广义Jacobi恒等式与几何括号的刚性定理的证明

王 根

（厦门大学数学与科学学院，福建厦门 361005）

Hamilton 结构起源于经典力学,它使经典力学的相空间可以在有限偶数维上得到较好的处理,任意维上的广义Hamilton 系统(GHS)是定义在偶数维上的经典Hamilton 系统的自然推广且扩大了经典力学的研究范围[1-4]。它是建立在无限维广义Ρoisson 括号(GΡB)的基础上的。由于广义Hamilton 系统基本理论体系框架并不完善，经常有实际问题不能用广义Hamilton 系统表达。所以很多学者研究带附加项的广义Hamilton 系统[5-12]。广义结构Ρoisson 括号(GSΡB)改进和拓展了广义Ρoisson 括号,它具有几何势函数的特殊结构性，从而得到了广义协变Hamilton 系统(GCHS),广义协变Hamilton 系统是定义在任意维上的广义Hamilton 系统的自然推广，使广义Hamilton 系统的基本理论体系框架变得更完善[2,13]。广义协变Hamilton 系统可以广泛地应用于物理，应用数学等领域。

1 广义结构Ρoisson 括号与广义Jacobi恒等式

ℝr上的广义结构Ρoisson 括号(GSΡB)定义为[2,13]

其中几何括号

式中几何标量势函数s只表示流形本身的属性,以及ℝr上的广义Ρoisson 括号(GΡB)[1,3,4]定义为

式中：i,j=1,2,…,n,结构矩阵Jij(x)=-Jji(x)。因此，广义结构Ρoisson 括号分为两部分表示如下：

广义结构Ρoisson 括号=广义Ρoisson 括号+几何括号。

对于广义结构Ρoisson 括号{f,g} 退化为广义Ρoisson 括号{f,g}GPB有以下两种情况：

（1）当s=0或者s=常数时，发生平凡退化；

（2）当几何势函数s=ln(g/f)，fg＞0 或者s=ln(-g/f)，fg＜0时，发生非平凡退化；

文章采用Einstein约定求和法。

定义1[2,13]设M为n维的光滑流形,M上的广义结构Ρoisson 括号{},是一个光滑映射,满足：（1）双线性；（2）反对称性；（3）广义Leibniz 恒等式；（4）广义Jacobi 恒等式，具有广义结构Ρoisson 括号结构的流形M,称为广义Ρoisson流形,记为(M,{}),简记为M。

设广义 Ρoisson 流形的局部坐标……