子群的弱m-σ-置换性在饱和群系方面的应用

施智杰，马小箭，毛月梅

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

一直以来，群论学者最热衷的研究课题之一是利用子群的可补性和置换性来探究有限群的结构。2015年，A.N.Skiba教授和郭文彬教授提出σ-可解群理论以后，可解群中有关子群的许多置换性和可补性被推广，比如s-置换子群推广为σ-置换子群[1]，s-条件置换性推广为σ-条件置换性[2]，m-s-置换性推广为m-σ-置换性[3]，弱s-置换子群推广为弱σ-置换子群[4]等等。因此文[3]将子群的m-σ-置换性和弱σ-置换性相结合，提出了弱m-σ-置换子群这一新的概念，应用子群的弱m-σ-置换性质研究了有限群的结构，给出σ-可解和σ-超可解的一些新的刻画。在此基础上，通过研究子群的弱m-σ-置换性来刻画有限群的结构。通过讨论群G中σi-子群的弱m-σ-置换性，给出了群G属于所有超可解群构成的饱和群系的充分条件。文章所讨论的群G均是有限群，未交待的概念和符号参见文献[5-7]。

1 预备知识

首先介绍σ-可解群理论中的一些基本概念和符号[1,8]。假定σ={σi|i∈I}是全部质数集合的一个划分，并设∅≠Π ⊆σ，同时记

设M≤G，L(G)是由群G的所有子群组成的格，并且满足M∈L(G)，即有如下条件成立：

（1）对所有的X≤G,Z≤G且X≤Z，有

（2）对所有的Y≤G,Z≤G且M≤Z，有

定义1.1[3]假设K是G的任一子群。

（1）如果G中有模子群M和σ-置换子群S满足K=则称K在G中是m-σ-置换的；

（2）如果G中存在m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=KT，并且K⋂T≤S≤K，则称K在G中是弱m-σ-置换的。

下面介绍文章中用到的一些引理。

引理1.2[3]设A,B≤G，RG，其中A在G中是弱m-σ-置换的。

（1）若R≤A或(|R|,|A|)=1，那么ARR是GR的弱m-σ-置换子群；

（2）假定A≤B,若BG或者G是具有Sylow 型的σ-完全群，那么A在B中是弱m-σ-置换的；

（3）假定G是具有Sylow 型的σ-完全群，并且R≤B。如果BR在GR中是弱m-σ-置换的，那么B在G中是弱m-σ-置换的。

引理1.3[9]如果H是群G的模子群，那么介于HG和HG之间的G的每个主因子都是循环的。

引理1.4[1,4,8]设H≤G,RG，S是G的σ-次正规子群。

（1）那么H⋂S在H中是σ-次正规的；

（2）SRR在GR中是σ-次正规的；

（3）如果H是一个Hall Π-子群，并且S不是Π'-子群，那么S⋂H是S的Hall Π-子群；

（4）若G是σ-完全群，S是一个σi-群（或σ-幂零群），那么S≤Oσi(G) (或S≤Fσ(G))；

（5）假定H是G的一个σi-子群，那么H是σ-置换的当且仅当Oσi(G)≤NG(H)。

2 主要结果

命题1设G是具有Sylow 型的σ-完全群，={H1,H2,…,Ht} 是G的一个完备Hallσ-集，其中每个Hi是幂零群。如果G的每个非循环的Hallσi-子群的每个极大子群在G中都是弱m-σ-置换的，那么G是σ-可解群。

证明假设定理不成立，对G用极小阶反例。

首先说明G中不存在σ-准素的极小正规子群。假设G中存在σ-准素的极小正规子群N，下面证明GN是σ-可解群。显然，

假定p是|G|的最小素因子，不失一般性，可设p∈σ1。若(H1)G≠1，因H1是幂零群，故H1中存在G的σ-准素的极小正规子群，与上述结论矛盾，因此(H1)G=1。显然，H1是非循环的，若否，由[7，第II章，定理5.5]知，G是p-幂零的，并由此得G是可解的，又一矛盾，因此H1是非循环的。设M是H1的极大子群且满足|H1:M|=p，那么由命题假设知存在G的m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=MT，并且M⋂T≤S≤M。由m-σ-置换子群定义知S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置换子群。显然，AG,BG≤SG≤(H1)G=1。因为G的极小正规子群是非循环的，所以由引理1.3 知A=1，从而S=B是G的σ-置换子群。进而由引理1.4（4）知Oσi(S) ≤Oσi(G)=1，即S=1，那么 有M⋂T=1。这就推得T含有p阶Sylowp-子群，再由[7，第II 章，定理5.5]知，T是p-幂零群。设C是T的正规p-补，那么易知C是G的σ-次正规的Hallσ′1-补，因此由Feit-Thompson 奇阶定理知C是可解子群，再由[1，引理2.6（10）]知C正规于G，从而得G中存在σ-准素的极小正规子群，与前面结论矛盾。命题得证。

