对抛体运动物体落地无限弹跳问题的思考

陈卫国

(北京师范大学贵阳附属中学)

本文分析做抛体运动物体在给定约束条件下落地弹跳至终止的时空问题,得出所耗时间及空间水平位移的普遍表达式,再用普遍表达式分析特殊情况,讨论结果与实际情况是否吻合.

1 物理原型

现实中有一类抛体运动,抛出后落地与地面撞击再弹起又落地,经过多次撞击后最终不再弹起.在给定约束条件下,确定其弹跳的时间与水平位移是一个非常具有现实意义的问题.

分析此类问题的基本思想是运动等时性原理:物体合运动与分运动所耗时间相等.

2 模型建构

模型1一个小球在距离地面高度为h的位置以速度v0水平抛出,小球与水平地面碰撞后瞬间,其速度的水平分量与碰撞前瞬间相等;速度垂直地面的分量大小与碰撞前瞬间的比值为k(k≤1).重力加速度大小为g,忽略空气阻力,试确定小球在地面弹跳的时间及弹跳的水平位移.

分析小球运动情况如图1所示,小球开始平抛到落地耗时,落地瞬间,小球竖直方向的速度,小球第一次向上弹跳的速度vy1＝.

图1

小球第一次斜上抛到落地,耗时

小球第二次斜上抛到落地,耗时

小球第三次斜上抛到落地,耗时

小球与地面第n次碰撞,竖直方向上的速度为vyn,斜上抛到落地,耗时.假设此后,小球不再有竖直方向上的速度,则从开始平抛到最后竖直方向上的速度为零的时刻,该时间段为

在上述时间段中,小球水平方向以速度v0做匀速直线运动,与地面第n次碰撞时,水平位移

1)令n→∞,得

由上可知,当k＝1 时,小球在地面将做无限弹跳;当k＜1时,小球将做有限弹跳.

2)令n＝0,得,与,此即初次平抛所耗时间和水平位移.

模型2如果初始时刻小球在地面做斜上抛运动,且水平速度为v0,竖直向上速度大小为vy1,令vy1＝kvy0＝,其他约束条件相同.

分析耗时为前述普遍表达式中删去n＝0时的初始平抛时间;水平位移为前述普遍表达式中删去n＝0时的初始平抛位移,即

3 模型应用

例 (2023年全国甲卷)如图2所示,光滑水平桌面上有一轻质弹簧,其一端固定在墙上.用质量为m的小球压弹簧另一端,使弹簧弹性势能为Ep.释放后,小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动,与弹簧分离后,从桌面水平飞出.小球与水平地面碰撞后瞬间,其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等;垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的.小球与地面碰撞后,弹起的最大高度为h.重力加速度大小为g,忽略空气阻力.求:

图2

(1)小球离开桌面时的速度大小;

(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离.

试题拓展在题给参量不变的前提下,小球最终将不再上弹,到小球在地面不再斜上抛时刻,试确定其距离桌面飞出点的水平距离及所耗时间.

分析小球离开桌面的全过程,运动轨迹如图3所示(沿地面水平向右为＋x轴,竖直向上为＋y轴),从桌面平抛开始计时.

图3

小球从桌面做平抛运动到第一次落地耗时

与地面第一次碰撞,向上速度为vy1,斜上抛到落地,耗时

与地面第二次碰撞,设向上速度为vy2,斜上抛到落地,耗时

假设与地面第三次碰撞,设向上速度为vy3,斜上抛到落地,耗时

与地面第n次碰撞,设向上速度为vyn,斜上抛到落地,耗时.

在与地面第n次碰撞后,小球不再有向上速度,则从开始平抛到最后没有竖直向上速度时刻,所需时间

或者将相关参量进行转化,直接代入“模型建构中的时间公式”亦可直接得到上述结果.

在上述时间段中,小球水平方向以速度v＝vx＝做匀速直线运动,设与地面第n次碰撞时,距离桌面抛出点的水平距离为x,有

4 结语

抛体运动物体落地无限弹跳时空问题,看似复杂无解,实则通过原型分析、模型建构、数学处理,我们可以洞察常见现象背后隐藏的简洁的物理本质.“对问题认识越深刻,得出的结论越简洁”,学以致用,我们解决问题也就越轻松.

就2023年高考理综甲卷第24题而言,试题只设置了第(1)、(2)问,属于求具体事件的相关物理参量,学生解决比较顺利,如果把上述“拓展”作为第(3)问,试题的品质陡然上升,更能考查学生的思维品质、物理素养.

如何带领学生跳出题海,与机械刷题告别呢? 模型建构不失为一种有效途径.教师带领学生对典型问题深入剖析、建构模型,使问题解决由“特别”上升到“一般”,再由“一般”指导“特别”问题的解决.如此,学生的学习一定是轻松的、高效的,我们的教学也一定是成功的.

(完)