应用动能定理解决多过程运动问题

徐 梅

(安徽省濉溪县第二中学)

动能定理是物理学中的一个重要规律,对于简单的运动过程,学生一般能正确应用动能定理,但是遇到多运动过程问题时常常顾此失彼,漏洞百出.实际上,只要掌握了正确的分析方法,就可以破解该类问题.下面结合具体例题,讨论如何应用动能定理解决多过程运动问题.

1 动能定理解决多过程运动问题的方法

多过程运动指的是物体在运动过程中经历了多个阶段或过程.在这种运动中,物体在不同的时间段或空间段内,可能具有不同的运动方式、速度、加速度或受力.每个过程都有其独有的特征和规律.当一个物体的运动包含多过程时,我们可以通过如图1所示的流程进行分析,以帮助我们轻松掌握动能定理在多过程运动问题中的应用.分析过程中首先确定研究对象和过程,而后对其进行运动分析和受力分析.分析运动时,要明确研究对象的运动性质,明确速度、位移、加速度等相关物理量,确定过程的初、末动能.受力分析时要明确研究对象的受力情况,确定该力的做功大小.值得注意的是,当涉及多个力做功时,各个力对应的位移大小可能不相同,要注意各力对应的位移.最后,根据物理情境选择子过程或者全过程,进行动能定理的应用,列方程求解.

图1

2 解题策略

应用上述流程进行解题要求学生从问题入手,要根据问题,明确研究对象和研究过程,明确物体的运动由哪些过程组成,然后分析研究过程中的受力情况和动能的变化情况,最后通过动能定理解决问题.下面通过几道例题加以说明.

例1将一质量为m的物块放置在水平桌面上,已知其和桌面间的动摩擦因数为μ.在水平拉力F的作用下,物块开始运动,当位移为s1时,将拉力F撤去,则物体还能运动的距离为多少?

选取质量为m的小物块为研究对象.其由静止开始,先做匀加速运动,而后做匀减速运动至速度为零.设物块加速的位移为s1,减速时的位移为s2.我们将子过程和全程分开研究,这样对动能定理的过程研究有一个更直观的理解.

方法1将小物块的运动分成匀加速和匀减速两个阶段进行分析.

小物块刚开始做匀加速运动,其位移为s1.在该过程中,拉力F做正功,摩擦力Ff做负功,重力和弹力不做功.初始状态的动能Ek0＝0,末动能Ek1＝.根据动能定理有,滑动摩擦力Ff＝μFN＝μmg.物体接下来做匀减速运动,在该过程中,摩擦力Ff做负功,重力和弹力不做功.初始状态的动能,末动能Ek2＝0.根据动能定理有,联立有Fs1－μmgs1－μmgs2＝0,解得.

方法2选取全程为研究过程直接应用动能定理.

在全过程中,拉力F做正功,摩擦力Ff做负功,重力和弹力不做功.初始状态的Ek0＝0,末动能Ek2＝0.根据动能定理有Fs1－μmgs1－μmgs2＝0－0,求得

【小结】当物体的运动过程包含几个性质不同的子过程时,子过程或者全过程都可以应用动能定理,关键在于选择合适的研究过程,起到简化问题的效果.过程的选取需要根据具体的物理情形进行灵活判断.当不需要考虑物体的具体运动细节时,不涉及中间的速度时,可以优先考虑选择全过程进行分析.

例2如图2 所示,ABCD是一竖直平面内的轨道,其中BC段水平,A点距离BC的高度H＝10 m,D点距离BC的高度h＝10.3 m,BC段的长度为l＝1 m,AB和CD均为光滑轨道.有一质量为1 kg的物体,以v1＝4 m•s－1的初速度自A点开始运动,经过BC后滑到D点时速度为零.(g取10 m•s－2)

图2

(1)求物体和BC轨道间的动摩擦因数μ;

(2)物体第5次经过B点时的速度大小;

(3)物体最后停止的位置(距B点).

(1)选取物体从A点到D点的过程为研究过程,该过程重力和摩擦力做功,初动能,末动能Ek1＝0,由动能定理可得

解得物体和BC轨道间的动摩擦因数μ＝0.5.

(2)设当物体第5次经过B点时的速度为v2,选取物体从A点到第5次经过B点为研究过程,在该过程中,物体在BC上滑动了4次,根据动能定理有

(3)设物体运动的全过程在水平面上通过的路程为s,由动能定理得mgH－μmgs＝,解得s＝21.6 m.所以物体在轨道上反复滑动10 次之后,仍有1.6 m.因此物块停止的位置距B点的距离s′＝2 m－1.6 m＝0.4 m.

【小结】在某些研究模型中,我们所研究的物体的运动具有重复性、往返性的特征,但是其对应的运动物理量多数情况下是不断变化的.如果运用牛顿运动定律和运动学公式进行求解,会导致整个求解过程十分烦琐,甚至最后无法计算出结果.在此种情况下,动能定理具有很大优势,其只关心物体的初、末状态而不计运动过程的细节,所以用动能定理分析这类问题更为便利.

例3如图3所示,有一质量m＝3 kg的小物块(视为质点)以某速度从高台边的A点飞出,其下方放置一个半径R＝0.5 m 固定的光滑圆弧轨道CDM,O为圆弧的圆心,D为圆弧的最低点.圆弧轨道与一长度足够长的斜面MN于M点相切.已知C点和M点是同一水平高度,OC和CM的夹角为37°,MN和CM的夹角为53°,物块和斜面MN间的动摩擦因数.当小物块飞出后,恰好能从轨道的左端C点,沿着圆弧的切线方向进入该轨道,此后沿着轨道继续运动.当小物块第一次到达圆弧轨道的D点时,其对轨道的压力大小为78 N.小物块第一次通过C点后,立刻在C点装一个与该点相切且和斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面(重力加速度g取10 m•s－2,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,不考虑小物块运动过程中的转动).求:

图3

(1)小物块平抛运动到C点时的速度大小;

(2)小物块在斜面MN上滑行的总路程.

(1)研究对象为小物块,研究过程为C点至D点的过程.在D点时,轨道对小物块的支持力和小物块自身重力的合力提供了向心力,有FD－mg＝.从C点到D点,由动能定理有mgR(1－sin 37°)＝,解得vC＝2 m•s－1.

(2)小物块最终的运动轨迹为在CM之间来回滑动,且到达M点时速度为零,选取D点到M点的运动过程,根据动能定理得－mgR(1－sin 37°)－μmgcos 53°•s总＝,代入数据得s总＝1 m.

【小结】有些问题虽然是多过程问题,但在仔细分析后,只需要对其中某一个子过程运用动能定理即可,即将多过程问题简化为单一运动过程.

3 结语

多过程运动虽然有其自身的复杂性,但其分析重点仍是在研究对象受力的总功、初始动能和末动能上,和单一的运动过程并无差别,相比之下只是多出了研究过程的选取.在该类题中运用系统化的思维分析,对其中涉及的问题逐个击破,万变不离其宗,就可以“拨开云雾见天日”.

(完)