饱和集拓扑空间的一些性质

齐 鑫，刘艳芳，王玉玉*

（1.天津师范大学数学科学学院，天津 300387；2.天津市实验中学滨海学校，天津 300450）

如果映射f是满映射且存在集合X满足X=f-1(f(X))，那么称集合X是映射f上的饱和集[1](简称饱和集)，记为Xf。饱和集是一般拓扑学中的重要概念，在定义商映射，研究商空间以及与闭(开)映射均有密切联系。饱和集理论在其他学科中也有着广泛的应用，如它可以用来研究自认知逻辑，H.Arló Costa 通过饱和信念来表达饱和集。文献[2]给出了饱和集的一个几何特征，从而得到了准双的随机矩阵的一个特征。另外，文献[3]中介绍了饱和集的Billingsey维数以及最小饱和集的Billingsey 维数。

映射f:X→Y称为拓扑空间(X,τ)到(Y,ρ)上的闭映射[4]，如果映射f把X中的闭集映为Y中的闭集。闭映射是非常重要的一类映射，将闭映射的性质推广到饱和集拓扑空间上，可利用其证明在完备映射下饱和集拓扑空间上保持不变的相关性质。

1 饱和集的基本概念

定义1设A为X的一个子集，任意的x∈A，存在映射g，使得

则称Ag是Xf的饱和子集，记作Ag⊂Xf。根据集合限制的定义，易验证若f|A是映射f在X的子集A上的限制，那么是Xf的一个饱和子集。

定义2设Xf与Ym是两个饱和集，Xf与Ym的交集为饱和集Th，记为Th=Xf⋂Ym，其中T=X⋂Y，h=f|T或者h=m|T。

定义3设Xf与Ym是两个饱和集，Xf与Ym的并集为饱和集Vn，记为

更进一步，在饱和集的交、并运算的基础上，给出饱和集拓扑空间的定义。

定义4设Xf是一个非空的饱和集，Xf的所有饱和子集构成一个集族ν，若τ⊆ν，满足条件:

(1)Xf∈τ，∅∈τ。

(2)若Ag,Vn∈τ，则Ag⋂Vn∈τ。

(3)若τ1⊂τ，则

则τ称为Xf上的一个拓扑，(Xf,τ)称为饱和集拓扑空间。τ中的元素称为饱和集拓扑空间(Xf,τ)的开饱和集。……