图5(a)可见：各工况下xˉ=0.50处竖向位移峰值均出现在移动荷载列经过该位置前后的时刻，其大小与支撑刚度ksi的取值对应，工况2-2 和工况2-4的位移峰值较小，工况2-1 和工况2-3 的位移峰值较大，工况2的位移峰值最大。从图5(b)可见：xˉ=0.60 即弹性支撑ks3处的竖向位移峰值在不同工况下差别不大，这是由于各种工况下此处支撑刚度均为基准值(即ks3=ks，见表1)，同时，移动荷载对管体支撑刚度处竖向位移的影响范围仅限于该弹性支撑附近，其原因在于列车长度相对于悬浮隧道长度较小，且支撑刚度在位移影响因素中占主导。

图5 悬浮隧道的荷载响应曲线(n=4)Fig.5 Dynamic response curves of SFT(n=4)

从工程和设计的角度来说，外荷载引起的位移或内力变化范围及上下限需重点关注。图6所示为基于本文方法绘出的不同参数组合下悬浮隧道在移动列车荷载作用下的量纲一位移包络图，即每种工况下跨度范围内悬浮隧道量纲一位移vi(，τ) 的限值。

对比工况1至工况4的位移包络图可知当弹性支撑数目增加即锚索支撑间距减小时，位移的上、下限的绝对值均减小，这是间距减小使得结构整体刚度增大所致；对比边子跨、中子跨的跨中位移可知，边子跨竖向位移下限值大于中子跨的竖向位移下限值，且不同中子跨下限值一致，这与等跨连续梁的各子跨竖向位移分布规律相同；此外，每个子跨跨中的竖向位移限值显著小于弹性支撑点的竖向位移限值。

对比图6(b)中不同浮重比对应的位移包络曲线可知：随着浮重比增大，竖向位移下限绝对值减小，这是由于浮重比增大时净浮力增大，净浮力既可以平衡一部分列车荷载，也会导致支撑锚索截面与刚度均变大，因而，位移减小。此外，中间部分不同子跨范围内位移限值的分布规律一致。

图6 悬浮隧道位移包络曲线Fig.6 Displacement envelope curves of SFT

从图6(c)所示不均匀的工况2-1至工况2-4的位移包络图可见：当弹性支撑数目较少(n=4)时，其刚度较大；当列车荷载经过时，不均匀刚度对位移的影响较小。与之对应，在图6(d)所示工况4-1至工况4-4 的位移包络图中，弹性支撑数目较多(n=9)，刚度较小，列车荷载经过时不均匀刚度对位移的影响较大，所以，不同工况的竖向位移限值相差较大。

2.4 内力分布特征

图7至图9所示为不同参数组合下悬浮隧道在移动列车荷载作用下的内力包络图，即跨度范围内悬浮隧道量纲一弯矩和量纲一剪力的限值，弯矩以上缘受拉为正，剪力使隔离体顺时针转动为正，最大/最小值对应图中每种工况的上/下限值。

图7 悬浮隧道不同跨内支撑数目的内力包络曲线Fig.7 Internal forces envelope curves for SFT with different numbers of intermediate elastic supports

图8 悬浮隧道不同浮重比的内力包络曲线Fig.8 Internal forces envelope curves for SFT with different buoyancy-weight ratio

图9 悬浮隧道跨内支撑刚度不均匀时的内力包络曲线Fig.9 Internal forces envelope curves for SFT with no-uniform stiffness of the intermediate elastic supports

从图7可见：随着弹性支撑数目增加，弯矩和剪力的上、下限值均减小，这是由于此时锚索支撑间距减小，内力随之减小；正弯矩峰值出现在子跨跨中位置且边子跨峰值大于中子跨峰值，负弯矩峰值出现在锚索支撑处且局部还存在1个较小的增大值；正负剪力的限值均位于锚索支撑处，类似于多跨连续梁的剪力分布，不同之处在于连续梁在桥墩处存在桥墩竖直向上“顶”的作用力，而悬浮隧道在锚索处存在锚索竖直向下“拉”的作用力。

浮重比是悬浮隧道的重要结构参数。由图8可见：在各种不同浮重比下，正弯矩峰值位于子跨跨中且边子跨峰值大于中子跨峰值，负弯矩峰值位于锚索支撑点；随着浮重比增大，锚索支撑刚度变大，此时，正弯矩峰值减小，而负弯矩峰值增大且局部集中效应显著，在设计时，该位置的管体结构需要局部加强。不同浮重比时剪力在每个子跨的分布基本类似，峰值均位于锚索支撑处，且其正负剪力峰值均随浮重比增大而增大。

图9所示为支撑刚度不均匀时列车荷载作用下的弯矩、剪力包络图。从图9 可见：在不同工况下，锚索支撑刚度的不均匀性对正负弯矩峰值影响较大，总体来说，ksi越大，所对应的正弯矩峰值越小，而锚索支撑处的负弯矩峰值显著越大，局部效应十分明显；锚索支撑刚度的不均匀性对正负剪力峰值影响也较明显，当跨度范围内的ksi取较大值时，该处剪力正负限值随之变大。产生这种现象的原因是支撑锚索的刚度ksi在很大程度上决定了弯矩、剪力的峰值。

3 结论

1) 将各锚索等效为竖向弹性支撑，采用子结构离散/整合技术建立了悬浮隧道管体的动力方程，通过结构自振特性、移动列车荷载响应的分析及与有限元的比较验证了所提方法的正确性。

2) 频谱图存在与锚索支撑数目相关的量纲一频率组，多阶量纲一频率汇集于一个局部区域，各阶量纲一频率之间随着支撑刚度变化的接近方式为交叉或转向，不同支撑数目时量纲一频率随ks变化的敏感区间不同。

3) 在各种参数组合下，悬浮隧道结构子跨跨中和锚索支撑点的竖向位移峰值均出现在移动列车经过该位置时刻，位移的上、下限值与锚索支撑数目、浮重比及刚度不均匀性密切相关。

4) 弯矩、剪力对多种结构参数较敏感，总体上说，当锚索支撑数目减少、浮重比增大且支撑刚度变大时，内力包络图中正负弯矩上、下限值变大，锚索支撑处剪力上、下限值也变大。