带功能梯度过渡区域的各向异性转动圆环的弹性分析*

彭旭龙, 谢小朋, 黄海平, 魏文超, 唐雪松

(1. 长沙理工大学 土木工程学院 力学系, 长沙 410114;2. 中车株洲电力机车有限公司, 湖南 株洲 412000)

0 引 言

受轻量化和高性价比材料需求的驱动,复合材料在航空航天、交通运输、生物工程、核能发电、航海与军事等领域发挥着至关重要的作用[1-3]．然而,不同的材料黏结界面成分差异明显,界面出现强度不匹配,导致材料发生大尺度的变形和高梯度的残余应力从而使材料失效[4]．功能梯度材料(functionally graded materials,FGMs)因其力学性能随着空间位置的变化而变化,所以可以解决这些问题．自然界中存在着很多具有功能梯度特性的材料,比如木材、动物的骨骼、贝壳等都是常见的天然功能梯度材料,且其截面都具有明显的环形层状结构[5]．这类结构因其良好的物理和力学特性,在机械和航空航天等工程应用中有着极其重要的作用,许多研究人员对其带来的新的力学问题产生了浓厚的兴趣．Dai等[6]求得了在离心力和热荷载作用下功能梯度圆环的应力和应变场的半解析解．Danesh和Asghari[7]基于应变梯度理论分析了转动圆盘的弹性力学行为．Obata和Noda[8]使用变分方法推导了功能梯度空心圆柱体和球体的控制方程和边界条件,并求得了稳态热应力的解析解．陈康等[9]假设盘心弹性模量分段梯度变化,提出了一种盘心局部梯度的轮盘结构,并采用等厚圆环法计算了轮盘的弹性应力场分布．Abdalla等[10]假定材料沿径向呈幂函数梯度变化,利用有限元法分析了功能梯度转动空心盘的热应力行为．张莹等[11]用England-Spencer板理论研究了材料梯度因子、板的厚度以及无量纲正应力对功能梯度圆板的影响．Horgan[12]研究了功能梯度各向同性线弹性材料受内压作用空心圆柱体和旋转圆盘的应力响应问题．Peng和Li[13-15]对任意梯度变化的各向同性受压功能梯度空心圆筒和圆环等轴对称结构进行了弹性和热弹性分析．

从力学研究的角度看,功能梯度材料最突出的特点是其材料的非均匀性,这使得描述其力学问题的控制微分方程都是变系数的．因此,以往在处理功能梯度材料相关问题时,通常假设材料性能按某些特定函数变化,然后来求得相关问题的解析解[16-19]．然而,功能梯度材料性能的实际变化形式非常复杂,将材料性能简单假设为坐标的特定函数很难符合实际情况．因此,近年来发展了一些新的数值计算方法．刘思敏等[19]发展了一种用于求解典型连续及不连续各向异性稳态热传导问题的数值流形方法．俞海和刘云鹏[20]研究了层状梯度对Cu/WCP功能梯度材料力学性能的影响,并通过有限元方法模拟了5层Cu/WCP功能梯度材料在沿层向方向拉伸作用下的变形特性及力学行为．Omer[21]基于Pascal多项式和多尺度技术提出了一种求解各向异性功能梯度材料平面弹性方程的无网格方法,且通过边界元等方法证明了该理论的准确性．彭旭龙等[22-23]采用积分方程方法,推导了转动圆盘轴对称平面应力问题中关于径向应力的积分方程,并采用数值方法对该积分方程进行了求解．刘旭和姚林泉[24]通过Hamilton原理,得到了在温度变化和由旋转运动引起的面力作用下旋转功能梯度纳米环板的径向和横向耦合运动微分方程,并通过数值计算对该环板进行了振动分析．另一方面,从材料制备和材料性能来看,功能梯度材料更多地表现为各向异性．Bhattacharya等[25]设计、合成和表征了两种沿轴向分布的多层功能梯度材料,并采用扩展有限元法分析了各向异性功能梯度材料在机械荷载作用下的疲劳问题．Yildirim[26]采用解析与数值的方法,通过施加可能的边界条件和常用的材料分级规则(如简单幂次和指数模式),对极正交各向异性功能梯度材料制成的圆盘进行了弹性分析．唐长亮等[27]考虑了各向异性功能梯度材料的飞轮,并建立了飞轮的力学方程,考察了横向拉伸对应力和变形的影响．有关各向异性功能梯度夹层圆环结构相关力学问题的研究虽然取得了一些成果,但大都是针对材料性能呈特殊梯度变化的情况[28]．有关沿径向任意梯度变化的夹层各向异性功能梯度圆环的研究还不多,如果能够给出一种通用的方法得到夹层圆环材料关于任意梯度参数变化情况的解析解或近似解,无疑将会为功能梯度材料的设计和夹层圆环结构的优化提供重要的理论指导意义．

