高中数学教科书习题与高考数学试题的相关性研究

赵泽国 田程

【摘 要】  采用文本分析法，從内容主题与核心素养两个维度对普通高中数学教科书人教A版习题与2022年天津市高考数学试题的相关性进行研究.研究发现：在内容主题维度，人教A版教科书习题与天津卷试题高度相关，且二者在认知水平二上高度相关，在认知水平一、三上中度相关；在核心素养维度，人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养的考查上高度相关，且二者在核心素养水平一上高度相关，在核心素养水平二、三上中度相关.基于此，为教师使用教科书习题教学提出以下建议：教师要注重教科书习题的使用，提高课堂的教学效率；教师要加强理解教科书习题认知水平梯度，促进课堂有效教学； 教师要注重教科书习题与高考试题的关联，充分发挥教科书在高考复习中的作用；教师要注重对高考试题的评析，提升习题教学效益. 【关键词】  数学教科书习题；数学试题 ；人教A版；数学高考；天津卷

1   问题提出

随着课程改革的不断深化，教育部于2018年颁布了《普通高中数学课程标准（2017年版）》，它的颁布为高中数学教科书的编写以及高考数学试题命制提供了新的依据.教科书习题作为教科书的重要组成部分，它是正文的自然延续，是使学生理解概念、巩固知识、学会应用的必备构件［1］.教科书习题对于教师来说，一方面是其教学活动中不可缺少的组成部分，另一方面是帮助教师检查教学效果，得到学生反馈的重要资料.教科书习题对于学生来说，可以帮助学生巩固所学的数学知识，也能拓展学生的知识面，激发学生学习的兴趣.因此，数学教科书习题的编制是否符合课程标准的要求对教师的教与学生的学起着至关重要的作用.已有学者对此做过研究，如李萝婷借助SEC模式，从认知水平、内容主题等方面分析了数学教科书习题与课程标准的一致性［2］；吴晓红构建本土化的一致性分析框架，从认知水平、核心素养等视角分析了数学教科书习题与课程标准的一致性［3］.高考作为衔接中等教育与高等教育的重要考试，它的试题命制对教学活动的开展有着深远的影响.因此高考试题的命制是至关重要的，而课程标准作为高考命题的依据，它的命制是否符合课程标准的要求也有许多学者做过研究.如张定强、裴阳借助SEC模式，从内容主题、认知水平两个方面分析了2017—2018年浙江卷、全国Ⅱ卷与课程标准的一致性［4］

；武丽莎、朱立民等基于数学学科核心素养测评与课程标准一致性分析框架，探究了数学学科核心素养高考测评与课程标准的一致性状况［5］；石倩在其硕士论文中，基于比较的视角从内容主题、认知水平两个方面分析了四套高考试卷与课程标准的一致性［6］.基于对已有研究的分析可以发现，教科书习题与高考试题之间的相关性到目前为止鲜有研究.那么，既然教科书习题与高考试题都以课程标准为依据，二者之间是否具有一定的相关性？对这一问题的回答，不仅能揭示教科书习题与高考试题之间的关系，而且可以为一线教师利用教科书习题开展教学和应对高考提供建议.本研究以人民教育出版社于2019年出版的A版高中数学教科书习题与2022年天津市高考数学试题作为研究对象，探讨人教A版教科书习题与天津卷试题在内容主题、核心素养维度的相关性. 2   研究设计 2.1 研究对象

以人民教育出版社于2019年出版的普通高中数学教科书A版［7］（以下简称“人教A版”）习题和2022年数学高考天津卷（以下简称“天津卷”）试题为研究对象，选取二者作为研究对象是由于天津地区只使用了人教A版一个版本的教科书.因此，选择人教A版教科书进行分析，可以合理地说明教科书习题与高考试题的相关性.

