养成量感核心素养的教学探索
——透过测量物体长度属性的量的视点

张 昆

(淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 235000)

任何具体事物都有关于“量”的属性方面的特征，这些不同属性的量，通常采用数(称为“量数”)和单位量加以表征与刻画。对物体量的认识，是对客观世界认识的一项重要组成部分，通过认识物体量的中介作用，人们能够对于客观物质世界的数量特点进行认识、记录、表达与交流。对于物体量的认识是处于幼儿园与小学学段的学生在自己的生活中经常接触到的数学内容，因而，对于物体量的认识是基础教育中的一项重要的数学内容。本文从修订的《义务教育数学课程标准》中，设定数学课程目标的量感核心素养要素展开讨论。

一、量感核心素养的内涵辨析

修订义务教育数学课程标准所形成的“预审稿”(后文简称“预审稿”)，结合《普通高中数学课程标准(2017年版)》，提出的6项具体的数学核心素养，再依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的10个关键性“核心词”，抽绎出16项数学核心素养要素，作为义务教育数学学科课程目标，“量感”被列为其中的第2项[1]。为了讨论作为数学课程目标的量感核心素养概念内涵，首先引用“预审稿”关于量感核心素养的表述：

“量感主要是指对事物的可测量属性以及大小关系的直观感知。知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会对真实的情况选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；初步感受度量工具和方法引起的误差，能合理得到和估计度量的结果。建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，是形成抽象能力和数学的应用意识的经验基础。”(“预审稿”，页10)

关于量感核心素养的这段文字，表述了三个层次的意义：首先，“量感主要是指对事物的可测量属性以及大小关系的直观感知”，很显然，在这段文字中，这句话意味着界定了作为义务教育数学课程量感核心素养目标要素的概念内涵；其次，随后使用两个分号连结的一句话(即第二句话)，其实是列举了量感与度量的作用与功能，主要指的是量感的实用价值；最后，第三句话描述的是量感促进学生习惯、能力、思维品质等发展的教育价值。

“预审稿”关于“量感”概念内涵的这种界定，存在着就事论事的特点，不论对于数学课程目标，还是教师将其转化为教学目标来说，对于其内涵，都有必要作出更为合理的界定与解释。因此，本研究建议应该将“量感”这项核心素养的内涵界定为，小学生对于具有可测量属性的量(由数据与标准单位组成)作为判断客观物体量化属性的思维活动的一项工具，即刻画客观对象某项属性的量的多少或程度(这种程度由适合于外在客观对象特点的一种标准单位所决定，使用一个具体数据置于这个“单位”之前，量及其表示的量的数，虽然属性各别，但总是结伴而行)的一种心理倾向性，也可以这样说，“量感”是对于量的意识与运用的一种心理倾向性。

二、帮助学生养成量感核心素养的教学策略探索

众所周知，选择合适的教学策略的基础在于，教师对于教学内容及其涵蕴的教学目标的正确认识。当将量感这种学生的心理倾向性设定为教学目标时，教师需要注意的是，与数感不同，丹齐克例举了大量的证据，说明了原始数感(丹齐克使用的数觉这个概念)这种心理倾向性是与生俱来的[2]，然而，量感这种心理倾向性不是与生俱来的，而是在数感的基础上，学生从自己的长期生活经验积累起来的。小学生关于量感的生活经验，对于后来他们进入学校学习起着十分重要的作用，因此，帮助学生养成量感核心素养，要充分利用经验，也要与帮助学生养成数感核心素养密切地结合起来。在帮助学生养成量感核心素养的教学设计及其课堂实施中，可以分为如下几个次第环节：

第一环节：充分利用生活经验。首先，生活中两个同类物体(例如，两棵树)的长度属性的量具有大与小、高与矮、长与短的形象，这些比较及其结论，入学以前的学生在生活中，就已经认识到了，学生的自然生活提供了必要的经验。其次，在学生入学后，这些生活中关于物体某种属性的量的经验，需要在教师的逐步帮助与引导下，通过归纳转化为数学经验，依据文化规范，形成数学共同体的标准数学语言予以表述。最后，要求学生在操作具体教具(或实物)的基础上作出大小、多少等物体某种属性的量的判断，例如，两个小积木搭建成一个大积木，则搭建出来的这个大积木的体积当然大于其中的这两个小积木的体积，由此，可以使用大于号(“>”)表示，为将来使用数学规范的语言加以表述埋下伏笔与奠定基础。

