一般旋转曲面方程研究

丁尚文

（合肥工业大学宣城校区基础部，安徽宣城 242000）

0 引言

旋转曲面方程及其性质是高等数学教学的重要内容。高等数学教材给出了平面曲线绕平面内定直线旋转一周所成的旋转曲面的定义及方程［1］，主要给出的是旋转轴与坐标轴重合条件下的一类旋转曲面方程［1-2］。2013 年全国硕士研究生入学统一考试（数学一）试卷中出现旋转轴与坐标轴不重合条件下旋转曲面求解试题。对于空间曲线绕任意定直线旋转所成的旋转曲面方程，文献［3］将旋转曲面想象成由空间曲线上的动点围绕定直线旋转一周所成的一系列平行圆堆叠而成，并将平行圆方程和曲线方程联立推导出旋转曲面方程。文献［4］联立平行圆方程和空间曲线方程，并借助多项式理想的Groebner基理论方法对旋转曲面方程组进行去参数化处理［5］，得到旋转曲面方程。本文以坐标平面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程为基础，通过寻找2个坐标系之间的姿态和相对位置，利用方向角和转轴公式推导空间曲线绕定直线旋转所成的一般旋转曲面方程。

高等数学教材关于旋转曲面的定义及方程的叙述：

定义1［1-2］平面上曲线C绕该平面上一条定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。

结论1［1-2］若旋转曲面Σ是由yoz坐标面上的曲线C：f(y，z)=0绕z轴旋转一周所成（如图1 所示），则该旋转曲面Σ的方程为f(±，z)=0。

图1 平面曲线C绕z 轴旋转Fig.1 Plane curve C revolves around z axis

1 主要结果及其推导

称空间曲线绕定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，拓展了旋转曲面的概念。首先讨论空间曲线与定直线共面条件下，空间曲线绕定直线旋转一周所成的旋转曲面方程的求解问题（简称问题1），然后讨论更具一般性的旋转曲面方程求解问题（分别简称问题2 和问题3）。

引理1［6］设坐标系o−xyz和o−x′y′z′为具有相同坐标原点的2 组直角坐标系（符合右手坐标系规则），又ox′轴、oy′轴和oz′轴在坐标系o−xyz下的方向角分别为α1，β1，γ1；α2，β2，γ2；α3，β3，γ3，设空间一点p在坐标系o−xyz和o−x′y′z′下的坐标分别为(x，y，z)和(x′，y′，z′)，则2组坐标之间的关系为

称式（1）和式（2）为坐标变换，简称转轴公式。

问题1已知空间曲线Γ由平面π：Ax+By+Cz+D=0和空间曲面Σ0：f(x，y，z)=0相交而成，空间直线L的方程为，且L在平面π 上。设旋转曲面Σ由曲线Γ绕定直线L旋转一周而成，求旋转曲面Σ的方程。

解在直线L上任取一点作为新坐标系的坐标原点o′，且设点o′在坐标系o−xyz下的坐标为(x0，y0，z0)。在平面π 上过点o′作垂直于L的垂线，并将该垂线选为y′轴。x′轴、y′轴与z′轴符合右手坐标系规则，坐标系位置如图2 所示。为方便叙述，将文中新坐标系简记为o′−x′y′z′，原坐标系记为o−xyz。分别在x′轴、y′轴和z′轴正方向各取一点p1，p2和p3，且有o′p1∥x′轴，o′p2∥y′轴，o′p3∥z′轴，其中，∥表示平行或共线。分别对向量o′p1，o′p2和o′p3单位化，得到单位向量：

图2 空间曲线Γ绕z′轴旋转Fig.2 Space curve Γ revolves around z′axis

由方向角和方向余弦的定义，知α1，β1，γ1；α2，β2，γ2和α3，β3，γ3分别为x′轴、y′轴、z′轴在坐标系o−xyz下的方向角。由引理1可得对应的转轴公式为

