初中数学优题设计的内涵、原则和策略

［摘  要］ 优题设计是“双减”政策有效落地的关键，对课堂教学和学生成长都有重要的意义. 文章就怎样对数学练习进行优化设计，怎样通过作业重构将枯燥的练习优化为能力增长的思维训练，在教学实践中深入研究和不断探索.

［关键词］ 初中数学；优题设计；数学能力

作者简介：汤忠芳（1980—），本科学历，中学高级教师，从事中学数学教学工作.

校内教学质量的提升是“双减”政策的出发点，“双减”政策落地生根后，义务教育学校办学生态将面临全新的格局. “作业管理”和“课堂教学”是提升教学质量的两个重要抓手，尤其是作业管理. 只有用好练习，才能做到尊重教材又不囿于教材；只有做好练习，才能做到活用教材又不加重负担. 初中数学优题设计是数学教师的一种课程创新，要坚持遵循课程标准、基于学生现状、体现数学本质的原则. 主要策略有以下三种：拓展作业设计“纬度”，实现从“关注量”向“重视质”的突破；拉伸作业设计“经度”，实现从“小切口”向“大纵深”的发展；强化作业设计“热度”，实现从“单一性”向“多元化”的转变［1］.

优题设计的内涵

数学练习是为完成学习方面的既定任务而设计的活动，因其对教与学都能起到杠杆调控作用，所以备受师生重视. 只是在实际操作过程中，“以量取胜”的思想根深蒂固，以至出现“大水漫灌”的现象，学生身陷题海，难以自拔. 因此，为了让作业更加切合教学实际，满足师生需求，教师在布置作业时，必须对作业进行适当重构，适时拓展和强化，既体现教材的权威性，又能突出教材的应用性.

初中数学优题设计，并不是对现有的练习进行简单的增删，教师必须准确把握练习在知识和方法两个方面的具体内容以及对能力和素养方面的具体要求，紧紧抓住练习训练的目的，在优题设计时注重其基本思想和方法的渗透，正确把控题目的难度、深度和广度. 优题，一定是建立在教师深刻的教情和学情分析之上，有意义的习题优化. 这样的优化设计无论对学科建设，还是对师生发展都具有重要的价值. 首先，优题设计是教师基于教材文本解读又超越文本的二次思考，它既能丰富数学课程资源，又能弥补课堂本身的局限和不足，同时更能体现作业的针对性和有效性［2］. 其次，“私人订制”的习题更符合学生的现实认知需求，有助于帮助学生树立学习信心，促进学生学习能力的稳步提升. 最后，优题设计能充分调动教师的主观能动性，发展教师的实践智慧，促进教师的专业成长，构建良好的教育生态，追寻教育良性发展、科学发展［3］.

优题设计的原则

1. 遵循作业设计的“法度”

所谓“法度”，就是指课程标准和教材要求. 作业布置是围绕课堂教学要求，结合生本实际，从改善教与学的方式出发的教学活动，具有较强的针对性和实效性. 作业设计应体现教学的重难点，遵循“运用知识解决实际问题”的原则，既要体现对基本知识和基本技能的掌握，又要符合对素养考查和能力提升方面的要求. 真正做到“反复又不机械、活用又重基础”，与课程标准和教材要求保持高度一致.

2. 基于文本与生本需求

教师之所以要对作业进行优化设计，一个重要的目的就是使作业与课堂要求吻合，与生本需求切合. 为此，优题设计应尽量从学生已有认知出发，与生活现实、数学现实相联系，以培养学生数学能力为目的，尽量避免简单机械的重复，尽量避免吃“大锅饭”，使作业成为学生自发的生活需求和学习需要，真正发挥作业的诊断、评价和调控功能.

3. 体现数学学习的本质

数学学习的本质是“再创造”. 学习数学是一个接受知识、提升能力的过程，更是一个自我参与、自我内化、自我生长的过程. 作业是学习过程中不可或缺的重要环节，所以优题设计就是要选择合适的情境材料，设计科学的探究活动，引导学生经历观察、思考、猜想、类比、推理等活动过程. 在数学知识与方法产生、发展和应用中，增强学生学习数学的信心，积累数学学习的经验，发展数学思维能力［4］.

