子群的弱m-σ-置换性在饱和群系方面的应用

施智杰，马小箭，毛月梅

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

一直以来，群论学者最热衷的研究课题之一是利用子群的可补性和置换性来探究有限群的结构。2015年，A.N.Skiba教授和郭文彬教授提出σ-可解群理论以后，可解群中有关子群的许多置换性和可补性被推广，比如s-置换子群推广为σ-置换子群[1]，s-条件置换性推广为σ-条件置换性[2]，m-s-置换性推广为m-σ-置换性[3]，弱s-置换子群推广为弱σ-置换子群[4]等等。因此文[3]将子群的m-σ-置换性和弱σ-置换性相结合，提出了弱m-σ-置换子群这一新的概念，应用子群的弱m-σ-置换性质研究了有限群的结构，给出σ-可解和σ-超可解的一些新的刻画。在此基础上，通过研究子群的弱m-σ-置换性来刻画有限群的结构。通过讨论群G中σi-子群的弱m-σ-置换性，给出了群G属于所有超可解群构成的饱和群系的充分条件。文章所讨论的群G均是有限群，未交待的概念和符号参见文献[5-7]。

1 预备知识

首先介绍σ-可解群理论中的一些基本概念和符号[1,8]。假定σ={σi|i∈I}是全部质数集合的一个划分，并设∅≠Π ⊆σ，同时记

设M≤G，L(G)是由群G的所有子群组成的格，并且满足M∈L(G)，即有如下条件成立：

（1）对所有的X≤G,Z≤G且X≤Z，有

（2）对所有的Y≤G,Z≤G且M≤Z，有

定义1.1[3]假设K是G的任一子群。

（1）如果G中有模子群M和σ-置换子群S满足K=则称K在G中是m-σ-置换的；

（2）如果G中存在m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=KT，并且K⋂T≤S≤K，则称K在G中是弱m-σ-置换的。

下面介绍文章中用到的一些引理。

引理1.2[3]设A,B≤G，RG，其中A在G中是弱m-σ-置换的。

（1）若R≤A或(|R|,|A|)=1，那么ARR是GR的弱m-σ-置换子群；

（2）假定A≤B,若BG或者G是具有Sylow 型的σ-完全群，那么A在B中是弱m-σ-置换的；……