引导学生基于真实经验有效建构数学概念

牛德芳

【关键词】小学数学；真实经验；数学概念；描述性概念；《因数和倍数》

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）18-0082-03

受小学生认知能力水平和抽象能力的限制，大部分数学教材中的概念都没有给出严格的定义。学生要想获得数学概念，必须经历从具体到抽象、从简单到复杂、从未分化到分化的过程。关于因数和倍数，苏教版教材没有给出直接的定义，而是让学生基于已有经验和实际例子，借助几何直观（数学模型）和具体算式去描述相关概念，由此促进学生认识概念的本质属性。下面，笔者根据影响概念学习的因素（学生的经验和概念学习素材的性质），对苏教版五下《因数和倍数》这节课进行深度剖析和建构。

一、课前调研：因数和倍数的概念认知

学生在之前的学习中积累了大量区分整除与有余数除法的知识经验，对整除的含义有比较清楚的认识，为理解“因数和倍数”做了充分的准备。为了弄清学生对因数和倍数学习的真实起点、发展点和延伸点，笔者对4个班的学生开展了学情调查，发现：其一，在对“因数和倍数”的认知方面，有一部分学生听过或学过因数和倍数，但其认知的因数、倍数知识只是皮毛而非本质；其二，在对“因数和倍数”的未知方面，学生大多表示想知道它们是什么？为什么？有什么用？甚至有学生认为它们之间存在某种关系。

“经验”对新概念学习的影响更多表现在概念系统的扩张上，有的学生能从过去的经验中找出与新概念相关的概念，在比较它们的基础上建立新概念；有的学生则会受到这种经验的干扰，产生错误的概念理解。因此，明晰学生的认知情况，对于找准教学目标和设计教学内容起到关键作用。

二、对症下药：描述性概念的教学路径

根据前期调研情况，结合因数和倍数的概念性知识以及描述性概念教学的特点，笔者认为，教师教学时要引导学生由浅入深、由易到难地明晰“因数和倍数”的基本概念，在新旧知识间找寻共同点和不同点，从而促进他们有效内化新概念。

（一）追本溯源，明晰基本概念的本质

1.厘清概念内涵

如果整数a能被非0自然数b整除，那么a叫作b的倍数，b叫作a的约数（也叫因数）；如果整数a不能被非0自然数b整除，就表示a不是b的倍数，或者b不是a的约数。苏教版教材中指出：4×3=12，4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数。当然，因数和倍数表示的是一个数与另一个数的关系，它们是相互依存的概念，不能单独存在。

2.弄清概念混淆点

由前期调研不难看出，学生的已有知识经验对它们认识因数和倍数产生了干扰。所以，弄清概念混淆点至关重要。一是乘法算式中的“因数”与本节课中的“因数”容易混淆。在一道乘法算式中，乘号两边的数叫作因数，这个因数是相对于乘积而言的，可以是整数、小数、分数；而本单元的因数是相对于倍数而言的，这里讨论的因数和倍数只能是非0自然数。二是“倍”与“倍数”容易混淆。倍的概念比倍数广，比如15÷3=5、1.5÷0.3=5，我们可以描述成15是3的5倍，1.5是0.3的5倍；如果用倍数描述的话，就是15是3的倍数，而不能说1.5是0.3的倍数，因为只有在整除的情况下才有因数与倍数的关系。

基于以上剖析，借助直观操作、想象活动、观察算式等能有效促进学生自主建构起因数和倍数的意义，这样的概念获得便是有意义的、生动的。另外，利用混淆点，将那些与新概念相关的旧概念激活，有助于学生透彻领悟新旧概念之间的联系与区别。

