灵活选用方法解决变力做功问题

李 华

(新疆生产建设兵团第六师五家渠市金科实验中学)

翻阅历年高考试卷不难发现,变力做功问题在高考中占有重要地位,几乎每年各地高考卷中都要涉及.由于我们在学习力的做功时只知道一个基本公式W＝Flcosα,它只适用于恒力做功,对高考试题中复杂多变的物理过程,基本无法直接使用该公式计算力所做的功.本文将对变力做功问题做些归纳总结,希望对大家的解题有所帮助.

1 变力的类型

变力有很多情况,纵观大量试题,我们可以将其大体分为以下5种类型:

1)如重力、弹簧弹力、万有引力、库仑力这类与势能相关的力.这类变力,虽然在变化,但它们所做的功与路径没有关系,而是等于势能的变化量(ΔEp).对于这类变力,可直接通过势能变化量求解.

2)方向恒定、大小做线性变化的力.这类变力的最大特点就是变化是均匀的,因此,我们在求它们的功时,可以利用力的平均值进行计算.

3)大小恒定、方向在研究对象的速度方向所在直线上变化的力.常见的情况是往返运动和曲线运动,涉及的力有空气阻力、动摩擦力等,这类变力的最大特点是变化是分段的,因此我们可以分段处理然后求和,从而求出变力所做的总功.但在计算时需注意,求各段的功时要用研究对象移动的路程,不要错用成位移.

4)功率不变的变力.这类变力其实就是我们最熟悉的机车启动模型中机车以恒定功率启动的情况.解题时可利用公式W＝Pt来计算.

5)一般变力.在高中阶段,除了上述4 种特殊变力,其余都属于一般变力.这类变力最大特点就是无规律可循,无法直接套用所学公式进行求解,其实,这类变力才是与我们生活中遇到的力最相似的.这类变力在生活中最为普遍,但是研究起来也最为复杂,高考中一般不会涉及这类一般变力的做功问题,我们只需了解即可.

2 变力做功问题常用解题方法

2.1 动能定理法

动能定理是实用性最强的解题方法之一,适用于直线运动和曲线运动,也适用于恒力做功和变力做功,是求解力做功最常用的物理定律.在审题时,如果发现题目涉及力和运动或者变力做功,都可以优先考虑使用动能定理.

例12022年的北京冬奥会,中国运动健儿的精彩表现激起了国人的冰雪运动热潮.某物理小组也对冰雪项目很感兴趣,因此计划应用自己所掌握的物理知识对“大跳台滑雪”项目中运动员的运动情况进行分析.如图1所示,是大跳台滑雪助滑道的示意图,AB是长为L、倾角为θ的斜面,BCD是圆弧面,斜面和圆弧面相切,且B点和D处在同一水平面上.运动员从A点静止出发,最终从D点处以大小为v的速度沿着圆弧面的切线方向滑出滑道.假设运动员(包含滑雪装备)的质量为m,滑雪板与斜面AB间的动摩擦因数为μ,不计空气阻力,运动员可视为质点,重力加速度大小为g.求:

图1

(1)运动员从A点运动到B点所用的时间;

(2)运动员通过圆弧面BCD过程中克服摩擦力所做的功.

(1)对运动进行受力分析,并由牛顿第二定律可得其从A点运动到B点过程中的加速度为

(2)设运动员通过圆弧面BCD过程中克服摩擦力所做的功为W,对运动员从A点到D点的全过程应用动能定理可得mgLsinθ－μmgLcosθ－W＝,解得.

【小结】动能定理适合解决类似本题的大小和方向都时刻变化的力的做功问题.另外,选择正确的研究对象和过程是解题的关键.本题虽然是要求“运动员通过圆弧面BCD过程中克服摩擦力所做的功”,但是利用动能定理时则需要选择“从A点到D点的全过程”为研究对象,只有这样才能化繁为简,让解题过程变得简洁.

2.2 微元法

微元法的基本原则是过程分割与代数累积.在实际解题应用中,就是将力或者运动轨迹无限分割成极小单元,每一个极小单元都可以认为是直线运动或者恒力,这时复杂的运动轨迹或者变力都可以视为是无数直线运动或恒力的代数和.利用这种方法,就能使原本复杂的变力做功问题转变为我们最熟悉的恒力做功问题.

例2如图2所示,一个半径为R的圆盘在力F作用下转动,已知力F的大小不变,方向始终沿着过接触点的切线方向,求力F使圆盘转动一周所做的功.

图2

对该问题分析,如果将运动过程无限细分,每通过一个极短位移可认为力的方向与该位移的方向一致,则力F使圆盘转动一周所做的功可等效为在这些极短位移所做功的代数和,即W＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋…＋FΔsn＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…＋Δsn)＝F•2πR.

【小结】本题是典型的力的大小不变、力的方向始终与速度方向一致的问题,解题首选方法就是微元法.解析中即是将运动轨迹无限分割成极小的单元,然后利用各单元的功的代数和求出力F使圆盘转动一周所做的功.微元法是解决这类曲线运动问题最常用的方法,微元法同样适用于力的大小不断变化的情况,方法是将物体的位移无限分割成极小单元,每一单元物体所受的力可以等效为恒力,然后求出各单元恒力做功的代数和,即是所要求的变力所做的功.

2.3 化变为恒法

此方法的核心思维就是“转化”,即将陌生、复杂的问题转变为熟悉、简单的问题,在解题过程中,有两种思路可选:一是化变力为恒力,即将变化的力转化为恒力,然后利用公式W＝Flcosα求解;二是化曲为直,即利用等效法,将研究对象的运动轨迹等效为直线,然后使用公式W＝Flcosα求解.这两种解题思路都可以将变力做功问题转变为恒力做功问题,究竟使用哪种思路要依据题目情境灵活选择.

例3如图3所示,某人利用一个定滑轮,通过一根质量不计的细绳,用F＝100 N 的恒力将一放置在水平地面上的物体由A点拉至B点处,图中信息依次为α1＝30°,α2＝37°,h＝1.5 m.若细绳与定滑轮间的摩擦力不计,求物体由A点拉至B点处拉力所做的功.

图3

本题隐含条件也即突破点是“细绳与定滑轮间的摩擦力不计”,所以恒力F所做的功就等于物体所受拉力对物体所做的功.因此,本题就转变为我们熟悉的求恒力F的做功问题,只需要求出细绳最右端的位移s即可.

根据几何知识,细绳最右端的位移为

物体由A点拉至B点处的过程中,恒力F所做的功为W＝Fs＝100 N×0.5 m＝50 J.

【小结】化变力为恒力是本题的解题关键,但要注意,本题给出了重要条件是“细绳与定滑轮间的摩擦力不计”,不然问题就会变得复杂.

以上,是对三种常用方法或思路的总结.此外,解变力做功问题,还有图像法、平均力法等方法,限于篇幅在此不予详述.

不论遇到何种力,解题时首先要做的就是对研究对象进行受力分析,明确要求哪个力做的功,判断该力是恒力还是变力;明确要求哪个过程中力所做的功.如果是变力做功问题,首先可考虑是否能使用动能定理,如果不行,可根据变力的类型,灵活选用平均力法、微元法、化变为恒法和图像法等进行解题.总之,抓住了变力的变化类型,我们就掌握了解题的诀窍,解题就变得容易了.

(完)