悬臂梁失稳时挠度的非线性近似解

胡志程 罗月娥 王学文

摘 要：《材料力学》教材在分析受压杆件的稳定性问题时通常采用线性化的挠曲线近似微分方程和近似的边界条件，此方法会导致压杆失稳时挠度不能确定的问题。文中以悬臂梁为例分析了导致此问题的原因，然后采用更准确的边界条件，求解了包含非线性项的挠曲线近似微分方程。这样不仅可以得到悬臂梁失稳时的临界压力，还可以确定压杆的挠度、转角，以及轴向位移。

关键词：悬臂梁;挠曲线微分方程;挠度;转角

中图分类号：O343 文献标识码：A 文章编号：20959699（2023）06000603

在工程结构中，杆件必须满足强度、刚度和稳定性要求，才能正常工作。就细长受压杆件而言，稳定性问题更加值得关注。因为在发生强度失效之前，压杆可能已经失去其原有的平衡状态，产生显著的弯曲变形，从而失去正常的工作能力[1]。1744年，欧拉研究了轴向受压杆件的稳定性问题，建立了压杆失稳变形的挠曲线微分方程，并给出了其解析解[2]。但是，欧拉给出的解析解用到了椭圆积分，求解过程比较复杂，因此在教材中没有介绍此方法。

一般《材料力学》教材都是采用小角度近似的方法，将挠曲线曲率表达式中的非线性项略去，从而得到挠曲线的线性近似微分方程。虽然通过求解该方程可以确定临界压力，但是不能确定压杆在各个位置的挠度。因此，对压杆进行稳定性校核时，只能对轴向压力进行校核，无法对杆件的变形进行校核。关于如何确定挠度这个问题，已有不少学者做出了探讨。张仲毅[34]分析了细长杆件失稳变形时挠度不确定的原因，并给出了两端铰支细长压杆最大挠度的一阶近似解。陈家骏[5]修正了教材中给出的边界条件，通过求解挠曲线的线性近似微分方程得到了最大挠度，但是表达式中的转角仍然无法得到。刘荣刚等[6]使用严格的边界条件重新定义了理想弹性压杆的临界力，同时也给出了两端铰支压杆的最大挠度。

上 述文献中都是以两端铰支的弹性压杆为分析对象，但在工程结构中存在大量的悬臂梁压杆。例如，千斤顶螺杆就是一个受压杆件，可以视为一端固定、另一端自由的悬臂梁。因此，本文以悬臂梁为例来分析压杆的稳定性问题。首先通过介绍教科书中解决压杆稳定性问题的方法，分析挠度不能确定的原因;然后给出包含非线性项的挠曲线微分方程，并采用更精确的边界条件求解此方程，从而得到压杆失稳时的临界压力、挠度、转角，以及压杆的轴向位移。文中的分析有助于进一步深入理解细长压杆的稳定性问题。

1 失稳挠度不确定问题的分析

下面以悬臂梁为例，简要给出教材中分析压杆失稳的方法，然后分析该方法不能给出曲线挠度的原因。

图1是教材给出的悬臂梁压杆发生失稳时的计算简图[1]。最初，杆的轴线为直线，长度为l ，压力F 平行于轴线施加在杆的自由端。当右端作用的压力达到临界压力Fcr 时，压杆发生微弯变形，并能够在此状态下保持平衡，此时最大的挠度在自由端，记为δ 。

3 总结

文中以悬臂梁受压杆件为例，分析了其稳定性问题。基于教科书中介绍的方法分析该问题时发现压杆的挠度不能确定，原因在于：（1）采用了线性近似的挠曲线微分方程;（2）采用的边界条件不够精确。针对这两个原因，首先保留挠曲线微分方程中的一阶非线性项，然后在求解时考虑压杆在弯曲时会产生横向位移，因此给出了精确的边界条件。通过求解此非线性方程，不仅可以得到悬臂梁在失稳时的临界压力，还可以得到挠度、转角，以及压杆的轴向位移。通过比较，可以看出文中得到的一阶非线性近似解具有较高的精确度。读者也可以自行利用该方法分析其它约束条件下的压杆稳定性问题。

参考文献：

[1]劉鸿文.材料力学I[M].第6版.北京：高等教育出版社，2017：304311.

[2]纳什W A.材料力学[M].赵志刚，译.北京：科学出版社，2002：267268.

[3]张仲毅.细长压杆临界挠度确定性的简单解释[J].力学与实践，1992，14（5）：6062.

[4]张仲毅.临界压力下压杆挠度的分析讨论[J].力学与实践，1995（4）：7374.

[5]陈家骏.关于细长压杆稳定性问题的讨论[J].力学与实践，1997，19（5）：6567.

[6]刘荣刚，边文凤，李素超，等.理性弹性压杆临界挠度的确定[J].力学与实践，2020，42（4）：508510.

责任编辑：肖祖铭