第二环节：充分利用学生对于物体某种属性的量的感知。学生对物体某种属性的量的认识，最初并非总是采用测量的途径，而是通过不同的感官感知物体某种属性的量，例如，要比较同学甲与同学乙的身高，他们让这两名同学站在同一个平面上，看一看就能作出具体的判断。教师要充分利用不同物体的不同属性的量，鼓励学生在视觉、触觉、运动觉，甚至于利用中介物等多种感受物体量感官功能的作用下，感知到物体量的大小、长短、轻重属性的特征。

教师应该根据小学生认知活动的心理特点，选择与提供教学素材，应该利于这个年龄段的小学生进行比较。首先，所选择的物体量的属性应该是单一的(即不能使用物体的几个维度的量进行操作比较活动，这样容易导致学生所比较的不是物体量的对等的属性)，否则容易造成学生产生不必要的错误；其次，应该突出所要比较的物体某方面的属性，例如，要比较两根小棒的长与短，教师所采用的两个小棒的粗细应该是一样的，从而容易启发学生进行比较；当然，随着学生年级的升高、知识的增加、经验的积累，逐渐发展成比较物体二(或多)维属性中的一维。

第三环节：鼓励学生形成具体的测量操作活动。由于物体某种属性的量必须有标准单位与具体数据进行组合，才能加以描述与说明，这样就会逼着学生发现生成关于物体量的某种属性的标准单位，于是，真实的测量活动也就应运而生了。所谓测量物体的某种属性的量，是指把一个要测定的物体量同一个作为标准单位的同类量进行比较的过程。用来作为计量标准单位的量，叫做计量单位。用一个计量单位去测量某一个量，结果得到这个量含有计量单位的若干倍，这个数值叫做这个量的量数。

总之，小学低年级学生对于物体某种属性的量的心理倾向性(量感)的外化，离不开入学前生活中长期潜移默化所积累起来的关于物体量的经验，有了这种将量感外化为刻画具体物体的某种属性的量的经验，才会有利于比较两个具有相同属性的物体量之间的大小或判断它们的程度；由于比较两个量之间的关系，其先决条件是要构建出表示物体某种属性的量的大小或程度的标准单位。这些发生量感认识的心理活动过程要素的揭示，就为教师帮助学生养成量感核心素养的教学设计及其课堂实施，奠定了基础，并且提供了努力方向。

三、帮助学生养成量感核心素养的教学示例

从帮助学生养成量感核心素养途径的上述分析中，能够认识到，基于实现量感教学目标，数学教师的教学设计及其课堂实施所要实现的目标是，将学生所内含于心智中的量感外化为在生活现实中的有效运用[3]，为了帮助学生完成这种外化过程，教师选择合适生活情境中的教学素材，使用合适的教学策略，设计合适的教学程序，将量感一步一步地从学生的心智中导引出来。下面依据笔者的教学实践活动过程的现实经验，叙述笔者的教学设计及其课堂实施中的关键性环节。

为了实现帮助学生养成量感核心素养的教学目标，笔者主要通过细心地分析学生心智中的关于物体某种属性的量感的心理倾向性，设身处地地认识到，这种量感的心理倾向性外化的具有次第的四个具体的心理环节。关于这四个环节的教学设计及其实施，这里从比较两个物体长度属性的量出发，举例说明：

第一个心理环节：找准认知出发点，提供学生能够接近的两个物体作为素材，展开教学活动。这个环节的特点在于，无须选择长度单位作为中介，可以直接进行比较操作。

第二个心理环节：提供学生不能接近的两个物体，启发学生萌生出相关的长度中介(固定的标准长度)，找到将不能接近的两个物体转化为可以接近的两个物体，这个环节必须选择合适的长度中介，在长度中介的帮助下，进行比较操作。

