挖掘模型本质 深度拓展迁移
——以机车启动模型为例

周建成 杨天才

(1.重庆科学城西永中学校 2.重庆市大学城第一中学校)

1 问题提出

«普通高中物理课程标准(2017 年版2020 年修订)»中指出:“高中物理课程在义务教育的基础上,帮助学生从物理学的视角认识自然,理解自然,建构关于自然界的物理图景.”为了形象、简捷地处理物理问题,人们经常把复杂的实际情况转化成一定的容易接受的简单的物理情境,从而形成一定的经验性的规律,即建立物理模型.高考试题体现了考试作为教育的重要手段和必要环节,对中学教学有一定的导向作用.本文以2021年高考重庆卷第10题为切入口,回顾机车启动模型的特点,针对模型的多变与迁移,由一道题改为一类题,抓住其物理本质,提升学生物理学科核心素养.

2 模型建构

2.1 例题呈现

例1(2021年重庆卷)额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动,其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图1所示.两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶,从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变.若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比,且比例系数相同,则( ).

图1

A.甲车的总重比乙车大

B.甲车比乙车先开始运动

C.甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同

D.甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同

由题意,两车额定功率P相同,所受阻力Ff＝kmg.根据甲车t2时刻后和乙车t4时刻后牵引力不变,均做匀速直线运动,可知甲车牵引力大于乙车牵引力,由F＝Ff可知甲车的总重比乙车大,选项A 正确;如图2所示,甲车在A点对应的时刻,牵引力与阻力满足F＝Ff甲,所以甲车从这个时刻(图2、3 中的t甲)开始做加速运动;同理,乙车在B点对应的时刻(图2、3 中的t乙)开始做加速运动,故甲车比乙车先开始运动,选项B正确;两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶,由P＝Fv,结合t1和t3时刻二者P、F大小分别相等,则二者速度相同,只是甲的加速度比乙的加速度小,选项C 正确;t2时刻甲车达到最大速度,t4时刻乙车达到最大速度,根据汽车的额定功率P＝Fv＝Ffvm＝kmgvm,由于甲车的总重比乙车大,所以甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率,选项D 错误.故选A、B、C.

图2

在F-t图像中,当牵引力等于阻力时,汽车做匀速直线运动.汽车在启动的过程中,当牵引力大于阻力时开始做加速运动;在牵引力等于阻力之前,汽车处于静止状态,此时阻力为静摩擦力.根据v-t图像即可判断出谁先运动,甲、乙两车v-t图像如图3所示,根据P＝Fv可求得速度.本题主要考查了机车的启动,明确两种启动方式,抓住当牵引力等于阻力时,速度达到最大.需学生精准掌握功率P、牵引力F、速度v这三者之间的关系.本题脱离机车启动的固有考查模式,未直接让学生分析两种启动方式,而是让学生通过分析牵引力的变化情况,分析机车所处的具体状态,从而对相关信息进行判断,考查学生运用图像解决问题的科学思维能力,检测了学生对于机车启动问题物理本质的掌握情况,具有创新性.

图3

2.2 图说模型

两种基本机车启动方式对比如表1所示.

表1

2.3 模型拓展

三种特例及性质如表2所示.

表2

2.4 数学本质

对水平方向运动的机车受力分析,如图4 所示,由牛顿第二定律有,其微分方程是,变形为,变形得,积分得

图4

这是一个超级复合函数——朗伯函数,不能直接判断速度和时间的关系,用高等代数只能写出位移和速度的关系为

3 深度应用

例2(2015年全国Ⅱ卷)一汽车在平直公路上行驶.从某时刻开始计时,发动机的功率P随时间t的变化如图5 所示.假定汽车所受阻力的大小f恒定不变.下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中,可能正确的是( ).

图5

当汽车的功率为P1时,汽车在运动过程中满足P1＝F1v,因为P1不变,v逐渐增大,所以牵引力F1逐渐减小,由牛顿第二定律得F1－f＝ma1,f不变,所以汽车做加速度减小的加速运动,当F1＝f时速度最大,且.当汽车的功率突变为P2时,汽车的牵引力突增为F2,汽车继续加速,由P2＝F2v可知F2逐渐减小,又因F2－f＝ma2,所以加速度逐渐减小,直到F2＝f时,速度最大,以后做匀速运动.故选项A 正确.

本题解题关键是明确汽车恒定功率的加速过程是加速度逐渐减小的加速运动.注意速度不能突变,功率突变导致的结果是外力突变,加速度突变,显然两种功率下汽车最后都会达到平衡状态.本题要求学生在解题时要整合必备知识,提升自身关键能力.

例3如图6所示为汽车的加速度a和车速倒数的关系图像.若汽车质量为2×103kg,它由静止开始沿平直公路行驶,且行驶中阻力恒定,最大车速为30 m•s－1,则( ).

