初中生归纳推理能力培养探索
——以“图形与几何”教学为例

⦿ 吉林师范大学数学与计算机学院 聂海晶

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归纳推理能力的培养对于数学教育而言十分重要,因为要培养学生的思维能力,就要训练学生的归纳推理能力[1].从数学本身出发,现代数学逐渐走向规范、严谨,但是一些公理、符号都是数学家们思想的碰撞产生的,归纳推理是得到数学结论的必要途径.从数学与生活的角度来看,数学学科本身更多的是确定性的结论,而现实生活中则需要我们进行预测、推理、验证.

学生归纳推理能力的培养是数学教育与教学的一个热点话题.“推理能力”是《义务教育数学课程标准(2022年版)》初中阶段所强调的核心素养表现之一,也是《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中的重要内容.关于归纳推理能力的理论研究十分广泛,但是关于一线教师教学实践中提升学生归纳推理能力的教学设计并不多见.笔者则根据归纳推理的“个别的看、重复的看、想象的看、抽象的看、一般的看”五个认识阶段,对“图形与几何”部分知识点进行教学设计的研究[2].

1 归纳推理能力的内涵

归纳是很多学科所共同探讨的概念,学者们一般认为,归纳是由个别到一般的过程,比较常见的一种定义方式是:“归纳是指由某一类事物的部分对象具有某个属性,推断出这一类事物都具备某个属性的推断方式[3].这种定义方式缺乏学科针对性,特别缺少数学学科元素.波利亚[4]则在《怎样解题》中指出:“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程.”李兴贵[2]则根据波利亚的观点,将数学归纳推理定义为:“数学归纳推理是通过观察和组合特殊事例的量性特征来发现一类事物的量化模式的创造性思维活动过程.”

2 中学生归纳推理能力现状

武锡环[1]提出了“数学归纳推理的认知模型”,借助这一模型编制试题对初中三个年级的测试显示,初二年级是数学归纳推理发展的关键期,且中学生归纳推理能力的发展落后于演绎推理能力,因此在数学教学过程中要多侧重学生数学归纳推理能力培养.黄煜烽[5]也指出在整个中学阶段,归纳推理能力的发展在初二阶段处于迅速期,枚举归纳法是促进学生归纳推理能力发展的主要方法.

3 初中几何教学的现状

初中生普遍感觉图形与几何难以理解,对其逻辑证明往往无从下手.那么,产生这种状况的原因是什么呢?马海燕[6]通过调查分析得到初中生对证明的一般性和必要性掌握得不够扎实,大部分学生从实验几何到论证几何的过渡期没达到课标的要求.受应试教育的影响,几何教学中教师通常只要求学生记住相关的概念、公式等,然后通过反复做题记住知识点,而这却忽略了对学生几何思维的训练.

4 教学片段设计

对人教版教材八年级数学上下册“图形与几何”这部分知识点进行整理,发现相关概念共有72个,其中可以通过归纳、类比得出的有32个,占比达45%.从上述数据可以看出,“图形与几何”很多知识点都是通过归纳推理得到的.下面按照李兴贵总结出的归纳推理五个认知阶段对“勾股定理”和“全等三角形”进行教学设计,侧重对学生归纳推理能力的培养.

数学归纳推理的基本内涵及认知过程分析如下.

探究1：勾股定理.

借助信息技术,播放勾股定理相关数学史的视频片段,引出新课主题,与学生一同探究勾股定理.

问题1一般三角形三边之间的关系是否适用于直角三角形?

学生活动:独立思考,直角三角形三边之间也符合两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生根据以往学过的知识给出回答即可.)

教师活动:点评学生的回答,将满足三边关系的一次不等式转换成关于边的二次不等式,并大胆猜测直角三角形直角边a,b和斜边c满足a2+b2=c2.

问题2如何验证猜想?

为了学生方便,引入网格纸进行计算.

