高中数学建模中问题的作用及发挥机制

许正川

［摘  要］ 要想让数学建模素养真正落地，教师必须研究数学知识是如何发生的，必须思考在学习某一具体数学知识的时候，有哪些关键环节和关键要素. 通过分析可以发现，“问题”就是一个关键要素，问题的提出、分析与解决就是教学中的关键环节，其不仅影响着学生的知识建构过程，也影响着学生核心素养的培养过程. 研究发现，学生的数学建模意识能在问题情境中萌芽，数学建模能力能在问题解决中培养，数学建模素养能在问题反思中形成.

［关键词］ 数学建模；问题情境；问题解决；问题反思

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中的定义，数学学科课程标准包括数学建模在内的六个要素. 相对于其他的要素而言，数学建模有着独特的重要性，其原因就在于数学建模的综合性较强——要完成数学建模，必定涉及数学抽象与逻辑推理，以及直观想象、数学运算与数据分析. 只有经历了这些过程，学生最终才会用数学语言来描述自己的学习结果，而这也正是数学模型的诞生. 但与此同时又应当认识到，一个数学模型的建立，又与具体的知识学习与运用过程有关，离开了数学知识的建构过程，也谈不上数学建模，所以要想让数学建模素养真正落地，教师还必须研究数学知识是如何形成的.

谈及这个问题，就必须思考在学习某一具体数学知识的时候，有哪些关键环节和关键要素. 通过分析可以发现，“问题”就是一个关键要素，问题的提出、分析与解决就是教学中的关键环节，其不仅影响着学生的知识建构过程，也影响着学生核心素养的培养过程. 本文就从教学实践的角度来谈谈高中数学建模中问题的作用以及作用发挥的机制.

数学建模意识在问题情境中萌芽

一个有意思的情形是，绝大多数学生在数学学习中并没有明显的数学建模意识，他们也不认为自己学到了什么数学模型. 出现这种情形有其必然性，毕竟在应试导向的背景下，作为对自身成长目的有着明确认识的高中生，他们已经能够清晰地将学习目标锁定在考试上，因此专注于自身的解题能力，可以说是每一个高中生下意识的选择. 在这样的现实背景下，高中数学学科核心素养的培养，面临着一个重要的“破题”任务，而数学建模作为综合性最强的数学学科核心素养组成要素，首先应当受到关注.

有研究认为，数学建模是高中数学课程改革的重点内容，而问题情境是数学建模内容的主要载体［1］. 对于学生而言，数学建模的第一步是数学建模意识的萌芽. 从当前高中数学教学的实际情况来看，这样一个数学建模意识萌芽的过程，更多具有隐性特征. 也就是说，培养学生的数学建模素养，并不追求让学生从理论角度形成关于数学模型的系统认识，其所追求的，应当是学生对数学建模的内在需要，以及对数学建模过程的充分体验. 当然，萌发需要上面所说的数学建模意识的觉醒. 那么问题情境是如何促进学生数学建模意识萌芽的呢？笔者通过梳理发现，当学生走入问题情境时，必然产生解决问题的冲动——这是内在于学生心中的“形成认知平衡”的需要，于是学生必然经历一个打破认知壁垒、重新走向认知平衡的过程. 在这个过程中，学生会调用旧知识，还会习得新知识，当然也会运用新旧知识解决问题. 问题解决后，学生会整合新旧知识，从而形成新的具有系统性的对数学概念或者规律的认识，这种认识就是数学建模的雏形.

因此可以說，创设问题情境并让学生走入这一情境，就能够打开学生数学建模的空间.

数学建模能力在问题解决中培养

当学生具有数学建模意识的时候，意味着学生认同了数学建模的价值，并且会在具体的学习过程中发展自己的数学建模能力（这一过程是隐性的，学生不知道数学建模的概念，但是数学建模能力的养成却客观存在）. 要让这种能力得到可持续发展，问题解决依然可以发挥不可替代的作用. 从宏观层面来看，数学建模是高中阶段数学核心素养的一大内容，也是数学教学与学习过程中必备的技巧技能，更是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养［2］. 如果换一个视角，即站在学生的角度去看待问题解决的过程中数学建模能力的培养，那么可以发现两者间基本上遵循同样的发展轨迹，也就是问题解决的开始就是数学建模能力发展的开始，问题得到解决后，数学建模的过程也基本完成；同时，问题的解决与数学建模能力的培养又是一明一暗两条主线，即学生经历显性的问题解决过程时，数学建模能力会以学生察觉不到的方式生长，这就是在问题解决中培养学生数学建模能力的奇妙之处.