习题选取范围是人教A版教科书中的必修和选择性必修内容的习题，其中数学教科书中的习题分为练习题、习题和复习题，本研究选取的习题只是习题与复习题，由于这部分习题数量庞大，因而运用随机抽样的方式（每一主题包括的所有单元依次按先奇数后偶数的方式）选取一半习题进行分析.

2.2 研究框架2.2.1 内容主题维度的相关性分析框架

本研究基于SEC分析框架，从内容主题和认知水平两个维度分析人教A版教科书习题与天津卷试题的一致性，构建内容主题维度基本分析框架如表1所示.通过一致性系数说明二者的整体相关性，在此基础上分别计算出人教A版教科书习题与天津卷高考试题在内容主题维度下认知水平的Pearson相关系数，进而具体分析二者在内容主题维度的相关性.其中，内容主题是根据《普通高中数学课程标准（2017版）》对课程内容划分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动五个方面［8］；认知水平划分，一方面是根据课标的要求，另一方面是借鉴SEC模式中认知水平划分，具体描述如表2所示.

一致性系数计算公式为：

P=1－ ∑ n i=1  Xi－Yi  2 .

其中，n表示二维矩阵中单元格数量，Xi表示高考试题分析矩阵中第i个单元格的比率值；Yi表示教科书习题矩阵中第i个单元格的比率值.整体来说，一致性系数P（0≤P≤1）越大，说明两者的一致性程度越高.当P=0时，表示两者完全不一致，当 0

Pearson相关系数公式为：

r= ∑ n i=1 （xi-x ）（yi-y ）  ∑ n i=1 （xi-x ）2∑ n i=1 （yi-y ）2  .

其中，n为二维矩阵中单元格数量，xi表示高考试题分析矩阵中第i个单元格的比率值；yi表示教科书习题矩阵中第i个单元格的比率值.通常认为：相关系数r的绝对值小于0.5为低度相关；在0.5与0.8之间为中度相关；大于等于0.8为高度相关.

本研究是通过一致性系数与相关系数说明教科书习题与高考试题的相关性.其中，一致性系数反映二维矩阵中所有数据信息，因此用其刻画二者整体相关性更合适，即当一致性系数在弱一致范围时，表明二者低度相关；当一致性系数在一定程度一致范围时，表明二者中度相关；当一致性系数在强一致范围时二者高度相关.相关系数是反映二维矩阵中的部分数据信息，如二者认知水平的相关性是通过二维矩阵中二者的对应水平数据进行计算刻画，因此用其刻画二者部分相关性更合适.

2.2.2 核心素养维度的相关性分析框架

本研究在借鉴了喻平［9］学者与李保臻［10］学者构建数学学科核心素养水平评价框架的基础上，以《2017标准》中数学学科核心素养水平划分为主，构建了新的数学学科核心素养评价指标框架，将六大核心素养划分为水平一、二、三3个认知水平层次，而SEC一致性模型中也有认知水平的划分.基于此，可以将数学核心素养评价框架中“认知水平”层次作为SEC一致性分析模式中“认知水平”维度构建数学核心素养的SEC一致性分析框架，如表3所示.通过一致性系数说明人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养维度的整体相关性，在此基础上，计算出二者核心素养水平上的Pearson相关系数，进而具体分析二者的相关性.