优题设计的策略

1. 拓展作业设计“纬度”，从“关注量”向“重视质”突破

作业设计的“纬度”是指作业设计要从学生掌握知识点的横向联系出发，通过作业练习，达到对知识点进行强化和巩固的目的，从而帮助学生形成较为完整的知识脉络. 这无形中对教师的个人素养提出了更高的要求，稍不注意就会造成学生“身陷题海”的现象. 因此，教师只有不断加强自身学习，熟知教材编排体系与意图，增强“大单元”教学意识，才能在设计时基于整章内容对作业进行考量，或者对某一知识板块进行归纳与汇总，避免学生做题时的机械重复. 做“有质量”的练习，让学生进一步明晰知识点内部联系，深度感悟，发展学生的数学思维，培养学生的创新能力.

案例1  如教学阅读内容时，三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以（n+3）个点为顶点，把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？为了解决这个问题，我们可以从特殊到一般，即从n=1，n=2，n=3等简单的情形入手加以探索、思考和总结归纳. 通过观察、比较，可以发现：

问题1：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加____个.

问题2：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得____个三角形.

问题3：借助表格尝试用归纳的方法探索：1+3+5+7+…+（2n+1）的和是多少.

问题4：四边形有4個顶点，如果在它的内部再画n个点，并以（n+4）个点为顶点，把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？能否借助表格尝试用归纳的方法探索：4+6+8+…+2n+（2n+2）的和是多少？

优题设计说明  首先从书中阅读材料出发，引导学生学会用例题的解法去寻找规律，解决实际生活中的数学问题. 即由特殊到一般，由易到难，构建起解决数学问题的研究框架. 将题干中的背景“三角形”改为“四边形”，既有对研究方法“共性”的整体把握，又有对问题解决“个性”的深刻领悟. 这样整体把握的设计，从特殊值入手，使知识聚成块. 通过板块专题学习的方式，进行类比和深化，更有利于学生掌握知识点的内在联系，形成新的认知结构，使题型训练更具针对性和实效性［5］.

2. 拉伸作业设计“经度”，从“小切口”向“大纵深”发展

作业设计的“经度”是指根据知识点螺旋上升的特点，从学生掌握知识点的纵向延伸出发，通过变式拓展，达到对知识点的内化与升华，从整体视角去构建知识体系，从而帮助学生建立较为系统的知识结构网. 作业设计“经度”的拉伸，可以是课堂知识的延伸或者是对课堂例题的深入，也可以是知识点间的纵横交错等. 重在以点切入，纵向深化，逐层递进，拓展学生的思维深度，建立学生数学解题所需的知识网.

案例2  在教学苏科版八年级数学“一次函数”时，设计这样一组练习.

如图4，已知点A坐标为（1，1），点B坐标为（-1，5）.

问题1：在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小，并求出其最小值及点C 的坐标.

问题2：在问题1的条件下，在y轴上找一点D，使得△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标.

问题3：若直线AB分别与x轴、y轴交于点P，Q，M为x轴上一点，若△PQM为等腰三角形，求点M的坐标.

问题4：①将直线AB绕点A顺时针旋转90度后到AB′，求AB′的表达式.

②将直线AB绕点A顺时针旋转45度后到AB″，求AB″的表达式.

问题5：若直线AB分别与x轴、y轴相交于点P，Q，M为x轴上一点，若将△OPQ沿QM翻折，点O恰好落在直线AB上的点N处，求点M的坐标.

优题设计说明  从已知两点求一次函数表达式出发，通过数形结合的方式，借助坐标与线段长度的转化，将抽象的数量关系转化为适当的几何图形. 通过图形的构造，达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，实现复杂问题简单化，抽象问题具体化. 既能训练学生的思维迁移能力，又能灌输数学思想及解决问题的方法. 通过问题串的形式，设置问题小台阶，学会将知识连成线、串成链，促进知识纵向发展，逐步提升学生数学综合素养.