将式（3）分别代入平面方程π：Ax+By+Cz+D=0 和空间曲面方程Σ0：f(x，y，z)=0，联立两方程并消去x′，可得空间曲线Γ在坐标系y′o′z′下的曲线方程，简记为g(y′，z′)=0。旋转曲面Σ可由曲线Γ绕与z′轴重合的直线L旋转一周而成。由结论1，可知该旋转曲面方程为

解若空间曲线Γ与空间直线L共面，则可采用问题1 方法求解旋转曲面Σ的方程。若空间曲线Γ与空间直线L不共面，则按照以下方法求解。

建立新坐标系o′−x′y′z′：在空间直线L上任取一点作为新坐标系的原点o′，设o′在坐标系o−xyz下的坐标为(x0，y0，z0)。选取直线L为z′轴，并将过坐标原点o′与该直线L垂直的直线选为y′轴，x′轴、y′轴与z′轴符合右手坐标系规则（图3）。在x′轴、y′轴和z′轴正方向各取一点p1，p2和p3，得到与坐标轴共线的3个向量o′p1、o′p2和o′p3。对向量o′p1、o′p2和o′p3单位化，得到

图3 空间曲线Γ绕z′轴旋转Fig.3 Space curve Γ revolves around z′axis

由方向角和方向余弦的定义，知α1，β1，γ1；α2，β2，γ2和α3，β3，γ3分别为x′轴，y′轴，z′轴在o−xyz系下的方向角。由式（4），可得到空间曲线Γ在坐标系o′−x′y′z′下的参数方程

对参数t0，θ消元，可得到一般旋转曲面方程H(x′，y′，z′)=0。再由式（4），得到在坐标系o−xyz下旋转曲面Σ的方程

2 应用举例

解由题中条件，可知空间直线L和空间曲线Γ在平面π：x−2y+2z+2=0 上。选取在空间直线L上的点p0(0，1，0)为新坐标系下的坐标原点o′。z′轴与空间直线L重合，在平面π上过点p0(0，1，0)作垂直于直线L的垂线，并将该垂线取作y′轴；x′轴、y′轴与z′轴相互垂直，符合右手坐标系规则，见图4。

图4 空间曲线Γ绕z′轴旋转Fig.4 Space curve Γ revolves around z′axis

消去参数t和θ，得到一般方程

由式（12），则可得旋转曲面Σ在坐标系o−xyz下的一般方程

解以o′(1，0，0)为新坐标系下的原点，将直线L选为z′轴，采用与问题2相同的方法建立坐标系。坐标系o′−x′y′z′的位置见图5，将原坐标系记为o−xyz。分别在x′轴、y′轴和z′轴正方向各取一点p1，p2和p3，点p1，p2，p3的坐标和向量o′p1，o′p2，o′p3的求解与例1类似，得到p1(1，1，0)，p2(0，0，1)，p3(2，0，1)，o′p1={0，1，0}，o′p2={−1，0，1}，o′p3={1，0，1}。分别将向量o′p1，o′p2，o′p3单位化，得到与x′轴、y′轴和z′轴同向的由方向余弦组成的单位向量{0，1，0}，。设点p在坐标系o−xyz和o′−x′y′z′下的坐标分别为(x，y，z)和(x′，y′，z′)，它们之间的关系可由式（3）和式（4）得到，分别为：

图5 空间曲线Γ绕z′轴旋转Fig.5 Space curve Γ revolves around z′axis

将式（18）代入式（20），得到在坐标系o−xyz下的旋转曲面Σ方程

3 结论

讨论了空间曲线Γ与定直线L共面和不共面条件下，空间曲线Γ绕定直线L旋转一周所成的旋转曲面方程的求解方法。利用向量的方向角寻找2个坐标系之间的姿态是求解一般旋转曲面方程的新教学工具。本研究是对旋转曲面方程教学内容的有益补充。