2.3 编码原则2.3.1 人教A版教科书习题编码原则

本研究是从内容主题维度和核心素养维度分析人教A版教科书习题与天津卷的相关性，故需要对人教A版教科书习题内容主题和核心素养的编码统计进行说明.人教A版教科书习题的内容主题编码，首先是按照《2017标准》中五大课程内容主题进行分类，预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动分别编码为1，2，3，4，5；然后将每个模块下的单元按照1.1，1.2，1.3…进行编码；最后对选取的具体题目进行编码1.1.1，1.1.2，1.1.3…等.例如“1.1.1”表示预备知识下集合这一单元需进行判断的第一道习题.其次，再按照表2的认知水平分类对每个习题的认知水平进行判断，分别用水平一、水平二、水平三进行标记.人教A版教科书习题核心素养的编码，首先分析高中数学教科书习题中包含的知识内容，然后判断其中蕴含的数学学科核心素養，并根据题目进行相应的水平划分.需要注意的是，每一道习题有可能蕴含不止一个数学核心素养，因此，在编码时需要按照习题中最能体现该题知识内容的数学学科核心素养及水平进行编码，本研究规定每道习题选取主要蕴含的数学学科核心素养，即每道习题最多对应两个数学学科核心素养.2.3.2 天津卷试题的编码原则本研究对天津卷试题的分析也是从内容主题与核心素养两个维度进行分析，故需要对天津卷试题内容主题与核心素养的编码统计进行说明.天津卷试题内容主题的编码，首先确定试卷题目数量，按小题进行统计；然后判断题目所属主题，用数字进行标记；最后对题目的认知水平进行判断，并分别用水平一、水平二、水平三进行标记.需要特别注意的是，如果某道试题涉及多个内容主题，则应该分别进行标记.高考试题核心素养的编码，首先由试题考查知识点判断题目对应主题并进行标记，其次由题目解题过程判断题目所考查的主要数学学科核心素养，最后根据分析框架进行水平划分. 3   研究结果与分析

3.1 内容主题维度的结果与分析根据内容主题的分析框架与编码原则，对人教A版教科书习题与天津卷试题进行编码统计，结果如表4、表5所示.

3.1.1 相关性整体分析

由表4、表5中的数据可得，人教A版教科书习题与天津卷试题在内容主题上的一致性系数为P=0.884>0.8，即在内容主题维度下人教A版教科书习题与天津卷试题具有强一致性，表明二者高度相关.然后再根据相关系数的计算公式得到人教A版教科书习题与天津卷试题在不同认知水平的相关系数，在水平一上的相关系数为0.691，水平二上的相关系数为0.908，水平三上的相关系数为0.620，可知人教A版教科书习题与天津卷试题在认知水平一、水平三上中度相关，在水平二上高度相关.

3.1.2 内容主题分布分析

为了直观了解人教A版教科书习题与天津卷试题在内容主题的分布情况，由表4、表5的数据作出二者在内容主题分布上的比例柱状图，如图1所示.

由图1可知，人教A版教科书习题在内容主题分布上占比由高到低为函数（33.8%）、几何与代数（33.1%）、概率与统计（18.0%）、预备知识（7.8%）、数学建模与数学探究活动（7.3%）；天津卷试题在内容主题分布上函数、几何与代数的占比均为40.0%、概率与统计和预备知识均为10.0%、数学建模与数学探究活动主题为0.0%.表明人教A版教科书习题与天津卷试题在内容主题的分布上较为一致，均在函数、几何与代数主题分布上较多，在数学建模与数学探究活动主题上分布较少.3.1.3 认知水平分布分析为了直观了解人教A版教科书习题与天津卷试题在不同认知水平上的分布情况，作出二者在不同认知水平上的分布比例柱状图，如图2所示.

由图2可知，人教A版教科书习题认知水平分布占比由高到低为水平二（43.9%）、水平一（41.6%）、水平三（14.5%），天津卷试题认知水平分布占比由高到低为水平二（50.0%）、水平一（30.0%）、水平三（20.0%），可知二者认知水平的分布保持一致，均主要分布在水平二；在水平一的分布上，人教A版习题高于天津卷试题；在水平三的分布上，天津卷试题高于人教A版习题.3.2 核心素养维度的结果与分析根据核心素养水平的分析框架与编码原则，对人教A版教科书习题与天津卷试题进行编码统计，结果如表6、表7所示.

