剖析过程 反思结果
——例谈高中数学反思性解题教学

杜勇飞

(江苏省如皋市长江高级中学,江苏 如皋 226500)

著名数学家华罗庚先生在谈读书时,提出了“由薄到厚、由厚到薄”观点,其实在数学解题中亦是如此.在对学生进行解题教学时,大量的习题训练虽然可促进学习“由薄到厚”的发展,但仅仅依靠这一点还远远不够,还应坚持“由厚到薄”的原则,引领学生对解题过程进行总结、归纳和反思,促使其在有效的反思中,探究问题的本质和规律,提升数学解题能力.对此,在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的“课程目标”中,也提出了“敢于质疑、善于思考、严谨求实”的学习态度和求学精神.鉴于此,高中数学教师在日常解题教学中,必须遵循课程标准中的“教学建议”,不仅要加强教学方法指导,还应带领学生积极开展解题反思,使其在反思、剖析中,真正提升自身的数学解题能力.

1 高中数学反思性解题教学重要性

反思属于元认知范畴,反思性解题就是聚焦解题过程进行再思考,对解题的结果进行再探究,结合教学反思指导未来的思维活动,促使学生在反思中发现、创造,并由此实现数学问题的深入探究和学习.在高中数学解题教学中,积极开展反思性解题教学,彰显出显著的价值:首先,由于数学学科的特点,很多问题都存在着多种解题思路和方法.鉴于此,积极开展反思性解题教学,可促使学生在反思中厘清各种解题思路,并由此寻找到最为简单的解题思路和方法.而在这一过程中,学生的发散思维也随之得以提升,并加深了数学知识的理解和应用.其次,在反思性解题中,也为学生提供了多角度分析问题、解决问题的机会,使其在问题反思的过程中,逐渐形成更为严谨的数学思想,为提升解题效率带来极大的保障.最后,鉴于数学学科的特点,数学题目之间存在极强的关联性,通过必要的解题反思,可促使学生在反思中进行总结、归纳,真正掌握某一类数学题目的解答方式[1].

2 高中数学反思性解题教学实践分析

2.1 反思解题错误

学生在解题过程中,受到多种因素的制约,常常因为忽略关键条件而产生各种各样的错误.在反思性解题中,应聚焦这些解题错误,引领学生对这些错误展开反思,明确错误产生的原因,最终促使学生在反思中进步和发展.

例1已知抛物线C:x2=4y上存在动弦AB,其长度为3,求AB中点Q到准线l的最小距离?

在这一问题中,部分学生常常对题目条件分析不够透彻,直接根据“两点之间线段最短”的定理进行求解:

2.2 反思解题过程

数学解题过程不仅仅是数学知识巩固、迁移和应用的过程,也是培养学生数学思维和能力的重要阶段.因此,在反思性解题教学中,还应聚焦学生的整个解题过程,对整个数学解题过程展开全面、深层次反思,如:已知条件和目标问题关系?现有解题方法的优点和缺点?在解题过程中共运用了哪些推理依据等.

这一解题思路最为常见,但计算量比较大,学生在求解二元一次方程组时,常常会出现错误.鉴于此,在反思性解题教学中,就应聚焦整个解题过程,通过有效的反思,尝试转换解题思路,从不同的角度进行探究,最终在多种解题思路对比中,找到最为简便的解题思路.

在这一题目中,通过对整个解题过程进行反思,可促使学生在题目已知条件和所求结论反思、解题思路反思中,通过对比分析,不仅找到了简便的解题思路,还在反思中拓展了自身的解题思维,为其更好地解题奠定了坚实的基础[2].

2.3 反思数学思想方法

在高中数学解题中,常常蕴含着大量数学思想和数学方法,如:消元法、换元法、反证法、配方法,以及数形结合思想、分类讨论思想、模型思想、化归思想等.鉴于此,在反思性教学中,教师还应引领学生对整个题目,以及解题过程展开深层次分析,思考解题中一共运用了哪些数学思想,以及这些数学思想的应用条件和应用方法等.

分析针对这一数学题目,按照正常的解题思路,先采用了消元、配凑的方式,得出:

最终运用基本不等式即可轻松完成题目的解答.但是在反思性解题教学中,学生完成题目解答之后,还应带领学生对整个题目展开反思,分析在解答本题目中一共运用了哪些解题方法和数学思想,并在反思的过程中归纳总结数学思想和方法的应用条件等,旨在通过必要的反思,深化数学思想方法的具体应用.

2.4 反思数学问题的本质

高中数学虽然问题的形式千变万化,但数学本质基本相同.鉴于此,在反思性解题教学中,应通过整个解题过程,对其本质问题进行深层次剖析,使学生在反思中加深数学问题的理解,并形成深刻的认知.

图1 椭圆E和直线l相交图

求:(1)椭圆E的方程

在解答(2)时,需要先假设直线l的斜率存在,且不为零,且直线l方程为y=kx-2.

在反思性解题中,待学生完成解题之后,就引领学生围绕这一问题开展深层次得反思,并在反思的过程中探究这一问题的本质.在这一过程中,由于学生的知识、能力有限,教师从“结论一般化、条件和定点一般后是否成立”的角度展开探究,使学生在问题探究中,深刻理解问题的本质,并在反思和拓展中,提升了数学解题能力[3].

3 数学反思性解题教学启示

鉴于数学学科的特点,聚焦解题中的错误、过程、数学思想、本质问题展开深层次反思是提升学生解题能力的关键.因此,高中数学教师在组织和开展反思性解题教学时,应努力转变传统的灌输式解题教学方式,给学生预留预足够的思考空间,并结合不同的题目,确定反思的主题和内容,借助针对性的指导,使学生在反思的过程中,拓展数学思维,并提升自身的数学解题能力;同时,教师还应定期布置反思性的数学作业,使学生在日常反思性作业训练中,逐渐掌握反思的能力,形成良好的反思习惯,并在积极的反思过程中提升自身的数学综合素养[4].

综上所述,反思作为一种有效的解题方式,通过必要的解题反思,可促使学生在错误中反思、解题过程中反思、解题思想和方法中反思、数学问题本质中反思,加深对数学知识的理解,并在反思中拓展自身思维品质等,真正提升自身的数学综合素养.