探索规律题型解题锦囊

王雪洁

观看了许群德老师的直播课，收益颇多. 探索规律题型能够很好地体现“从特殊到一般，从一般到特殊”的数学思想，这类题在中考试卷中经常出现.

在《三国演义》中，赵子龙用诸葛亮给的三条锦囊妙计护卫刘备和孙夫人安全离开吴地. 现在，我们就效仿他们，用锦囊妙计来解决探索规律题型.

锦囊一：适用于循环周期型变化

找到循环节，总数除以它，重点看余数，猜想后验证.

例1 已知31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，…那么32022的个位数字是 .

解析：先找到循环节，发现3，9，7，1，3，9，7，1，…每4个为1次循环，题中要求的总数是2022，2022 ÷ 4 = 505……2，由余数为2可猜想结论为9. 验证一下：32和36的指数除以4所得余数都是2，它们的个位数字也都是9，则猜想的结论正确. 故应填9.

锦囊二：适用于等差数列均匀变化

口算找等差，乘以等差，然后问自己：当n取之后，加减什么数可以得到首项结果，规律通式就写出来啦！

例2 已知1，3，5，7，9，…则第n项是.

解析：分别计算后一个数与前一个数的差：3 - 1 = 2，5 - 3 = 2，7 - 5 = 2，9 - 7 = 2，…发现差相等且都为2，用项数n乘以2得2n. 当n = 1时，2n = 2 × 1 = 2，第一项的结果为1，刚才计算出来的2减1即可，所以第n项是2n - 1. 故应填2n - 1. 该式被称为这组数据的通式，其包含了用字母表示数的数学思想.

锦囊三：适用于差的差为等差数列

八年级阶段我们不容易发现其中的规律，只能使用序号法，通过相同的分析思路，写出每一项具体的式子（这里需要特别注意的是一定不要合并同类项，要保留分析思路），观察其中规律，可直接观察或使用等差数列求和公式得出结论. 等到九年级学习二次函数之后，我们就可以代入三点坐标直接求通式了.

例3 在1条线段上增加1个点，共有条线段；增加2个点，共有

条线段；增加3個点，共有条线段；增加4个点，共有条线段；增加10个点，共有条线段.

解析：序号法就是对图示进行标号，一般情况下在第①个图中n = 1，在第②个图中n = 2，依此类推（偶尔也有不从1开始的），然后对应写出计算式子，通过观察变化过程中的规律写出通式.

当n = 1时，1 + 2 = 3；

当n = 2时，1 + 2 + 3 = 6；

当n = 3时，1 + 2 + 3 + 4 = 10；

当n = 4时， 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15；……

我们发现，3，6，10，15，…的差分别为3，4，5，…，

这里的3，4，5虽然不相等，但是4 - 3 = 5 - 4 = 1，所以差的差为等差数列.

从结果中虽然看不出规律，但可以看前面的式子，找出规律：

第1项是从1加到2，第2项是从1加到3，第3项是从1加到4，第4项是从1加到5，

由此可以推测，第n项就是从1加到n + 1，

则[（首项 + 末项） × 项数2] = [（1 + n + 1） × （n + 1）2] =  [（n+2）（n+1）2]，

经验证，我们的推测正确.

当n = 10时， [（n+2）（n+1）2] = 66.

故应填3，6，10，15，66.

反思：有些同学认为只要计算到1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 = 66，就可以得出结论了，没有必要写出通式，费时费力. 其实，“磨刀不误砍柴工”，在分析这道题的过程中，我们经历的是从特例到猜想一般规律，再到验证的过程，这是重要的数学思想. 这种思考问题的方式是我们学习数学的法宝. 因此，解题不能只看结果，流于表面，要深入挖掘命题人想的是什么. 争取做到：做一题，会一法，通一类.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：5分钟

1. -1，2，5，8，11，…，第n项是 .

2. 观察砌钢管的横截面图（如图2），当n = 10时，最下面一排钢管有根；第n个图的钢管总数是根. （用含n的式子表示）

（答案见第33页）

（作者单位：沈阳市第一四五中学）