鉴于此,本文仿照生物学中贝壳的三层环状结构,建立了具有3个不同区域的各向异性圆环,内层与外层为均匀各向异性材料,中间层为材料性能沿径向任意变化的功能过渡区域．考虑其绕刚性轴匀速转动,推导得到其控制方程,并给出一种有效的积分方程方法,将问题转化为求解关于径向应力的Fredholm积分方程,从而通过对积分方程的数值求解得到夹层圆环的应力和位移场的分布情况,并研究了材料不同的梯度参数变化对应力和位移场的影响．

1 模型建立问题描述

如图1所示,仿照自然界中贝壳的三层环状构造结构,考虑一个固结于刚性轴上的功能梯度夹层圆环,外部受均布压力q0作用且以角速度ω绕刚性轴匀速转动．该圆环由相互之间黏结非常好的3个区域组成,分别记为区域Ⅰ(a≤r

(1)

对于各向异性材料,Poisson比νrθ,νθr与径向、环向弹性模量Er,Eθ之间存在以下关系:

(2)

假设圆环的轴向厚度很小,则本问题可以考虑为轴对称的平面应力问题．因此结构内仅有径向位移ur不为零,其几何方程为

(3)

(4)

本构方程为

(5)

(6)

其中εr,εθ和σr,σθ分别表示结构内各点处的径向、环向应变和径向、环向应力．同时,应力分量应满足如下平衡方程:

(7)

现假定夹层圆盘绕刚性轴以角速度ω匀速转动且承受均布外压q0作用,同时结构内部各区域之间黏结得非常好,则应满足如下的边界条件:

(8)

特别说明,与式(1)类似,本文用上标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来区分各区域的物理量．

2 过渡层材料性能沿径向呈幂函数梯度变化

以往关于功能梯度材料相关的力学研究中,为求得问题的解析解,通常将材料性能假设为空间坐标的某种特殊函数,比如幂函数和指数函数．因此,我们首先也假设过渡区域Ⅱ的材料性能沿径向呈幂函数变化:

(9)

下面给出功能过渡区域Ⅱ的求解过程,对于均匀各向异性区域Ⅰ和Ⅲ可由相似过程简单求出．在区域Ⅱ,将式(9)代入本构方程(5)和平衡方程(7)得

(10)

其中λ为材料的各向异性度,为环向弹性模量Eθ与径向弹性模量Er的比值:

(11)

(12)

其中

系数A2,C2由边界条件和连续性条件确定．因此,区域Ⅱ的应力分量可以表示为

(13)

(14)

区域Ⅰ和Ⅲ的位移分量和应力分量可类似求得．因此,夹层结构内的应力和位移场表达式可整体表示为

(15)

(16)

(17)

其中a≤r1≤b,b≤r2≤c,c≤r3≤d,

待定系数A1,A2,A3,C1,C2,C3可由边界条件以及连续性条件(8)得到．建立矩阵方程X=P-1Q即可求得X=[A1A2A3C1C2C3]T的值,其中P,Q的表达式详见附录．

3 过渡层材料性能沿径向呈任意函数梯度变化

(18)

(19)

式(18)可改写为

(20)

上式可看成是关于径向位移的微分方程,其解可写为

(21)

(22)

继而联立式(21)、(22),代入平衡方程(7),可得

(23)

(24)

其中

(25)

其中

(26)

(27)

h(r)为

4 数值算例与结果分析

假定功能过渡区域Ⅱ的材料性能按特殊幂函数形式变化,通过与第2节的精确解进行比较,可验证第3节提出的Fredholm积分方程方法的有效性与精确度．同时本节主要运用Fredholm积分方程方法分析材料性能沿径向呈Voigt函数变化时,梯度参数β、各向异性度λ、功能梯度区域的厚度t等对圆环结构整体所带来的影响．

4.1 Fredholm积分方程方法的有效性与精确度的验证

为验证提出的Fredholm积分方程方法的有效性和精确性,本小节假设过渡层以特殊幂函数形式(9)变化,与得到的精确解进行对比验证．区域Ⅰ的材料属性为:

区域Ⅲ的材料属性与梯度参数β有关

由于Poisson比的变化对应力与位移场的影响较小,因此假设夹层圆环各区域的Poisson比均为ν=0.3,此外假定外部荷载q0=0,角速度ω=100 rad/s,夹层圆环各区域内外径分别为a/d=0.1,b/d=0.4,c/d=0.7,1．

特殊幂函数时由弹性力学理论求得的精确解与Fredholm积分方程方法得到的数值解对比结果如图2所示,可以看出精确解与数值解完全重合,由此可以认为Fredholm积分方程方法不但具有精确性而且非常有效．

