格林函数变号时二阶离散周期边值问题正解的存在性

胡文丰，王晶晶

（1.宁波职业技术学院 公共教学部，浙江 宁波 315800；2.西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）

0 引言

周期边值问题古老又富有生命力，近年来，二阶周期边值问题正解的存在性研究取得了丰硕的成果［1-10］。ATICI等［1］利用锥上的不动点定理研究了二阶离散周期边值问题

解的存在性，其中p(n)>0，q(n)>0且f：[1，N]Z×[0，+∞)→[0，+∞)关于第2个变量连续，[1，N]Z={1，2，…，N}。ATICI等［2］运用上下解方法研究了当p(n)≡1 时的二阶离散周期边值问题

解的存在性，其中q：[1，N]Z→(−∞，0]满足q(⋅)≠0，f：[1，N]Z×R →R。王丽颖等［3］和李晓月等［4］运用锥上的不动点定理研究了式（1）和式（2）正解的存在性和多解性。MA等［5］运用锥上的不动点定理证明了二阶离散周期边值问题

正解的存在性，其中q：[1，N]Z→(0，∞)。蒋玲芳［6］运用锥上不动点定理研究了二阶离散周期边值问题

正解的存在性和多解性。

值得注意的是，以上文献在研究周期问题时格林函数G(t，s)均严格为正，保证了相应的分算子为正，即可以构造一个非负锥，运用锥上的不动点定理证明其正解的存在性。一个有趣的问题是，G(t，s)变号后式（3）是否仍存在正解？

当G(t，s)定号、有零点或变号时，有关连续的二阶周期边值问题正解的存在性已有不少重要结果［7-10］，但至今未见当G(t，s)变号时离散的二阶周期问题式（3）正解的存在性报道。受文献［3-10］的启发，本文讨论边值问题

本文将通过讨论G(t，s)变号后的性质，构造一个新锥，结合锥上的不动点指数理论获得式（5）正解的存在性结论，同时给出式（5）正解不存在性的结果。

1 预备知识

当θ1=0时，λ1=k2为式（12）的主特征值且相应的特征函数为ϕ(t)≡1>0。

本文用到的主要引理：

引理1［11］令E为Banach空间，K⊆E为E中的一个闭凸锥。L：K→K为一个全连续算子，i(L，Kr，K)表示算子L的不动点指数。

（i）如果对于任意的u∈∂Kr有μLu≠u，那么i(L，Kr，K)=1；

（ii）如果对于任意的u∈∂Kr有且μLu≠u，μ≥1，那么i(L，Kr，K)=0。

2 存在性结果

给出当λb(t)≡1时，式（5）正解的存在性。

假设非线性项f满足：

且假设f0，f∞∈[0，∞]。

定理1假设（H1）～（H3）成立，另假设当γ=+∞时，f0>k2，f∞

定义算子L：K→E

不难验证u∈K是算子L的一个不动点当且仅当u为式（5）的1个正解。

引理2假设（H1）～（H3）成立，则L(K)⊆K，且L：E→E全连续。

证明对任意的u∈K，当γ=+∞时，G(t，s)>0，从而Lu(t)≥0，t∈[0，n+1]Z。

当γ<+∞时，

且对任意的t∈[1，n]Z，有

3 不存在性结果

考虑带参数的二阶离散周期边值问题

由式（23），可得

利用式（21）、式（25）和定理2的条件，可得

故当λ充分小时，u λ(t)<0，即式（19）不存在正解。

定理3假设（H5）成立，若f：R+→R 连续且为凸函数，满足

则对充分大的λ>0，式（19）不存在正解。

证明反设{(μn，un)}是式（19）的一列正解序列且满足

这与式（26）矛盾，即当λ充分大时，式（19）不存在正解。

例2讨论二阶离散周期边值问题

正解的存在性，其中f(u)=eu。

显见，f为[0，∞)上的凸函数且满足

故定理3的条件均成立。由定理3，对于充分大的λ，式（27）不存在正解。