借助等差中项,妙解三角函数

江苏省南通市海门区证大中学 张志华

对称结构是一类意义重大、美感十足的原始模型,在建筑学、数学、艺术等方面,对称都是其中一类非常典型的美.而在三角函数及其相关知识的综合与应用中,经常借助题设条件与结论中的不同角、不同三角关系式,以及对应的三角函数关系式的结构特征,以对称的方式,借助等差中项的构建,呈现出全新的角与角、式与式之间的关系等,使得问题往往变得更加直观易懂,方便求解与应用[1].

1 利用角的对称构建等差中项

利用不同角之间的对称关系,合理构建其相应的等差中项,引入第三个角,结合角之间的关系进行合理变形与转化,有时对于三角函数及其相关问题的破解有奇效,方向性强,直达目标.

点评：抓住题设中两个不同的角与结论中所求的角,三者之间恰好构成一个等差数列,构建等差中项,引入对应的参数角,借助三角恒等变换公式可以快捷达到目的.

2 利用式的对称构建等差中项

利用不同三角关系式之间的对称关系,合理构建等差中项,结合等差数列的概念与性质,合理引入参数,利用三角关系式的变形,结合三角函数及其相关知识的综合应用来变换,实现问题的突破与求解.

点评：抓住题设中同角的正弦值与余弦值之和为常数的条件,合理构造等差数列,借助公差这一参数的引入,合理换元处理,结合相关的三角函数关系式来转化与应用.正确识别并快速反应,合理根据题目三角函数关系式联想到等差数列,巧妙引入等差中项,综合等差数列的概念与性质来处理与求解相关的三角函数问题,出奇制胜.

3 利用问题条件构建等差中项

结合问题条件,通过变形处理,利用对应元素之间的对称关系,合理构建相应的等差中项,借助参数的引入与等差数列的概念与性质等,综合三角函数及其相关知识来分析与求解.

分析：根据题设中三角关系式的恒等变形,借助等差中项合理构建对应的等差数列,引入等差数列的公差d,将tanB与tanC均表示为tanA与d的关系式,进一步利用三角恒等变换公式及函数的性质来确定tan2A的最值,最后利用同角三角函数基本关系式等来确定相关的最值问题.

点评：利用解三角形问题背景下对应角的三角函数关系式的结构特征与恒等变形,合理构建相应的等差数列.借助等差中项的性质,合理转化解三角形问题中的三角关系式,是解决问题的关键步骤,形式特殊,思维巧妙.

4 利用问题背景构建等差中项

利用问题背景,通过相关角或式等对应元素之间的对称关系,合理构建相应的等差中项,巧妙引入参数,结合三角函数及其相关知识来破解对应的开放性、探究性等问题.

例4(2020年高考数学北京卷·14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值为______.

点评：结合三角关系式中对应角的对称结构,借助等差中项引入参数,利用函数关系式的恒等变形与三角函数求值的转化,得到一个独特的解法.开放性问题,开放性思维,奇效性构建,创新性应用,综合起来,创建一个优美的解决方案,令人称奇.

在一些三角函数及解三角形等相关问题的破解中,利用题设条件中角、式结构等方面的对称关系,合理借助等差中项的性质构建对应的等差数列,巧妙利用等差数列引入相关参数,综合数列与三角函数的相关知识来合理交汇,综合应用,实现问题的巧妙转化,以全新的思维与面貌展示数学结构的对称美,数学思维的巧妙美[2].