证明假设定理不成立，并设(G,E)是使得|G|+|E|最小的反例。设P是E的Sylowp-子群，其中p是|E|的最小素因子。不失一般性，可设P≤H1⋂E。按以下步骤完成证明：

（1）若N是G的包含于E的极小正规子群，那么N是非循环的且是唯一的，同时有N≰Φ(G)。

（2）E是超可解群。

假设E是非超可解群。如果E≠G，那么由引理1.2（2）知(E,E)满足定理条件，从而知E是超可解群，与假设矛盾，所以E=G，那么由命题1知，G是可解的，所以G的极小正规子群N是素数阶交换群。不妨设N是一个q-群，且q∈σi，那 么N≤Hi。由（1）知N≰Φ(G)，因此存在G的极大子群M满足G=N⋊M，从而有Hi=N⋊(Hi⋂M)。因为Hi是幂零群，所以存在N的极大子群N1满足N1Hi。显然，V=N1(Hi⋂M)是Hi的极大子群，因此由定理假设知存在G的m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=VT，并且V⋂T≤S≤V。易见，V⋂T=S⋂T，从而有N⋂V=N1，且VG=1。因为G是可解的，所以Hi在G中有补，不妨设其补子群为C。又|σ(G) |＞1，并且|G:T|=|V:V⋂T|是一个σi-数，所以N≤CE≤T，从而有

因为S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置换子群，所以AG≤VG=1。因此由（1）和引理1.3 知A=1，故此时S=B是G的σ-置换子群，那么由N1=N⋂S知，N1是G的σ-置换子群。因此对任意的σj∈σ(G)，当σj≠σi时，均有N1Hj=HjN1，即N1Hj成群，从而有

进一步知，Hj≤NG(N1)，又N1Hi，所以得N1G，这就迫使|N|=q，与（1）中N是非循环的矛盾，所以假设E是非超可解群不成立，故E是超可解群。

（3）设q是 |E|的最大素因子，Q是E的Sylowq-子群。不失一般性设Q≤Hi，那么Q=N=(E)=E⋂(G)是G的极小正规子群。

（4）最后矛盾。

首先说明Q=E=P。若Q＜E，那么显然有Q≤Hi⋂E。因为Hi是幂零群，所以可令Q1是Q的极大子群且满足Q1Hi。首先假定Q=Hi⋂E，由（1）和（3）知Q是非循环的，那么由定理假设知存在G的m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=Q1T，并且Q1⋂T≤S≤Q1。因为S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置换子群，因此由（1）和引理1.3知A=1，故此时S=B是G的σ-置换子群。由引理1.4（3）知，对任意的x∈G，当j≠i时都有≤T，即Hj≤TG，这表明TG≠1，从而由（1）和（2）知Q≤T，故G=T，从而Q1=S是G的σ-置换的σi-群，那么由引 理1.4（5）知(G) ≤NG(Q1)，又Q1Hi，所 以Q1G，由Q是G的极小正规子群知Q1=1，即Q循环，这与（1）矛盾。因此假定Q ＜Hi⋂E。因为Hi⋂E是幂零群，所以Hi⋂E=Q×U，其中U是Q在Hi⋂E中的正规q-补。令V=Q1U，那么

所以V是Hi⋂E的极大子群，由定理假设知存在G的m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=VT，并且V⋂T≤S≤V。类似于前面的讨论有Q≤T，所以

从而知Q1是G的σ-置换的σi-群，类似于上面的讨论知Q循环，又是一矛盾，所以Q=E。从而知Q=E=P是G的极小正规子群。

设P1是P的极大子群且满足P1-⊲Hi，由定理假设知存在G的m-σ-置换子群S和σ-次正规子群T满足G=P1T并且P1⋂T≤S≤P1。类似于上面的讨论可得P是循环的，再一次与（1）矛盾。定理得证。

本定理的结论可以推广文[11]中的定理1 和文[12]中的定理1.3。

3 结束语

文章将可解群中应用子群的广义置换性研究有限群结构的问题推广到σ-可解群中，应用σ-置换群和σ-次正规群的定义和相关性质以及有限群论常用的研究方法，结合模子群的概念和性质，通过讨论群G中Hallσi-子群的极大子群的弱m-σ-置换性，给出了G属于所有超可解群构成的饱和群系的结论，并且推广了之前的部分成果。