拓扑学选讲课程复合教学模式探索

孙冬琦，林 锰，赵景霞，张雨馨

（哈尔滨工程大学数学科学学院 黑龙江 哈尔滨 150001）

党的十九大报告明确提出， “加快一流大学和一流学科建设，实现高等教育内涵式发展。”[1]党的二十大报告强调， “我们要坚持教育优先发展、科技自立自强、人才引领驱动，加快建设教育强国、科技强国、人才强国，坚持为党育人、为国育才。”[2]习近平总书记在这两次报告中都着重强调了发展教育的重要性，为办好现代高等教育指明了方向。2019 年教育部《关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见》明确提出： “积极发展‘互联网+教育’、探索智能教育新形态，推动课堂教学革命。”[3]可见，改变传统的课堂教学模式是势在必行的，教学模式的改革也将是教学改革的一个重要方面。

拓扑学是数学分析和实变函数等多门分析学课程的延伸[4]。拓扑学选讲课程是我校数学专业的一门专业选修课，是拓扑学的后续课程。这门课程理论性非常强，内容特别抽象。之前的教学中主要采取的是传统的课堂讲授的教学方式，这种方式有其优势，但也有其局限性。对于这样一门课程，采取何种教学模式开展教学工作，以通过教学方式的改变提高其教学质量，是值得探索的。

1 拓扑学选讲课程教学现状

目前，拓扑学选讲课程教学面临的问题主要包括以下几个方面。

1.1 师生可能面临线上线下教学的互相转化

过去三年，笔者一直采取的是线上线下教学随时转换的方式，这种情况下，单纯的课堂面授教学已经不能满足学生的日常教学需求。任何情况下，学生的教学不能中断，学生正常的学习生活需要维持运行。而这三年的教学经历为笔者提供了宝贵的线上教学经验，同时也保留了大量的教学资源。只有把线上教学加入日常的教学，才能保证学生的学习在任何情况下都能正常地、顺利地进行。比如，以前生病请假的学生只能通过课下自行学习来跟上教师的教学进度，但是毕竟自学的效果不如在课堂上跟着教师听课来的好。随着网课的出现，很多被保留下来的教学资源使得网络授课成了可以完成的事，线上线下同步授课成为可能。如果采取了复合教学模式，这些请假的学生就可以通过网络直播等形式直接听课，这对于他们的学习是非常有益的。因此，线上线下相结合的复合教学模式是将要进行的必要的教学模式。

1.2 拓扑学选讲课程本身理论性强，不易理解

拓扑学选讲这门课程是点集拓扑学的后续课程。而点集拓扑学本身已经是一门非常难懂的数学理论课程，作为它的延续，拓扑学选讲课程具有更强的理论性和抽象性，学生理解起来也更加困难。传统的课堂教学，基本都是采用教师讲课学生听课，课下再复习消化的方式。而在课堂教学实践中，笔者发现这种理论性极强的课程想用通俗的语言进行切合生活实际的讲解是比较困难的，这也导致学生上课的积极性不高，知识接受程度不够好。想让学生更多地加入课堂，更好地理解教学内容，靠每次两个学时的课堂讲授很难达到目的。再者，本课程极强的理论性导致了课程内容环环相扣，前后联系非常紧密，以往本课程的课堂教学经验也暴露了传统教学的一个弊端，即如果有哪个知识点理解得不透彻，后面知识的掌握就会很快出现问题，如此连锁反应，对学生的学习来说很不利。因此，为了让学生更好地理解理论知识，在传统课堂教学基础上融入线上教学手段，从而丰富课堂教学，是十分必要的。同时教师在课堂以外，借助网络手段，为有需求的学生进行线上答疑解惑也是必要的。

1.3 作为选修课，个别学生的学习积极性不高

对于拓扑学选讲这类数学基础理论课，传统课堂教学往往单调乏味，会让学生觉得知识枯燥，无法很好地调动学生的积极性，并且由于理论内容前后连成一体，一些地方理解不好，后面便难以进行。如何在理论课程的教学中保持学生的学习热情，历来也是理论课教师必须面对的挑战。以往笔者在本课程的课堂教学中也积极尝试过，但是这样的尝试一般多是增加一些相关的科普性的内容，比如一些本领域数学家的奇闻逸事等，而受客观条件限制，很难从根本上对教学模式进行改变。之前的经历，尽管对笔者的教学提出了极大的挑战，但不可否认，也为笔者留下了一些宝贵的线上教学的资源和比较成熟的线上教学经验。因此，将这些资源和经验适当地加入拓扑学选讲的课堂教学，适当改变传统单一的教学模式，对于学生更好地接受所学知识是有益处的。

综上，对拓扑学选讲课程传统的课堂教学模式做出改变，是非常必要的，既符合社会大环境的实际情况，也符合本理论课程本身的特点。

2 复合教学模式的探索

基于以上研究背景，从拓扑学选讲课程的特点出发，笔者进行了如下尝试。

2.1 采用线上线下相结合的复合教学模式

高校课堂的教学模式经过多年发展，也是有多媒体的参与的，主要体现在课堂上教师一般会结合PPT 进行教学，课下学生可以通过精品课的教学视频、网上的相关慕课视频来辅助学习。之前各院校纷纷借助各种网络平台开展了网络教学，这也直接保留下了大量的网络教学资源可供后面使用。