图6

A.汽车所受阻力为2×103N

B.汽车在车速为15 m•s－1时,功率为6×104W

C.汽车匀加速所需时间为5 s

D.若汽车在变加速阶段历时15 s达到最大速度,则此过程中汽车通过的位移为15 m

设汽车从v1＝10 m•s－1加速至v2＝30 m•s－1的过程中的功率为P,阻力大小为f,则根据牛顿第二定律可得,变形可得,与图像比较a与呈线性关系,显然汽车从v1＝10 m•s－1加速至v2＝30 m•s－1的过程中的功率P恒定,且W•kg－1.在v1＝10 m•s－1时,设牵引力大小为F1,则有,并且P＝F1v1,联立解得f＝2×103N,P＝6×104W,选项A、B 正确;汽车匀加速所需时间＝5 s,选项C正确;若汽车在变加速阶段历时15 s达到最大速度,设此过程中汽车通过的位移为x,根据动能定理有,解得x＝50 m,选项D 错误.故选A、B、C.本题考查学生用图像解决实际问题的能力,但题目涉及的图像不是大家熟悉的四图(P-t、v-t、F-t、a-t)中的一个,而是图像,这就要求学生将所学内容进行迁移和拓展.

如果题目已知条件中没有机车,我们可以从隐含条件分析题意为类机车模型.

例4如图7-甲所示,质量为m＝0.4 kg可视为质点的物块静止放在水平地面上,物块与地面间的动摩擦因数为0.2,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.距离物块s＝7.5 m 处有一光滑半圆轨道,轨道最低点P的切线水平.t＝0时用水平拉力F由静止拉动物块,使物块沿水平地面向半圆轨道做加速运动.物体的速度v与拉力F大小倒数的图像如图7-乙所示,AB平行于v轴,BC反向延长过原点O.物块运动过程中0～t1时间内对应图像中的线段AB,t1～t2时间内对应图像中的线段BC,时刻t2＝1 s,t2时刻后撤掉拉力.重力加速度g取10 m•s－2.

图7

(1)求0～t1时间内物块的位移大小;

(2)物块能够经过半圆轨道最高点Q,求半圆轨道的半径R满足的条件;

(3)物块经半圆轨道最高点Q后抛出落回地面,落地后不再弹起.圆轨道半径R多大时物块落点离P点的距离最大? 最大值为多少?(1)物块在0～t1时间内拉力不变,做匀加速运动,产生位移为x1,则有F1－μmg＝ma1,＝2a1x1,联立解得x1＝0.25 m.

(2)由运动学公式可得v1＝a1t1,得t1＝0.25 s,由题意知P＝Fv,解得,结合图像,说明物块在t1～t2时间内拉力的功率恒定且为图像的斜率.物块在t1～t2时间内做变速运动,位移为x2,由动能定理得

撤去外力后,物块做匀减速运动,根据牛顿第二定律和运动学公式可得

代入数据解得R＝0.1 m.

综上所述,R应满足条件为R≤0.1 m.

(3)设物块到达圆轨道最高点的速度为v4,则有

物块离开Q点做平抛运动,因此可得

可得数学表达式

本题解决第(2)问的关键是从图像中分析出物块的运动情况,知道图像的斜率表示拉力的额定功率,且功率恒定,将题目的问题转化为类机车启动模型.

例5(2021年天津卷)如图8所示,两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间 距L＝1 m,其电阻不计,两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角,N、Q两端接有R＝1Ω 的电阻.一金属棒ab垂直导轨放置,ab两端与导轨始终有良好接触,已知ab的质量m＝0.2 kg,电阻r＝1Ω,整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度大小B＝1 T.ab在平行于导轨向上的拉力作用下,以初速度v1＝0.5 m•s－1沿导轨向上开始运动,可达到最大速度v＝2 m•s－1.运动过程中拉力的功率恒定不变,重力加速度g取10 m•s－2.

图8

(1)求拉力的功率P;

(2)ab开始运动后,经t＝0.09 s速度达到v2＝1.5 m•s－1,此过程中ab克服安培力做功W＝0.06 J,求该过程中ab沿导轨的位移大小x.(1)在ab棒运动过程中,由于拉力功率恒定,ab棒做加速度逐渐减小的加速运动,速度达到最大时,加速度为零,设此时拉力大小为F,安培力大小为FA.由平衡条件得F＝mgsin 30°＋FA,此时ab棒产生的感应电动势为E＝BLv.

设回路中感应电流为I,根据闭合电路欧姆定律得,ab棒受到的安培力大小为FA＝BIL,拉力的功率P＝Fv,联立以上各式解得P＝4 W.

(2)ab棒从v1到v2的过程中,由动能定理得

解得x＝0.1 m.

本题与汽车恒定功率启动类型相比,只是阻力由恒力改变为了变力,具体的运动过程用数学表达非常复杂,但定性分析仍然是加速度减小的加速运动,且速度达到最大时,加速度为零,利用平衡状态即可求解,然后利用动能定理求解位移.这个改变在考试中能考查学生的知识迁移能力,在练习中能激发学生学习兴趣、求知欲和探究热情,又有助于培养和提升学生的物理学科核心素养.

4 结语

机车启动模型是机械能守恒定律章节中一类重要问题,是高考中的常客,对培养学生相互作用观、能量观,提升逻辑推理和科学论证能力有积极意义.

(完)