高中数学解题教学中逻辑思维的培养
——以数列解题教学为例

王开江

(贵州师范大学附属中学,贵州 贵阳 550001)

数列是高中数学中较为复杂、抽象的一个板块.在数列问题的解答过程中,需要学生具有较强的分析能力与综合能力,这些能力则是学生逻辑思维的体现.所以解题教学中需要对学生的逻辑思维进行培养,从而提升学生对数学知识的理解.因此就需要教师在教学的过程中,采用更加积极有效的教学方式来提升学生的逻辑思维.下文将通过例题解析的方式来说明解题教学中的逻辑思维培养.

1 总结提炼求数列的前n项和的方法培养逻辑思维能力

例1设数列{an},an=n·2n,求数列{an}的前n和Sn.

方法1错位相减法,由Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n

等式两边同时乘以2,2Sn=1·22+2·23+3·24+4·25+…+(n-1)·2n+n·2n+1

由错位相减得 -Sn=21+22+23+24+25+…+2n-n·2n+1,则Sn=(n-1)·2n+1+2

方法2裂项相消法,由an=n·2n=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n

故Sn=0·22-(-1)·21+1·23-0·22+2·24-1·23+…+(n-1)·2n+1-(n-2)·2n

所以Sn=(n-1)·2n+1+2

评析本例以等差和等比数列为背景,利用错位相减法解决问题,也可以用裂项相消法化简求和式子,让学生关注通项公式的结构特征,又让学生体会通性通法解题的优越性,还体现一题多解的解题思维的发散性.

2 利用一题多解求通项公式或证明不等式拓展学生的逻辑思维能力

在解题过程中,要善于发现试题的内涵与外延,抓住试题题干条件与结论,寻找知识与问题的内在联系,确定解题路径,形成一题多解的解题思路,培养学生发散性思维.学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法,开拓解题思路.教师在教授和引导学生解题的过程中,采用“一题多解”数学思维来拓宽学生的解题策略,在遇到新问题时,不畏困难,坚决挖掘出新旧知识间内在联系,养成创新习惯[1],这样就有利于提升学生的分析解决问题的能力,加强了学生的解题素养.

例2设数列{an}的前n和为Sn,2Sn=3an-n

(1)求数列{an}的通项公式;

评析本小问从不同的知识角度,应用到公式法、累加法、构造法等解题方法,抓住试题的本质,整合知识点,利用一题多解的解题技巧,让学生拓展思路,培养发散性思维,体会和积累解题的乐趣和技巧.

评析本小问涉及的是不能求和的数列求和,采用先放缩,再求和,最后再放缩得到证明问题求解的思路,本题可以采用糖水不等式放缩、降次放缩、因式分解放缩,甚至可用二项式定理展开来放缩,也可以用数学归纳法证明不等式,加深了学生对解决这类问题的理解,培养学生的发散性思维.

3 利用化归思想构造新数列提升学生的逻辑思维能力

很多数列求通项公式都是以递推公式形式存在,引导学生分析递推公式结构特征,将它进行适当变形.如两边同时加减乘除一个数,两边同时平方、开方、取对数、取倒数等等,利用化归和转化思想,采用整体换元思维,将数列构造成新的等差或等比数列,或者构造成能累加、累乘的形式,即可使问题得解,甚至可用待定系数法、特征方程法或不动点法来求数列的通项公式.这样,极大地提高了数列的求解能力,培养了学生逻辑思维素养,下面只说明等式两边同除问题.

例3在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1,求an.

评析这题主要考查对等差数列、等比数列的掌握情况,利用整体换元思想,将非等差数列或非等比数列转化成等差数列或等比数列,利用等差及等比数列的通项公式求出通项,再解出an即可.通过对不同题型的讲解和归纳,能够让学生对数列的相关问题有更加直观的认识,更加深刻地体会等差数列和等比数列的内涵和本质,真正让学生对等差数列和等比数列能够有灵活解题的感受.

4 利用观察归纳猜想培养学生的逻辑思维能力

数学中有各种各样的猜想,如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等等,都是由某一类事物的部分对象具有某些特征,推出该事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论的归纳推理[2],一般是从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳类比,提出猜想,最后再证明.

评析这个例题,通过计算前四项,观察归纳出通项公式,再用数学归纳法证明猜想.当然,该题也可以两边取倒数构造等差数列求解.我们在逻辑思维培养教学的过程中,可以通过观察、归纳、猜想的方式对学生进行逻辑思维的培养.

综上所述,文章通过数列的相关知识对高中数学解题教学中逻辑思维的培养进行了阐述,为了更好地培养学生的逻辑思维,可以通过总结提炼求数列的前n项和的方法,利用化归思想构造新数列求通项公式,借助一题多解求通项公式或证明不等式拓展学生的逻辑思维,利用观察归纳猜想发现问题,找到规律再通过数学归纳法证明,从而达到提高解题能力、培养学生的数学逻辑思维的目的.