3. 强化作业设计“热度”，从“单一性”向“多元化”转变

减轻学生过重课业负担，看似是从作业“控量提质”入手，实则最关键的是减轻学生过重心理负担，这是隐性的压力. 如果作业本身具有足够的吸引力，学生内心愿意接受，那么再多的作业也不可能是负担. 相反，学生会将其作为自我展示的舞台. 强化作业设计“热度”，就是要使作业贴近社会热点，通过形式多样的表现形式，保持作业的热度和趣味，利用可听、可视、可感的一切资源，激起学生学习的渴望，自愿全身心地投入学习中来.

（1）设计驱动性任务型作业.

案例3  测量学校旗杆的高度. 学生可以利用阳光下的影子，根据“太阳光下，同一时刻，物高与影长成比例”，即“两个三角形相似，对应边成比例”，又或者放在一个三角形中来解决，即利用锐角三角函数，通过角与边之间的对应关系来求解，也可以通过直角三角形三边之间的关系来解决. 学生在测量角度或长度的过程中，培养了实际动手操作能力，深刻领会“数学源于生活，更应用于生活”的道理，使知识与实践得以融合，通过多重操作体验，培养学生的综合实践能力.

（2）设计实践性操作型作业.

案例4  如何确定圆的圆心. 如果是圆形纸片，可以通过对折两次找交点确定圆心；或者在圆中任意画两条不平行的弦，作它们的垂直平分线，找交点确定圆心；也可以在圆内构造两个直角三角形，使每直角三角形的三个顶点落在圆上，利用90°圆周角所对弦是直径，斜边的交点即圆心. 这个作业活动重点考查学生的尺规作图，培养学生的动手能力. 学生在作图过程中，明了知识的生成过程，为知识的生长和应用打下坚实的基础.

（3）设计生活性表达型作业.

案例5  如教学“平方根”前，就有必要让学生去查阅书籍或资料，充分了解“√̅”的来源，了解“√̅”的发展历程，使学生更详实地了解和补充完善知识，从而实现对教材内容的全面理解和准确把握. 这类作业主要来源于教材中的“阅读”栏目，苏教版教材中每章结束后都有这一板块内容. 这种探究性的作业比生硬的传授，更容易让学生接受和掌握.

（4）设计整理性反思型作业.

①设计思维导图. 思维导图是立足于章节，着眼于全册的知识结构导览图，具有较强的系统性. 学生在完成这类作业时，需要充分理解和掌握章节中的各个知识点，明晰各知识点间的内在联系，才能从整体上架构，细节上把握.

②错题再现，巩固强化. 将一些学生应知应会的基础知识、易错易混的知识点进行系统整理和归纳，及时查漏补缺，加强对知识点的掌握，并学会举一反三，拓展运用，达到解一题会一类的效果.

③撰写数学小论文. 可以是对数学知识点的深入思考，又或者是对学习思路和学习方法的总结. 无论从哪个角度来思考，都是学生对数学问题的再思考和再提炼，培养学生数学阅读的习惯，以数学思维为基础，用数学的观点和认知去理解知识、内化知识，从而进一步感受数学文化的魅力.

总结

优化作业与课堂教学是“双减”工作的两翼，担负着发展学生潜能的重任. 优题设计是建构知识的基础，是能力提升的阶梯，是创新学习的源泉. 能让学生在作业活动中涵养数学素养，发展数学能力. 基于学生需要，满足学生需求，加强作业建设，找到“作业与兴趣”之间的契合点，找准“作业与能力”之间的发力点精准施策，才能使作业不再是负担，才能使学生从乐学走向善学，全力提升課堂效益和学生的学科综合素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 基础教育课程改革纲要（试行）［J］. 学科教育，2001（07）：1-5.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］王旭东. 精设计巧管理：作业改革促“减负”精准落地［J］. 中小学管理，2018（07）：46-48.

［4］杨晓梦. 为“减负”破局：探寻作业管理与改进的实践智慧［J］.中小学管理，2021（10）：13-17.

［5］余昆仑. 中小学作业设计与管理如何有效落实［J］.人民教育，2021（Z1）：34-36.