Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein 复形研究

焦玉娟

（西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030）

作为双边Noether 环上G-维数为零的有限生成模的推广和对偶，ENOCHS等［1］在一般环上引入了Gorenstein 投射模和Gorenstein 内射模的概念。自此，以Gorenstein 投射模和Gorenstein 内射模为主要研究对象的Gorenstein 同调代数备受关注。作为Gorenstein 投射模和Gorenstein 内射模的统一推广，SATHER-WAGSTAFF等［2］和GENG等［3］研究了W-Gorenstein模，其中W 为自正交模类；进一步，ZHAO等［4］研究了VW-Gorenstein模，其中V，W 是2个模类。Gorenstein 投射（内射）模，GC-投射（内射）模［5-7］、W-Gorenstein 模、Auslander 类中的模和Bass类中的模［8］为VW-Gorenstein 模的特例。

CARTAN等［9］引入了复形的一类投射分解和一类内射分解。VERDIER［10］分别称其为复形的Cartan-Eilenberg（CE）-投射分解和CE-内射分解，并提出了CE-投射复形与CE-内射复形的概念。ENOCHS［11］进一步研究了CE-投射复形和CE-内射复形，证明了每个复形都有CE-投射预覆盖和CE-内射包络，复形的CE-投射分解（CE-内射分解）就是由CE-投射预覆盖（CE-内射包络）给出的复形的CE-正合序列，同时，研究了CE-Gorenstein投射（内射）复形，证明了CE-Gorenstein 投射（内射）复形的2 种定义方式等价。设W 是一个模类，LIANG等［12］和LU等［13］用不同方法研究了CE WGorenstein 复形，证明了如果W 自正交，则CE WGorenstein 复形有完备CE W-分解。

受文献［4，11-13］的启发，本文研究CE VWGorenstein 复形。

1 预备知识

设R，S为有单位元的结合环，除特别说明外，下文讨论的均为左R-模或左S-模和左R-模或左S-模的复形。用C 表示模的复形范畴，投射、内射左R-模类分别记为P(R)和I(R)。设SCR是一个半对偶(S，R)-双模，PC(S)，IC(R)分别表示C-投射左S-模类和C-内射左R-模类；相对于C的Auslander 类和Bass 类分别记为AC(R)和BC(S)［8］。将复形

记为(X，δ)，简记为X。复形X的第n个循环、边缘、同调模分别记为Zn(X)，Bn(X)，Hn(X)。X的循环、边缘、同调复形分别记为Z(X)，B(X)，H(X)。用上标区分不同的复形，例如，设{Xi}i∈I是一簇复形，则复形Xi为

设A是一个Abel范畴，B 是A的一个全子范畴。如果对任意的B∈B，复形HomA(S，B)（HomA(B，S)）正合，则称 A 中的复形S是HomA（-，B）-正合（HomA（B，-）-正合）的。设X，Y是A的2个全子范畴，若对任意的X∈X，Y∈Y，均有，则记X⊥Y。特别地，如果X⊥X，则称X 自正交。

定义3［4］设V，W 是2个模类。如果存在Hom（V，-）-正合和Hom（-，W）-正合的正合序列：

其中，Vi∈V，Wj∈W，使得M≅Im δ0，则称模M是VW-Gorenstein的。

VW-Gorenstein 模的类记为G（VW）。特别地，G（VV）简记为G（V）。

注1（1）当V=P(S)，W=PC(S)时，VWGorenstein 模为GC-投射S-模［7］；

（2）当 V=IC(R)，W=I(R)时，VWGorenstein 模为GC-内射R-模［7］；

（3）当V=W时，VW-Gorenstein模为WGorenstein模［2-3］。特别地，当V=W=P(R)(I(R))时，VW-Gorenstein 模为Gorenstein 投射（内射）R-模［1］；

（4）当V=P(R)，W=IC(R)时，G（VW）=AC(R)［8］；

（5）当V=PC(S)，W=I(S)时，G（VW）=BC(S)［8］。

2 CE VW-Gorenstein 复形

设V，W 是2个模类，X是一个复形。由定义1，如果对任意的n∈Z，有Xn，Zn(X)，Bn(X)，Hn(X)∈G(VW)，则称X是CE VW-Gorenstein 复形。由注1，知CEGC-投射S-复形、CEGC-内射R-复形、CE W-Gorenstein复形［12］、CE Gorenstein投射（内射）复形［11］、CE AC(R)-复形和CE BC(S)-复形为CE VW-Gorenstein 复形的特例。

下文中，总假设V，W 满足：

（*）V，W 关于扩张、同构和有限直和封闭，且V⊥W，V⊥V，W⊥W，V，W ⊆G(VW)的左R-或S-模类。

注2（1）由文献［3］注记2.3（4）、文献［6］命题2.6 和文献［8］命题5.2，知V=P(S)，W=PC(S)满足条件（*）。对偶地，V=IC(R)，W=I(R)满足条件（*）；

（2）若V=W 是关于扩张、同构和有限直和封闭的自正交模类，则V，W 满足条件（*）；

（3）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知V=P(R)，W=IC(R)满足条件（*）；

（4）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知V=PC(S)，W=I(S)满足条件（*）。

定义4复形X的完备CE VW-分解是HomC(CE(V)，−)-正合和HomC(−，CE(W))-正合的CE-正合序列

由推论1，可得

推论2设X是CE VW-Gorenstein 复形，则在X的完备CE VW-分解中，每个态射的核均为CE VW-Gorenstein 复形。