笔者将线上教学引入拓扑学选讲课程的课堂教学，形成了线上线下相结合的复合教学模式。本课程传统的教学模式主要是多媒体课件结合板书，在课堂上给学生以直观的认识，同时也便于教师在课堂教学中重点强调一些相关的内容。线上线下相结合的复合教学模式除了保留传统教学模式中的这些特点之外，加入了课堂中的线上互动环节。课堂授课中，线上部分是以各种润物细无声的方式参与的。教师在正式授课前首先做好线上授课部分的一应准备工作，将电脑上相关的软件打开。笔者在正式讲课前先让学生进行线上签到，这样就节省了课堂点名的时间。同时开启弹幕，方便有问题的学生随时网上发言，并生成词云，这样一来教师可随时关注学生的学习动态，随时注意学生的课堂关注点。另外，当讲授到合适的地方时教师在网络上加入一些小题，半分钟或者一分钟的时间请学生网络作答，答题完毕立刻便知道了学生的答题情况，有助于教师随时掌握学生的听课情况，而且这种方式特别能够吸引学生的注意力。在课堂教学的同时，教师利用相关设备开启了课堂教学的直播模式，课堂直播不但能够在网络上保存课堂教学的视频，以方便学生课下进行复习，同时更重要的是，也方便了因为种种原因无法按时到教室参加课堂教学的学生在线上同步进行学习，这在以往的传统课堂上是根本做不到的。

2.2 线上部分更加注重师生互动

传统的课堂教学，尽管也有多媒体的参与，但是对于这样一门数学系的理论基础课来说，授课中多媒体也只是辅助，主要还是靠授课教师在黑板上书写证明等内容加以讲授。教师讲，学生听，师生互动也显得单调乏味。

在拓扑学选讲课堂上开展线上教学的一个好处是师生互动明显得以加强。线上教学平台提供了点名等服务，方便教师的同时也提醒学生要按时出勤，通过实践，笔者发现学生的出勤率较以往有所提高。同时线上教学平台还有答题模块，教师也可以随时出一两道小题给学生即兴作答，题一经给出，立刻吸引了学生的注意力。例如，在讲完基本群的同伦不变性时，教师立刻在网上给出一道选择题， “以下空间的基本群不是自由循环群的是（A）平环（B）单位圆周（C）亏格为1 的环面（D）实心轮胎” 。一分钟的时间，大部分学生都选出了正确答案C。接下来教师在课堂上请两位学生讲述了其所选的答案及选择的理由，经过讨论，大家对各个选项的基本群都有了结论，搞清楚了为什么C 选项的基本群不是自由循环群，以及该如何计算C选项的基本群。在这个过程中课堂气氛轻松热烈，大家积极参与讨论，让学生体会到他们是时刻参与教学中的，这一举措帮助授课教师活跃了课堂气氛。另外，线上教学平台还支持授课过程中发布弹幕，笔者在授课时打开弹幕，为学生随时提问提供了方便，免去了学生课堂举手提问容易打断教师讲课的麻烦，也为教师提供了方便，授课时只需稍稍低头看电脑屏幕，就能在讲授PPT的同时看见学生所提出的各个问题，并能随时加以解答。这一系列的举措都增强了师生之间的课堂互动，增强了课堂教学效果。

2.3 线下课堂教学部分更多地让学生参与到课堂中来

在线下课堂教学中，教师除了常规的板书讲解外，在课堂互动方面更多地注重了让学生参与到课程教学中来，让他们亲身感受课堂教学的 “教” ，以此激发学生的学习热情。

例如，在讲到映射交换图的追踪时，因为这个知识点是同调论里面一个非常经典的结论，同时其证明也是比较直观的，只需要一步步按图索骥就能完成，所以在正式授课前在班级征集感兴趣的学生，让他们提前预习自学，鼓励其课下互相讨论，然后在正式上课时专门拿出一个学时留给他们，让他们站到讲台上作为临时的 “教师” 将这个定理的证明讲给大家听，教师作为听课者，和学生一起坐在座位上，大家一起提出问题，一起讨论。比如某个位置的映射决定了某个元素的原像不是唯一的，那么这个非唯一性对图上追踪是否有影响呢？通过讨论，笔者发现其实我们并不需要原像是唯一的，任何一个原像都可以让我们的追踪进行下去，也就是说在这个定理的证明过程中利用原像的存在性就够了，并不需要其具有唯一性。在这个过程中，学生对这个内容有了更深入的理解。这样的课堂尝试，既丰富了本课程的课堂教学，又提高了学生积极参与课堂的兴趣，让沉闷的数学课堂变得更加活跃。

3 结语

相比传统的课堂教学模式，将线上与线下相结合的复合教学模式运用到拓扑学选讲课程中，对于教师的教学提出了更高要求的同时也能更好地为学生的学习服务，达到更好的教学效果。复合教学模式强调线上教学部分加强师生互动，更多地吸引学生的注意力，线下课堂教学加强学生的课堂参与度，让沉闷的理论课课堂教学不再沉闷。通过教学模式的调整，拓扑学选讲课程的课堂教学更加生动，达到了更好的教学效果。