一道抛物线定点考题的探究

广东汕头华侨中学 张应楷

定点与定值问题是圆锥曲线中的常考热点问题,常见的解题策略为从特殊到一般,即通过特殊化发现结论,再在一般情况下进行证明.在具体的证明过程中,常见的路径是将几何关系代数化,通过代数运算获得结论,再对结论进行几何化的解释.本文中将从不同的视角对一道以抛物线为背景的定点问题进行探究.

1 题目及分析

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为H,直线过抛物线C的焦点且与C交于A,B两点,△HAB的面积的最小值为4.

(1)求抛物线C的方程;

分析：本题第(1)问考查抛物线的基本性质,其目的是获得抛物线的方程,考查了焦点弦、点到直线的距离公式等知识点;第(2)问考查了直线与抛物线的位置关系,其核心要点在于EM⊥EN,可从向量、斜率等视角进行解析.

2 解题方法呈现

对于第(1)问,有如下两种方法.

由韦达定理,得y1+y2=2pt,且y1y2=-p2.由抛物线的定义,得焦点弦|AB|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2p=2pt2+2p(也可通过弦长公式求解).

对于第(2)问,有如下三种方法.

方法一：基本量法.

评注：方法一是对题干条件的直接使用,思维量较低.其求解思路是将原题干条件转化为变量y1,y2间的关系,通过韦达定理实现消元.接下来介绍利用“双根法”来简化韦达定理的应用.

方法二：利用“双根法”求解.

在方法一的基础上,可令y2-4ty+4t-17=(y-y1)(y-y2).

评注：“双根法”是回避韦达定理的利器,可有效地提升运算效率.

方法三：平移齐次化,构造斜率方程求解.

在题干中,EM⊥EN等价于kEM·kEN=-1,为此,可以考虑通过齐次化,构建关于斜率k的方程,进而结合韦达定理求解.

评注：该方法的本质是将图形进行平移,得到的“齐二次”可直接构建关于斜率的方程.当斜率满足其他表达式时,特别是可用韦达定理求解时,利用该方法非常高效.

3 命题推广

笔者尝试了将原问题一般化,经过探究,当Q为任意点时,在抛物线C上不一定存在点E使得条件成立;但如下的逆向结论成立:设M(x0,y0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一定点,A,B是抛物线上两个动点,且MA⊥MB,则直线AB恒过定点P(2p+x0,-y0).

因为y1≠y0,y2≠y0,所以(y1+y0)(y2+y0)+4p2=0,即

①

由上式可知,直线AB必过定点P(2p+x0,-y0),因此结论成立.

通过几何画板等数学软件,观察点M(x0,y0)、抛物线C:y2=2px及定点P(2p+x0,-y0)三者的位置信息,可知:定点P在点M的法线(过点M且与点M处的切线垂直的直线)上.

证明：根据文[1],抛物线C在点M处的切线l的方程为px-y0y+px0=0.

点M的法线为过点M且与点M处的切线垂直的直线,即为l′:y0x+py-x0y0-py0=0.

代入点P的坐标验证,可知点P在l′上.结论成立.

该结论即为著名的富瑞吉定理:在圆锥曲线Γ上任取一点P,过点P作两条互相垂直的射线与Γ交于点A,B,则直线AB过定点,且该定点在过点P的法线上.

通过上述分析,也可利用待定系数法来解决原问题,过程略.