3.2.1 相关性整体分析

由表6、表7中的数据可得人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养考查上的一致性系数为P=0.863> 0.8，即在核心素养维度人教A版教科书习题与天津卷试题具有强一致性，表明二者高度相关.然后再根据相关系数的计算公式得到人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养不同水平的相关系数，在水平一上的相关系数0.963，水平二上的相关系数0.740，水平三上的相关系数0.614，可知人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养水平二、水平三上中度相关，在水平一上高度相关.

3.2.2 核心素养分布分析本研究为了直观了解人教A版教科书习题与天津卷试题在不同核心素养分布情况，作出二者核心素养分布比例的柱状图，如图3所示.

由图3可知，人教A版教科书习题与天津卷试题在六大核心素养上均有考查，在数学抽象素养上，天津卷试题比例（13.7%）高于人教A版教科书习题（9.3%）；在逻辑推理素养上，天津卷试题比例（31.4%）高于人教A版教科书习题（23.6%）；在数学建模素养上，人教A版教科书习题比例（6.0%）高于天津卷试题（2.0%）；在数据分析素养上，人教A版教科书习题比例（13.3%）高于天津卷试题（3.9%）；在直观想象与数学运算两大核心素养上，二者占比相差不大.

3.2.3 核心素养水平分析

为了直观了解人教A版教科书习题与天津卷试题核心素养在不同水平的分布情况作出二者比例柱状图，如图4所示.

由图4可知，人教A版教科书习题与天津卷试题核心素养在三个水平上均有分布，在水平一上，人教A版教科书习题比例（68.6%）高于天津卷试题（54.9%）；在水平二上，天津卷试题比例（41.2%）高于人教A版教科书习题（28.3%）；在水平三上，二者比例相差不大. 4 结论与建议 4.1 结论本研究通过内容主题与核心素养两个维度对人教A版教科书习题与天津卷试题的相关性进行了分析，得到了以下结论.

第一，内容主题维度. 首先由人教A版教科书习题与天津卷试题相关性整体分析表明，二者高度相关，且二者在认知水平一、三上中度相关，在水平二上高度相关.其次，由二者在内容主题的分布上表明，人教A版教科书习题与天津卷试题保持一致，均在函数、几何与代数主题分布较多，在数学建模与数学探究活动主题分布较少.最后，由二者认知水平的分布表明，人教A版教科书习题与天津卷试题的认知水平都集中分布在水平二；在认知水平一的分布上，人教A版教科书习题高于天津卷试题；在认知水平三的分布上，人教A版教科书习题低于天津卷试题.

第二，核心素养维度.首先由人教A版教科书习题与天津卷试题核心素养方面的相关性整体分析表明，二者在核心素养的考查上高度相关，且二者在核心素养水平一上高度相关，在水平二、三上中度相关.其次，由人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养分布上表明，二者对六大核心素养均有涉及，但都主要集中在逻辑推理与数学运算素养，在数学建模素养上分布最少.最后，由人教A版教科书习题与天津卷试题在核心素养的水平分布表明，二者核心素养的水平差异主要集中在水平一、水平二，在水平三上二者相差不大.4.2 建议通过对人教A版教科书习题与天津卷试题的相关性进行研究，基于研究结论对教师使用教科书习题教学提出以下几点建议.第一，教师要注重教科书习题的使用，提高课堂的教学效率.教科书习题是教育专家和一线优秀教师根据国家要求、课程标准编写的符合学生学情的教学资料，但有教师认为教科书习题与高考试题的难度相差很大，往往会忽略了教科书习题的研读与挖掘.本研究通过分析人教A版教科书习题与天津卷试题的相关性，表明教科书习题与高考试题具有相关性.因此教师需要注重教科书中的习题，清晰判断教科书习题的呈现方式与设计意图，充分利用教科书习题这一教学资料，提高课堂的教学效率.第二，教师要加强理解教科书习题认知水平梯度，促进课堂有效教学.习题的合理设计是教学活动中的重要环节，教师在设计习题时需要考虑教科书习题的认知水平梯度与学生学习的学情.本研究通过对人教A版教科书习题与天津卷试题的相关性进行研究分析后发现，教科书习题的认知水平处于不同水平梯度且分布并不均衡，而习题的认知水平要考虑大部分学生所能接受的层次，因而教师在教学活动中要根据学生学情设计出适合学生接受的习题，从而促进课堂的有效教学.教师通过对习题认知水平的理解分类后，在教学时就可合理选择不同认知水平的习题，平衡不同认知水平的习题比例，从而促进学生对数学知识的深度理解，也有助于教师合理选择符合学生学情的教学习题，从而提高学生学习的兴趣，促进数学课堂的有效教学.

