高考中概率统计问题的分析与展望

河北省廊坊市第一中学 杨明

通过对近几年高考试卷的研究,发现概率统计模块的考查更注重在数学知识交汇处命题,强调数学知识的综合性与应用性。解答题中对于概率统计的考查,新高考数学试题朝着“重视基础、强调综合、体现应用与着力创新”等特点的命题方向发展。

一、强调综合

“综合性”主要体现在概率统计模块的知识与其他数学知识之间的综合与应用,特别是与函数、方程、不等式、数列等知识的交汇,同时与其他学科及数学思想方法的综合。

例1数据显示,中国直播购物规模近几年保持高速增长态势,而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点。已知某顾客在直播电商处购买了n(n∈N*)件商品。

(1)若n=10,且买到的商品中恰好有2件不合格品,该顾客等可能地依次对商品进行检查。求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列。

(2)抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2。若顾客购买的n件商品中,至少有2件合格产品的概率不小于0.998 4,求n的最小值。

解析：(1)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2。

所以X的分布列为表1。

表1

(2)记“顾客购买的n件商品中,至少有2件合格产品”为事件A,则P(A)=1-0.2n,由题意可知1-(1+4n)×0.2n≥0.998 4,所以(1+4n)×0.2n≤0.001 6,即(1+4n)×0.2n-4≤1。

设f(n)=(1+4n)×0.2n-4,则f(n+1)-f(n)=(5+4n)×0.2n-3-(1+4n)×0.2n-4=-16n×0.2n-3＜0,所以f(n+1)＜f(n),因为f(5)=21×0.2=4.2＞1,f(6)=25×0.04=1,所以当n≥6 时,f(n)≤1成立,所以n的最小值为6。

点评:借助超几何分布的计算、分布列的确定及概率中最值问题的应用等,将概率统计知识与函数等相关知识加以综合。“综合性”不是数学知识、思想方法等的“大杂烩”,而是借助创新情境来合理创设,充分把学科间、知识间、思想方法间的不同要素加以综合与联系。

二、体现应用

“应用性”的要求主要体现在同学们能够以生产生活情境中的实际问题,融入阅读能力,学科综合,应用意识等,借助数学抽象与数学建模,综合逻辑推理、数学运算和数据分析等,对问题进行合理的判断、识别与决策。

例2数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现。为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动。已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图1所示。

图1

(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上的成绩定为合格。为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会。记ξ为抽取的4人中成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望。

(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(用一组数据的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数。(结果根据四舍五入保留到整数位)

附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。

解析：(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法,可知抽取的10 人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4,故ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4。

故ξ的分布列为表2:

表2

(2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64。

σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18。

由X服从正态分布N(64,182),可得P(64-18＜X≤64+18)=P(46＜X≤82)≈0.682 7,则0.682 7)≈0.158 65,P(X＞46)≈0.682 7+0.158 65=0.841 35,60×0.841 35≈50。

所以此次竞赛受到奖励的人数为50。

点评:综合频率分布直方图、分层抽样、正态分布、随机变量的期望与方差等,实现问题的实际应用。高考试题设计注重实际应用,借助概率统计的分析结果,合理作出相应的科学决策。

三、着力创新

“创新性”的要求主要体现在同学们要具有独立思考能力,具备批判性和创新性等思维方式。高考概率统计模块的试题经常通过创新情境的探究性或开放性来设置,或探究应用,或开放结论,全面发展同学们的个性,并有效增强其创新意识与创新应用。

例3空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如表3所示:

表3

某场馆记录了一个月(30天)的情况,如表4所示:

表4

(1)利用表4,估算该场馆日平均AQI的值。(利用这组数据所在区间的中点值来代表对应组中的数据)

(2)如果把频率视为概率,且每天空气质量之间相互独立,求未来一周(7 天)中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率。(参考数据:0.77≈0.082 4,结果精确到0.01)

(3)为提升空气质量,该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统。已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如表5所示:

表5

已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动,促销期内每个滤芯售价1千元,促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元。该场馆每年年初先在促销期购买n(n≥8,且n∈N*)个滤芯,如果不够用,则根据需要按原价购买补充。试问:该场馆年初促销期购买多少个滤芯,使当年购买滤芯的总花费最合理? 请说明理由。(不考虑往年剩余滤芯和下一年需求)

解析：(1)由题得125×15+175×6)=115。

(2)一个月30天中达到优或良的天数为9,空气质量等级达到优或良的概率为,所以未来一周(7 天)中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为0.3×0.76-0.77≈0.67。

(3)按照这个数据,每年需要6 到10 个滤芯,也就是n=8,9,10,假设需要为Z,则P(Z=10)=0.5×0.5=0.25,P(Z=9)=0.5×0.3×2=0.3,P(Z≤8)=1-0.25-0.3=0.45,那么当n=8 时,会有花费Cn=8的分布为P(Cn=8=1 000n)=P(Z≤8)=0.45,P(Cn=8=1 000n+2 000)=P(Z=9)=0.3,P(Cn=8=1 000n+4 000)=P(Z=10)=0.25,均值E(Cn=8)=0.45×8 000+0.3×10 000+0.25×12 000=9 600,同理算出E(Cn=9)=(0.45+0.3)×9 000+0.25×11 000=9 500,E(Cn=10)=10 000,故买9个最划算。

点评:依据概率与统计学中的方法对数据进行分析,作出合理的决策,考查了数据分析素养和创新应用意识。设问的开放性、答题的多样性,以及根据统计的意义作决策是本题的亮点。

概率统计模块的解答题更加贴近生活实际,以实际应用情境来设置相应问题,同时情境更加接近于同学们的日常生活,数学应用模型更加合理与科学,注重数学内部知识的有机融合与交汇等。