类比“火箭发射”“人船抛物”模型迁移解决变质量问题

李旭斌

(中国人民大学附属中学朝阳学校)

类比迁移是根据两个对象之间某些属性相同,推出它们的其他属性也可能相同的间接推论,即借助事物之间的相似性,通过比较将一种已经掌握的特殊对象上的知识,推到另一种新的特殊对象上的思维方法.学习者在运用类比迁移解决问题的过程中,基本上都要经历“激活源问题—映射或匹配—解决靶问题”的过程,靶问题和源问题表面相似程度越高,越有助于靶问题的解决.

1 靶问题的给出

变质量问题的特点是综合性强、贴近实际、过程复杂,对科学思维的考查、物理学科方法的运用都有着较高的要求.我们以一道变质量问题作为靶问题,谈谈如何运用类比迁移高效解题.

靶问题质量为M的绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空(可视为真空)中.在某惯性系中观察,该容器的初始速度为零,容器的容积为V,容器中充满某种单原子分子理想气体,气体的初始分子数、分子质量分别为N0、m,气体的初始温度为T0.t＝0时刻容器上出现面积为S的一个小孔,由于小孔漏气,导致容器开始运动,但容器没有转动.假设小孔较小,容器中的气体在泄漏过程中始终处于平衡状态.已知气体分子相对容器沿x方向的平均速度为ˉvx,满足,其中气体温度T与容器内分子数N的关系满足:T＝CN1/3,C为常数;容器内分子个数N随时间变化关系满足:N＝,k为玻尔兹曼常数.求t时刻容器运动的速度大小(假设M≫N0m).

2 激活源问题并进行匹配和映射

通过类比,我们不难发现可将火箭发射问题作为源问题.这里运用的是“浅加工激活策略”,即通过靶、源问题的表面相似性确定源问题.为更好地解决靶问题,我们更应该运用“深加工激活策略”确定源问题,即对靶问题进行细致加工后,通过靶、源问题结构的相似性确定源问题,具体过程如表1所示.

表1 靶问题与火箭发射问题、人船抛物问题的类比

具体做法是将变质量靶、源问题分为主体质量、主体速度、附体质量、附体速度、系统动量是否守恒五个类比项目并逐一进行对比,发现三类问题具有高度相似的结构,因此适合将火箭发射和人船抛物源问题的解决方案迁移至靶问题中.

如图1-甲所示,人坐在船上以一定的速度u将货物水平抛出,船获得反方向的速度v,不计水及空气的阻力,水平方向系统动量守恒.如图1-乙所示,火箭以一定的速度u向下喷射燃料以获得上升的速度v,由于火箭喷气过程系统内部作用远大于外部作用,可忽略外力,竖直方向动量近似守恒.可见,火箭及剩余燃料组成的主体可与人船及剩余货物组成的主体进行类比,火箭喷出的燃料附体可与被抛出的货物附体进行类比.

图1 火箭发射问题与人船抛物问题的类比

由此,可将人船抛物问题中船最终获得的速度所满足的规律迁移至火箭发射问题中去,并且在货物抛出速度u所满足的两种不同条件下,分析船最终获得的速度v.

条件1u是货物相对抛出货物后的船的速度,即人相对船以恒定的速度u进行抛物,每次抛出货物质量为Δm,通过n次抛完所有货物.设人船质量为M,抛出货物后人船及剩余货物的速度为v1.该条件以地面为参考系.

抛出第1个货物:

抛出第2个货物:

抛出第n个货物:

最后解得船获得的速度

条件2u是货物相对抛出货物前的船的速度,即人相对抛出货物前的船以恒定的速度u进行抛物,每次抛出货物质量为Δm,通过n次抛完所有货物.该条件以人船主体为参考系.

抛出第1个货物:

抛出第2个货物:

抛出第n个货物:0＝Mvn＋Δm•u,最后解得船获得的速度为

将人船抛物问题得到的结论迁移至火箭发射问题中.条件1对应的是火箭发射的“齐奥尔科夫斯基”喷射条件:燃料相对喷气后的火箭以恒定速度u喷射,即燃料相对喷口以恒定的速度u喷射,通过n次将所有燃料喷射完,每次喷射的燃料质量为Δm,火箭获得的发射速度为

条件2对应的是火箭发射的“密歇尔斯基”喷射条件:燃料相对喷气前的火箭以恒定速度u喷射,通过n次将所有燃料喷射完,每次喷射的燃料质量为Δm,火箭获得的发射速度

两种喷射条件的等价性:由于火箭燃料喷射次数非常多且n→∞,有n≈n－1,n－1≈n－2,…,因此齐奥尔科夫斯基喷射条件和密歇尔斯基喷射条件下的火箭发射速度是等价的.

3 靶问题的解决

在容器喷气模型中,容器以一定的速度向后喷射气体,容器获得向前的速度,容器和剩余气体构成的主体可与人船及剩余货物构成的主体、火箭和剩余燃料构成的主体进行类比;容器喷射的气体附体可与人抛出的货物附体、火箭喷射的燃料附体进行类比.

将齐奥尔科夫斯基喷射条件下的火箭速度v迁移到该题中的容器速度u,容器每次喷射的气体分子数为dN,对应每次喷射气体质量为mdN,分n次喷完,气体相对容器的喷射速度为ˉvx,得到

由于t时刻容器内分子个数为N,假设此时容器完成第k次喷气,有容器内气体质量为(n－k＋1)mdN＝Nm,对应t～t＋dt内,即第k次喷气容器获得的速度du满足

对上式两端积分得到

在M≫N0m的条件下,上式进一步化简为

最后将容器内分子数随时间的变化关系代入上式,得到

4 小结

在物理学习中,通过类比迁移可以化解学习难度,简化问题分析过程.同时注意,对于通过类比迁移得到的结论,要善于从多个角度审视其正确性,为迁移的可行性提供依据.

(完)