（二）聚焦难点，立足根本施策

1.直观操作，从具象到抽象

师：用12个同样大的正方形拼成一个长方形。每排摆几个，摆了几排？用乘法算式表示自己的摆法，并与同桌交流。

教师指图（以“3×4”为例），并告知学生3、4和12的因数、倍数关系，然后让学生说说两道算式（6×2=12、12×1=12）中的因数和倍数关系。

师：辨析一下2.4×5=12这道算式，我们能说2.4是12的因数，12是2.4的倍数吗？

师：摆出的长方形，它的长和宽不可以是小数，也不可以是0吗？

总结：在研究因数和倍数时，有一个规定——“所說的数一般指不是0的自然数”，（板书：非0自然数）所以2.4不是12的因数。

在上述教学中，笔者首先让学生经历摆长方形的过程，结合算式学习因数和倍数的概念性描述，并根据两道乘法算式（结合图）完善对因数和倍数的概念认知。然后出示一个反例让学生进行判断，并借助其刚刚拼搭的长方形实证出研究因数和倍数时一般指非0自然数，自然而然将“因数和倍数”与“因数×因数=积”“倍”等易混淆点无痕带过，促进学生内化概念。

2.想象活动，丰富概念认知

师：根据8×9=72这道算式，你能想出哪个长方形？说一说，它们之间有什么关系？

师：根据46÷2=23这道除法算式，你又能想出哪个长方形？它们之间有什么关系？

基于具象到抽象的过程，引导学生反过来进行想象活动，在借助乘法算式建立因数和倍数概念的基础上，通过除法算式促进学生补充理解，丰富学生的概念认知。

3.多元练习，促进概念体系建构

师：这里有4个数（板书：4、5、8、16），你能找出它们之间的关系吗？你是根据哪道算式想到的？

学生根据这四个数说出不同的因数和倍数关系。

师：同学们，这里的8其实挺特别的，8既是4的倍数，又是16的因数，那我们能不能说8是倍数，或者说8是因数呢？

生：不可以！一定要说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

师：是的，我们研究的是因数和倍数之间的关系，不能孤立地说某一个数是因数，某一个数是倍数。

出示课前学情调查单中学生的错误，并让其纠正。

在前面练习的基础上进行拓展练习，引导学生自主提取正确的因数和倍数关系，题目难度加大，灵活度较高。结合课前学情调查单，再次呈现学生的錯误，促使他们在对概念知识的重构中更好地内化概念理解。

（三）串联成线，注重前沿后续

1.展示性学习活动的推进

学习因数和倍数的概念时，笔者是以问题串的形式让学生来认知和内化的。在探索一个数的因数和一个数的倍数时，笔者通过两个展示性活动进行推进（下图1为其中之一）。让学生在活动过程中找出一个数的所有因数（倍数），促进他们在互相补充中建构寻找一个数的因数和倍数的方法。

2.思维进阶式活动的推动

在找出一个数的因数和倍数时增加了数轴（如图2），让学生在思维进阶式活动中感受到36的因数间的关系以及3的倍数越来越大，从而映射出因数和倍数的特征。

三、教后再思：概念教学的“精致”获得

其一，立足学生真实水平，有针对性地施教。通过课前小调研，笔者明晰了学生的不同理解水平层次。在开始认识因数和倍数时，笔者设计问题串，并引导学生操作和观察；在后面探索一个数的因数和倍数时，开展展示性活动和思维进阶活动，这些都有助于促进不同理解水平的学生的发展。

其二，明晰概念性学习素材的性质，关注概念形成过程。概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物共同特征的过程。除了从一些具体实例中区分本质属性和非本质属性以外，还要将新旧概念进行联系和分化，建立概念体系。笔者认为，要关注学习素材的数量，如多次引导学生用小正方形摆长方形，让他们根据摆放经验说一说因数和倍数的关系；还要关注学习素材的典型性，如在研究一个数的因数和倍数时，通过数轴突出因数和倍数的特征；反例对深化概念认识也有着重要作用，如将学情调研中学生的错误理解作为反例，既有助于他们准确理解概念，又能促进其在概念间建立联系。

其三，拓宽概念性学习场域，提升学生的概念概括能力。概括能力是学生掌握概念的重要前提。教师要关注学生学习和应用概念知识的过程，丰富学习场域，并适当进行正迁移，促进学生提升概括能力。当然，要让概念达到结构化和整体化的程度，需要以充分感受为基础。

总之，在数学教学中，教师应注意引导学生基于真实经验不断丰富和完善概念的认知结构，这将有助于他们的概念学习从具体走向抽象、从日常概念走向科学概念。

（作者单位：南京师范大学附属中学新城小学怡康街分校）