数学建模视角下棱锥外接球半径优化求解路径

张隆亿，肖金枝

(福建省永春第一中学，福建泉州，362601)

数学建模能力是指能在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型,求解模型,检验结果、改进模型;能对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题.数据分析是数学建模的重要内容,主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,进行推断,获得结论.

含棱锥外接球半径的试题，能有效考查学生对球的截面性质，立体图形到平面图形转化的掌握程度，考查逻辑推理，数学建模，直观想象等数学核心素养.难度可控，常渗透在选择题、填空题之中，备受高考命题者的青睐.从联考的实测数据来看，这类试题得分率较低，本文以球的截面性质抓手，建立模型，探求棱锥外接球半径优化路径.

模型1：椎体内接于长方体

常见的可内接于长方体的椎体有：墙角棱锥及变形、对棱相等的三棱锥等.

案例1(2021·朝阳区校级四模·文改编)已知三棱锥A-BCD，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=3，则棱锥A-BCD的外接球表面积.

评注：试题以对棱相等的三棱锥为背景，考查棱锥的外接球面积.利用球的截面性质直接求解,在求解截面外接圆半径较为麻烦，费事费力时，抓住对棱相等这个主要条件，识别模型，利用模型优化棱锥外接球的求解路径，达到事半功倍的效果.

模型2：单截面模型

② 侧棱长相等的棱锥P-ABC中，d=|h-R|(h为棱锥的高)

模型3：双截面模型

案例4(2021·百强名校5月份模拟)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PC=BC=2，AB=4，∠APC=120°，平面PAC⊥平面ABC，则球O的体积为.

简而言之，棱锥的外接球半径求解问题, 学生常因为构图困难、无法球心位置、不能准确将立体图形转化为平面图形等造成失分.解题关键在于确定球心位置.本文以球的截面性质为主要突破口，对棱锥的外接球半径求解建模、解模做了些探索，优化了求解路径，有效破解此类问题的解题障碍，达到事半功倍的效果.