从类比、模仿到自主创新

李青霞

摘  要：“探究活动：从圆到球”一课以球为研究对象，引导学生类比、模仿圆的研究内容和研究思路，探索研究球的新方法和新结论，完整体现了开展数学探究活动教学的典型历程. 学生发现和提出的一系列有意义的数学问题，有力推动了探究活动的深入，凸显了数学探究的教育价值.

关键词：数学探究活动；球的几何性质；类比；模仿；自主创新

“探究活动：从圆到球”一课的主题选定、整体构想和实施步骤都体现了设计团队的智慧，为实现良好的教学活动效果奠定基础，也为教师开展此类活动提供了可以类比、模仿的典型案例. 在活动设计与实施的过程中，学生直面问题，从类比、模仿到自主创新，经历了从无到有、从零到一的思维发展过程，提升了数学核心素养.

一、主要特点

“探究活动：从圆到球”一课围绕的数学问题是“由圆的几何性质类比探究球的几何性质”，让学生经历选题、开题、做题、结题到课堂交流的过程. 在成果展示课上，学生侃侃而谈，表达成果，互相学习，沉浸于浓浓的学术交流氛围之中. 笔者认为，该课例至少有如下三个突出特点.

1. 探究活动教学的设计、组织、实施过程完整，具有示范性

数学探究活动的教学一般要经历拟定计划、课前实施、形成报告和课上分享的过程. 在该课例的探究过程中，学生先将“球的几何性质”这一主题细化为七个具体问题，然后分工合作，各自通过观察、抽象、探索、猜测和论证，从发现和提出问题到分析和解决问题，最终形成独立的研究报告，并利用课堂展示、交流、质疑、反思合作完成了对球及其几何性质的全面认识，完整体现了数学探究活动应该具有的典型历程.

该课例自主创造的探究主题具有特色. 其一，以球的几何性质为研究主题，类比圆的几何性质，整合了小学、初中、高中学段的两个重要几何研究对象，体现了整体设计理念；其二，研究路径分为定义概念、推导性质、建立联系、实践应用四个层面，遵循了几何图形研究的一般思路；其三，研究内容涉及球的相关概念、平面与球、几何体与球，还研究了球的应用，既重视“四基”“四能”的落实，也适时融入了数学文化. 当然，以《撑一支长篙，向青草更青处漫溯》为题，将学生的研究成果集结成册，也是颇具匠心.

2. 注重发现和提出有意义的数学问题，聚焦核心能力

问题是数学探究活动得以开展的内驱力. 探究的问题要能激发学生的兴趣，使学生融入问题的探究，并产生强烈的好奇心. 在该课例中，学生已经系统研究了圆的有关知识，并积累了研究几何图形的经验. 面对新的研究对象——球，驱动学生不断探究的正是他们自己通过类比、模仿、创新所发现和提出的问题. 这些问题从模糊到清晰、从机械到有意义、从直觉猜想到理性循证，最终形成了七个研究方向，分别是实例应用、定义问题、体积问题、切面问题、截面问题、内切球问题、外接球问题，几乎涵盖了中学阶段与球相关的所有问题.

该课例外接球组的探究问题具有代表性. 推进探究的问题串是：（1）任意三角形都有外接圆吗？唯一吗？（2）任意三棱锥都有外接球吗？唯一吗？（3）如何找到三棱锥外接球的球心？如何计算外接球的半径？（4）研究哪些三棱锥外接球的问题呢？（5）直角三棱锥（墙角模型）的外接球的确定方法是什么？（6）正三棱锥的外接球的确定方法是什么？（7）一般三棱锥的外接球的确定方法是什么？类比“任意三角形都有外接圆”这一结论，对这些问题围绕“存在、唯一、作图”这三个角度展开探究，展现了学生探索几何图形问题的思维能力和良好的思维品质. 此外，实例组用数学的眼光观察生产生活、天文地理中有关球与圆的知识，并从数学文化中丰富认识，也让人耳目一新.

3. 用信息技术助力学生探究的全过程，体现深度融合

信息技术是学生学习、探索和解决问题的重要辅助手段，可以为学生的自主探究启发思路，提供直观、丰富的资源. 在该课例中，截面组关于球的相交弦定理等内容的直观猜想、切面组关于三元方程和三元不等式的数形结合求解方案、外接球组关于三棱锥外接球存在且唯一的证明与演示，都涉及GeoGebra软件的使用，实现了传统教学手段难以达到的教学效果.

该课例运用信息技术拓宽解决问题的渠道，对于开展数学探究活动的教学很有启发性. 事实上，在探究过程中生成的问题，有些可能会被忽略而放弃，但是这些问题可能正是提升学生探究能力、发展学生思维的契机. 怎样才能让这些问题尽可能得到解决呢？执教教师借助多方资源适时丰富了学生获取知识的渠道. 例如，实例组学生发现：球面不可展，那么地图是怎么绘制的？这个问题通过视频会议的方式采访了相关领域的大学教授得到解决. 又如，定义组学生受限于自身知识水平，难以深入探究球的性质，于是利用电子邮件询问了多位大学教授，最终使得这一研究取得了突破. 另外，该课例的前期设计、师生互动、生生互动等教学方式的转变，都体现了信息技术对数学教学的深刻影响.

二、思考与建议

数学探究是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，涉及探究问题、探究方法、探究过程、探究结果、探究反思等要素. 从该课例的课堂展示来看，较多重视探究结果，较少从整体上反思探究问题、探究方法、探究过程等各环节的得与失. 如果能在探究之初作好规划，引导学生更好地记录探究的历程，有可能在回顧与反思时，能更全面地体现本次探究活动的价值.

数学探究活动是学生形成和发展数学核心素养的有效载体，恰当的评价有助于激发探究热情、形成探究氛围. 该课例实施的周期较长，活动评价的设计较多关注结果、关注课堂，对探究过程中各小组、各成员的表现关注不足. 如果能构建合理、有效的过程性评价工具，用多维评价促进所有学生主动思考、交流合作，及时保护学生的好奇心，激发学生的想象力，有可能使探究活动的成果更加丰富多彩.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］张定强，裴阳.“数学探究活动”的机制性分析［J］. 中学数学教学参考（上旬），2022（6）：15-18.