(1)数学归纳推理认知第一阶段:个别的看

教师活动:首先引入直角边长都为1的直角三角形,以三角形三边a,b,c为边长分别向外作正方形,带领学生通过计算发现三个正方形面积之间的关系.

(2)数学归纳推理认知第二阶段:重复的看

教师活动:接着引入边长为3,4,5的直角三角形,以三角形三边a,b,c为边长分别向外做正方形,带领学生通过计算发现三个正方形面积之间的关系.提示学生用割补法求面积.

学生活动:学生先独立思考,后小组讨论,通过计算得出32+42=52,即a2+b2=c2,验证猜想.

(3)数学归纳推理认知第三阶段:想象的看

师生活动:学生自己在网格纸上任意画出一个直角三角形,同桌之间互相验证是否满足“两条直角边的平方和等于斜边的平方和”.

(4)数学归纳推理认知第四阶段:抽象的看

师生活动:现在没有网格纸,只提供四张边长为a,b,c的直角三角形,根据之前的三次探究进行拼接,利用拼接后的图形面积之间的关系仍然可以得到a2+b2=c2.

(5)数学归纳推理认知第五阶段:一般的看

师生活动:根据学生第三阶段任意画出的直角三角形进行勾股定理的验证.学生通过归纳推理,验证了勾股定理并且掌握了勾股定理的数学表达.

探究2：全等三角形.

利用多媒体教学设备为学生展示大小、形状相同的两个正方形,两本完全相同的教学用书,体型一样的两只小猫.每位同学准备一张正方形卡纸.

(1)数学归纳推理认知第一阶段:个别的看

教师活动:引导学生利用直尺测量出自己手中数学书的长和宽,再和同桌交换,验证数值是否相等,接着引出新课——全等三角形.

学生活动:发现两本教科书的长和宽相等,初步感知全等图形在生活中的体现.

(2)数学归纳推理认知第二阶段:重复的看

教师活动:引导学生观察展示的图片,并追问学生图片中“成对”的图形具备什么特征?

学生活动:通过图形感知全等图形,对全等图形有更深刻的理解.

(3)数学归纳推理认知第三阶段:想象的看

教师活动:带领学生拿出提前准备好的正方形卡纸,让学生将卡纸沿对角线对折,然后沿折线剪开,并与同桌的三角形进行对比.

学生活动:学生会发现自己的三角形与同桌的可以完全重合.通过从生活中的全等到全等图形最后到全等三角形,学生自己就可以总结出全等图形的性质和特征.

(4)数学归纳推理认知第四阶段:抽象的看

师生活动:师生共同总结出关于全等图形、全等三角形的概念.形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形;能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

(5)数学归纳推理认知第四阶段:一般的看

师生活动:学完“全等图形”的概念后,利用概念去判断一些图形是否存在全等关系.

在探究1中,以一般三角形三边之间的关系作为切入点,同时引导学生猜测直角三角形三边的关系,借助网格纸计算面积,归纳推理出直角三角形边之间的关系.探究2仍然是三角形问题,借助多媒体从熟悉的生活案例展开探究,通过观察总结出全等三角形的特点和性质,着重培养学生的归纳推理能力,并借助已有知识深刻理解新知.

综上可知,“图形与几何”知识具有较强逻辑性,它是培养学生归纳推理能力重要的知识板块.在“图形与几何”的教学中,应充分发挥这部分知识的特点,培养学生的归纳推理能力.第一,在教学过程中把握“图形与几何”的思想本质和重要知识点,引导学生感受猜想、假设、归纳推理的过程与方法.第二,注意创设问题情境,选择学生感兴趣的、熟悉的领域导课,在实际情境中解决问题,促进学生归纳推理水平的发展.第三,采用单元教学,建立知识之间的紧密联系,从单元的视角出发培养学生的核心素养,体现知识之间的逻辑性.第四,在练习、例题等解题训练过程,注重对学生推理能力的考查.