第三个心理环节：提供给学生两个物体，其中有一个物体(或者两个物体都)学生不能接近，启发学生构建标准长度单位，并且帮助学生理解这种长度标准单位不以所在的地理位置而改变，从而利用这种长度标准单位作为中介，比较两个物体的长短。

第四个心理环节：启发学生将从生活中完成解决问题所构建的单位长度回归到数学(一般)共同体的文化规范，即采用米制长度单位进行比较与刻画。

对于第一个心理环节，笔者在自己所授课的班级中，选择两名同学，要求比较他们的身高。具体的比较活动过程是：首先，选择两名身高差距比较大的同学，这两名同学无须站在一起，就能立即作出判断；其次，选择两名胖瘦与身高体型特点相差不多的同学，比较时，学生要求这两名同学站到一起来，由于教室的地面是水平的，此时，学生可以通过观察途径，比较这两位同学的身高；最后，笔者选择一名体胖的同学与一名体廋的同学，学生选择采用第二种方法加以比较，就达到目的了。

对于第二个心理环节，笔者选择了两辆相隔一段距离的不同型号的载重汽车，要求学生比较汽车的装载货物车厢的长度大小，由于两辆载重汽车无法像两名同学那样进行长度(高矮)比较，如此，构成了所有学生都面临的一个现实的问题。要解决这个问题，学生首先想到的是将这辆汽车开到一起，将车厢的一个端点并齐，然后比较另一端点位置的情况(这正如比较两名同学的身高一样)，但可惜的是，两辆汽车的司机都不在现场，这种比较方法无法实现。

怎么办？要完满地解决这个问题，学生必须要在这两辆载重车车厢长度之间找到一个中介的标准长度的量，将两辆载重车车厢长度联系起来，因此，学生需要进行与长度单位有关的一系列思维活动，才能想到具体的办法。这一系列的解决问题的次第环节，正是量感心理倾向性外化的现实活动过程。

笔者在自己的实际课堂教学中发现，这些具体的方法并不是唯一的。有的学生提供给一根固定长度的棍棒、一段固定长度的绳子、米制卷尺等具体的工具；有的学生不提供作为测量长度的具体工具，而是自己创造相关的测量工具，其中有学生想出了使用自己的运动鞋的鞋带，也有学生使用自己跳绳的绳子等；由于学生使用的鞋带的长度太短，而使用跳绳的绳长又太长，在笔者的启发下，他们创造性地将鞋带长与绳长结合起来，成功地比较了两车厢的长短。

接着，通过使用棍棒、鞋带与跳绳的实际度量长度活动过程，要求孩童比较哪一种测量长度的工具较为可靠？教师通过鼓励学生分析自己的测量工具与对于关键性环节的具体演示，学生认识到，由于绳子等长度度量工具具有伸缩性，而固定长度的棍棒不会伸缩，学生理解了使用棍棒工具测量比使用绳子工具测量可靠。此时，教师提出问题，使用米制卷尺测量长度可靠吗？起初，不少孩子认为，米制卷尺也不可靠，因为它与绳子作为长度度量一样，有可能是伸缩的，因此，它也是不可靠的，教师打开米制卷尺，鼓励学生拉直卷尺进行体验与感受，结果学生发现，卷尺可以卷起来，但是，它所确定的直线型长度不会改变，从而，帮助学生理解了，作为度量长度的工具，卷尺是可靠的。

关于第三个心理环节：完成了这两个载重汽车车厢的长度比较，笔者再次提出问题，你们有不住在一起年龄差不多大的表兄、表姐，或表弟、表妹吗？

例如，学生李建说他有和他年龄差不多的表兄，以此为教学素材，笔者又提出一个新问题：在李建与表兄不能见面的情况下，如何知道李建与他的表兄谁高谁矮呢？

为了回答这个问题，学生首先想到了使用固定长度的棍棒，这是因为他们认识到了绳子作为测量长度没有棍棒可靠，但是，孩童立即认识到，使用这个固定长度的棍棒测量李建的身高，也可以使用棍棒测量李建表兄的身高，如此，经由讨论，测量李建及其表兄身高的两根棍棒的长度可能不一样，在这种情况下，由于两个棍棒长度不一，还是无法判断李建与其表兄的身高大小。