例如“幂函数”的教学，从知识内容的角度来看，这一教学在前面所学的函数知识的基础上有一定的创新，因为这是一个新的函数模型；从数学建模的角度来看，建立幂函数概念并且理解其性质的过程，就是一个建立数学模型的过程. 如果要在教学中设计相应方案让学生亲身体验这一过程，那么就应该立足问题解决来进行. 笔者针对其设计的问题解决过程包括这样几个环节：

首先，创设问题情境，引导学生在已有知识的基础上思考问题.

学生经过此前函数知识的学习，已经基本知道函数就是描述变量之间关系的一种数学模型与工具. 因此要帮助学生建立幂函数的概念，关键就在于让学生认识到幂关系的存在. 于是教师可以给学生提供类似于如下例题的实例：

如果一个正方形的边长是a，该正方形的面积是S，如果把S看作a的函数，那么两者间的关系是什么呢？（其后的例子可以由学生去列举，只要让他们发现幂的形式存在即可；除此之外，问题由教师提出还是由学生提出，实际教学中也可以根据具体情况来确定）在这里，“两者间的关系是什么”看似一个再平常不过的问题，但是在这种情境下，学生会有意识地去确定两个变量间的关系，得到S=a2这样的关系式.

其次，体验数学方法，在分析与综合中形成认知结构.

从一个关系中往往发现不了规律，因此教师要通过变式的思路，让学生提出类似于上述例子的其他实例，然后分析不同实例中的函数解析式，发现这些解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数为常数. 如此通过分析与综合，就能够得出这些函数的基本表达式，即y=xa.

再次，运用数学语言，在数学思维驱动下建立模型.

当上述关系出现在学生面前时，学生很容易将其与函数知识对应起来，于是就面临着一个新的问题：这样一个函数与此前学过的函数相比较，有着什么样的独特之处？这个问题可以驱动学生的思维走向深入，学生必然将此前学过的函数解析式及对应的函数概念、函数性质等知识调动出来，然后给这个新的函数定义，这实际上就是用数学语言描述思维所得结果（关于幂函数的一个数学模型）的过程.

通过上面三个环节，学生一方面经历了一个问题解决的过程，另一方面顺利建立起了关于幂函数的模型. 如此，数学建模伴随着问题解决而出现、推进，学生的数学建模能力當然能够在此过程中得到培养.

数学建模素养在问题反思中形成

在核心素养的概念体系当中，“核心”忽然引人注目，但实际上重点应是“素养”. 对于绝大多数高中一线数学教师而言，素养是一个既熟悉且陌生的概念. 在日常生活以及数学教学当中，有很多与之相类似或相接近的概念如素质、能力等，相比较而言，素养这一概念的概括性更强、层次更高，因此将其作为教学追求是正常的选择.

数学建模作为数学学科核心素养的组成要素之一，伴随着学生建立数学概念与规律的过程而得到发展. 在这样一个发展过程中，问题以及问题解决起着重要的促进作用：如果说问题打开了学生的学习思路的话，那么问题解决就为数学建模素养的形成提供了一个良好的空间，学生在这个空间里可以通过自身体验，获得对数学建模的认同，并且可以在积累建立数学模型能力的基础上，逐步形成数学建模素养.

值得一提的是，当问题得到解决后，通过对问题以及问题解决过程的反思，将数学建模过程中形成的能力上升为素养，是非常重要的一个环节. 真正的核心素养具有可迁移性，学生形成素养后，能够在新的情境当中以直觉的方式加以体现. 要达到这样的水平，那么学生就必须通过反思来提纯已经形成的数学建模能力，从而将数学建模的环境判断、条件判断、逻辑推理、语言组织与运用等综合起来，以形成高度概括且具有迁移性的素养，这就是数学建模素养，就是数学学科核心素养的重要体现.

综上所述，问题及问题解决，对于数学建模素养的形成至关重要，抓住问题解决来实施高中数学教学，可以铺就通往数学学科核心素养的康庄大道.

参考文献：

［1］ 李保臻，陈国益. 高中数学教科书中数学建模问题情境的比较研究［J］. 数学教育学报，2022，31（03）：6-14.

［2］李家鑫. 妙解例题看数学建模的应用［J］. 中学数学，2018（21）：76-77.