图2 幂函数时数值解和解析解的比较Fig. 2 Comparisons of the exact and numerical results with the power law function (qn=ρⅢω2b2,

4.2 各向异性度对圆环结构应力与变形的影响

上述的验证是通过在特殊幂函数的情况下与精确解比较来进行的,然而在实际工程结构中,夹层圆环材料的属性随其组成成分的变化而变化．接下来,我们将考虑更加一般的形式,假设夹层圆环的材料属性沿半径呈Voigt函数模型变化:

(28)

4.3 梯度参数对应力与位移场的影响

梯度参数β是夹层圆环结构过渡区域弹性模量的重要控制指标,β改变过渡区域的材料性能也将随之变化．夹层圆环材料的其余参数设置参照4.2小节．图4为梯度参数对结构应力场和位移场的影响．

图4 梯度参数β对应力与位移场的影响Fig. 4 The influences of gradient parameter β on the stress field and displacement fields

由图4(a)可知,随着梯度参数β的增大,夹层圆环的径向应力显著减小且在各个区域之间径向应力变化程度趋于平缓,对于各向异性材料来说,当β的值增大到一定程度时,径向应力在区域Ⅰ与区域Ⅱ的值将变得很小,且径向应力的最大值出现在区域Ⅲ中间的位置,这表明增大功能梯度参数对于改善夹层结构的径向应力有明显效果．由图4(b)可知,随着梯度参数β的增大,区域Ⅰ内环向应力与径向应力变化一致,有着明显减小的趋势,且环向应力逐渐趋于零,然而在过渡区域Ⅱ内环向应力会发生明显的增大现象,且在区域Ⅱ内大约在0.42的位置处随着梯度参数β的增大环向应力也随之显著增大,在过渡层与区域Ⅲ的交界处环向应力达到最大值,随之快速减小．这对设计各向异性材料来说也是需要特别关注的．由图4(c)可知,随着梯度参数β的增大径向位移也随之增大,与以往不同的是径向位移的最大值不再出现在最外层边界而是出现在过渡层区域．因此,可根据实际的需求通过调整夹层圆环的材料性能变化来进行优化设计．

4.4 过渡区域厚度对结构应力与位移场的影响

假定过渡层厚度参数为t(=(c-b)/d),通过固定区域Ⅰ的半径((b-a)/d=0.2),调整t的大小来控制厚度参数,从而分析功能过渡区域的厚度变化对结构应力与位移场的影响．其余的夹层圆环材料属性参数参照4.2小节,其中内层半径为a/d=0.1．

由图5(a)可以明显看到随着功能梯度过渡区域厚度t增大,夹层圆环整体的径向应力也随之减小,且径向应力的变化趋势逐渐减缓,对于最外层区域Ⅲ的变化趋势影响不大,满足边界条件．从图5(b)中可以看到随着厚度参数t的增大,环向应力整体也随之减小,环向应力在界面交界处出现的尖点明显趋于平缓,虽然在接近最外层的区域随着t的增大环向应力有增大的趋势,但是变化不是很明显．比较图5(a)、5(b)可以发现随着厚度参数t的增大,夹层圆环整体应力都有明显的减小,表明增大功能梯度过渡区域厚度能够有效减缓应力分布．由图5(c)可以看出,随着t的增大,径向位移总体呈增大的趋势．

图5 功能过渡区域厚度参数t对应力场和位移场的影响Fig. 5 The influences of thickness parameter t in the functional transition region on the stress field and the displacement field

5 结 论

本文主要分析了带有功能梯度过渡区域的夹层圆环在外层受均布压力作用且以角速度ω绕刚性轴匀速转动时的弹性场问题．当过渡层材料性能为特殊幂函数梯度形式变化时,得到了结构应力场与位移场的解析解．而对于过渡层沿径向呈任意梯度形式变化时,采用积分方程方法将研究问题转换为对关于径向应力的Fredholm积分方程的求解．通过与特殊幂函数梯度形式得到的精确解进行对比,验证提出的积分方程方法的有效性和精确性．在此基础上,重点研究了过渡区域材料性能以Voigt函数梯度变化时不同参数对夹层圆环结构弹性场的影响．主要结论如下:

1) 梯度参数的增大可有效减缓径向应力的分布,但会引起环向应力在过渡区域与区域Ⅲ的交界处的应力增大．

2) 各向异性度的增大会明显降低夹层圆环的最大径向应力,同时增加其最大环向应力以及径向位移．

3) 随着功能梯度过渡区域厚度增加,夹层圆环的应力变化趋势明显减缓,但径向位移增大．

4) 提出的Fredholm积分方程方法适用于材料性能沿径向呈任意梯度变化的情况,对于具体梯度变化情况只需代入相应梯度变化进行求解即可．

附 录

精确解矩阵方程P,Q的表达式如下:

P=