到此，笔者肯定学生提出了一个非常好的问题，同时，又一次提出新问题：那么，如何测得李建和他表兄的准确身高，从而将两者转化为可以进行比较的两个量呢？这个问题构成了学生的真实问题，将学生卷入到了这个问题之中。学生在这个问题的刺激下，通过讨论，想到了使用相同长度的棍棒，测量李建及其表兄的身高，这样在得到李建及其表兄相对于这两根相同长度的身高量数(例如，李建是棍棒长的4倍，而李建表兄是棍棒长的4倍少一点)，可以得出李建表兄比李建矮一点的结论。

从这种具体的操作途径中，可以得出用这根棍棒的长度作为单位长度(或长度单位)，用以确定某个物件的长度，进而可以通过教学设计，介绍文化规范，人们将一米长度的棍棒作为度量长度的单位长度。通过设计这种教学活动过程，鼓励学生获得在实际操作活动中的具体测量一个物件长度的长度单位知识及其利用长度单位进入具体测量的操作活动过程。

对于最后一个心理环节：此时，又有学生提出了新问题，假定测量李建与李建表兄所使用的棍棒是一样长的，如果这根棍棒不能恰好测量得李建为棍棒的4倍长，李建表兄恰好是棍棒的4倍长少一点的话，例如，他们两人都是棍棒的4倍长少一点，那该怎么办呢？这其实已经涉及了单位的细化问题，理解十进制计数法的心理动力已经蓦然产生了。到此，这就为依据测量长度(数学)共同体的文化规范，笔者能够向学生娓娓道来，这些不是这节课的要旨，因此，关于其教学活动过程，就略而不记了。

学生通过明确问题、分析问题、解决问题发生数学知识认识的结果，首先是通过自己选择个性化(生活)语言加以表达与交流的，这是数学教学中的一种自然现象。教师需要依据学生使用的这种个性化生活语言为基础，启发学生转化为数学共同体的历史文化规范所使用的语言，这是各个知识点教学都存在的普遍问题，这是数学教学的一个重要环节，要引起数学教师的注意。

关于帮助学生养成量感核心素养的课堂目标，笔者选择使用的教学策略是基于导引外化的课堂教学理念，由于笔者先在地认识到，量感虽然不是与生俱来的，但它却是学生在学前的生活经验中已经有效地无意识地塑造形成了，因此，选择合适的外在生活中的问题，帮助学生将这种量感外化出来，解决实际问题，这样的教学设计及其课堂实施过程就是非常重要的了[4]。这里，非常好地体现比较两个物体长度属性量的教学活动。

四、结束语

皮亚杰指出：“空间测量虽不依赖于数量而发展，但和数量有着密切的同型性(空间测量比数量的出现约迟六个月，因为在连续空间内各个部分的一致性并非事先就已经知道的)。事实上，测量一条线的长度，先是把连续空间(即连续体)划分为各个部分，然后把各个部分连结在一起，这同分类的‘包含’相类似。但是，为了建立和利用这个一致性，必须把其中某一部分作为一个单位，并把这个单位按照一定次序‘位移’(即指彼此毫无重叠)；连贯地运用于全体，这种有次序的位移相当于一种序列的形式。由此可见，空间测量乃是‘位移’和各部分相加的综合，犹如数量是序列和包含的综合一样。”[5]通过这段话，皮亚杰强调了以长度为基础性维度进行空间测量的理念，这种理念转化为测量中的心理操作的或现实的肢体操作的活动过程，这对于教师启发学生将量感外化具有理论上的指导意义。在实际教学设计及其课堂实施中，教师领会与理解这种理论意义非常重要，同时，数学教师需要寻找与选择合适的教学素材，通过自己的教学设计艺术性处理，将这种理论意义转化为教学实践中的现实过程也是非常重要的[6]。对于实现帮助学生养成量感核心素养的教学目标来说，数学教师需要将理论指导与实践操作完满地结合起来，才能扎扎实实地完成教学任务。▲