第三，教师要注重教科书习题与高考试题的关联，充分发挥教科书在高考复习中的作用.高考的有效复习一直被学校、家长及社会所关注，一方面高考复习的科学性和有效性直接影响复习的质量，另一方面还关系到学生是否能够进入下一阶段的学习.教科书习题对数学知识学习具有评价和巩固的作用，教师能合理精选习题对课堂的有效教学起着至关重要的作用.高考作为衔接中等教育与高等教育的重要考试，它的试题命制一方面对课堂教学有一定的导向性作用，另一方面它的呈现方式与特征对教学活动产生一定的影响.因而教师高考复习时要关注教科书习题与高考试题的关联，在高考复习时，可以将教科书中与高考题类似的题目进行讲解与归纳整理，加强学生对本章节知识的理解.

第四，教师要注重对高考试题的评析，提升习题教学效益.高考评价体系明确指出了引导教学是基础教育对高考的现实需求，同时也对高考的命题做出了要求，把握高考的根本任务与功能，就能促进学生的全面发展［11］.因此教师要注重高考对数学课堂教学的导向性作用，加强对高考试题的评价与分析.通过对高考试题的评价与分析，有助于教师了解高考命题的趋势，从而在课堂实践中能将高考试题中的创新性题目设置为课堂习题，提升学生灵活运用数学知识解决问题的能力.同时，教师通过对高考试题的评析，可以有效地帮助教师解决评价与教学的关系，将高考试题的评价理念与高考试题的命制层次融入到课堂习题教学中，进而提升习题教学效益.

参考文献

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［2］  李蘿婷.小学数学教科书习题与课程标准的一致性研究［D］.南京：南京师范大学，2019.

［3］  吴晓红. 核心素养视域下高中数学新教材习题与课程标准的一致性研究［D］.桂林：广西师范大学，2021.

［4］  张定强，裴阳.新高考改革背景下数学试卷与课标一致性研究——以2017—2018年全国Ⅱ卷与浙江卷为例［J］.数学教育学报，2019，28（04）：55-60.

［5］  武丽莎，朱立明，王久成.数学学科核心素养高考测评与课程标准一致性研究——以2019—2021年高考数学Ⅰ试卷为例［J］.数学教育学报，2022，31（03）：39-44.

［6］  石倩. 基于比较视角对高考数学试卷与新课标的一致性研究［D］.上海：华东师范大学，2022.

［7］  章建跃，李增沪.普通高中教科书.数学·A版［M］.北京：人民教育出版社，2022.

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［9］  喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价［J］.课程·教材·教法，2018，38（01）：80-85.

［10］  李保臻，米鹏莉，王亚妮.高考试题中数学学科核心素养测评的比较研究——以2020年全国Ⅱ卷、浙江卷及海南卷为例［J］.教育测量与评价，2021（06）：38-49.

［11］  教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019：1-4.

［12］  李华，胡典顺.基于数学核心素养评价框架的试卷测评研究——以2019年高考全国卷为例［J］.数学教育学报，2020，29（02）：18-23.

作者简介  赵泽国（1997—），男，甘肃武威人，硕士研究生;研究方向为数学教育.

田程（1997—），女，陕西西安人，硕士研究生；研究方向为数学教育.