处理高考中力学综合题的思维策略

李海珍

(河北省滦平县第一中学)

力学是高中物理的主干内容,力学综合题是高考中重点考查的内容,对考生的能力要求较高,要具有正确进行受力分析和运动分析的能力.此类问题主要涉及两类规律,即物体的受力规律和物体的运动规律;重点考查两种观点,即动量观点与动能观点;问题处理的关键是弄清问题背景中出现的过程、状态等.下面以2022年全国乙卷压轴题为例,探究力学综合问题的处理策略以及思维方法.

例(2022年全国乙卷)如图1所示,一质量为m的物块A与轻质弹簧连接,静止在光滑水平面上;物体B向A运动,t＝0时与弹簧接触,到t＝2t0时与弹簧分离,第一次碰撞结束,A、B的v-t图像如图2所示.已知从t＝0到t＝t0时间内,物块A运动的距离为0.36v0t0.A、B分离后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,与一直在水平面上运动的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为,与水平面光滑连接,碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内,求:

图1

图2

(1)第一次碰撞过程中,弹簧弹性势能的最大值;

(2)第一次碰撞过程中,弹簧压缩量的最大值;

(3)物块A与斜面间的动摩擦因数.

1 科学严谨审题

审题是解题的第一步,也是决定问题能否顺利求解的关键环节.力学综合问题通常叙述冗长,信息量大,运动过程复杂,审题中要注意关键词语,从中挖掘出隐含条件,据此梳理解题思路,建立相应的物理模型,进而找到问题求解的突破口.

2 扎实理论基础

牛顿运动定律、动量定理、动能定理、机械能守恒定律、动量守恒定律是力学的基本理论,这些理论构成了解决力学问题的基石,学习过程中要注意强化这些理论在不同物理情境中的灵活运用.例如,对于单个物体,若涉及时间问题,常优先选动量定理;若涉及位移问题,则优选动能定理;对于多物体系统,应优先选用两个守恒定律;若涉及系统内物体的相对位移及摩擦力等,则要注意应用功能关系,分析运动过程的转折点等.

3 明晰运动过程

力学综合问题通常涉及多个过程,求解时可将其分解为多个子过程,再对每个子过程进行分析,列出相应的方程.

本题中物体B以一定的速度向右运动,撞向弹簧,把弹簧压缩至最短,此时两物体共速,弹簧的弹性势能最大.共速后弹簧张开,同时继续向右运动,弹簧恢复到原长,两物体分开,第一次碰撞结束.整个运动过程,如图3所示.

图3

从这一过程,我们可得到哪些信息?

从原长到最短的过程中,弹簧的弹性势能增加,最短的时候,弹性势能最大,随着弹性势能的释放,转化为两物体的动能.从全程来看弹簧的弹性势能先增加后减小到0,整个过程中弹性势能的变化量为0,若将两物体和弹簧视为一个系统,在运动过程中整个系统弹性势能的初末状态均为0,故动能没有变化,这说明碰撞过程中系统的动能无损失,即这一过程属于完全弹性碰撞,遵循动量守恒定律和机械能守恒定律.

下面对第(1)问进行讨论.

设B的质量为M,由动量守恒定律得M•1.2v0＝(M＋m)v0,解得M＝5m.由机械能守恒定律可得,得.

4 挖掘题目本质

第一次碰撞过程中,弹簧压缩量的最大值,即为弹簧压缩最短时.如图4所示,在共速前物块B的速度大于A的速度,弹簧被压缩.当二者共速时,弹簧的压缩量达到最大值,之后随着物块A的速度大于B的速度,弹簧逐渐伸长.如果物块A、B中间没有弹簧,则碰撞后二者连在一起,位移相等.而本题此运动过程中物块B的位移xB大于A的位移xA,弹簧的压缩量就是物块B比A多走的位移,我们只要求出0～t0这段时间内物块B的位移xB即可,xB－xA就是弹簧的最大压缩量.二者的位移差即图5中阴影部分的面积,即物块B的v-t图像与横轴围成图形的面积与A的v-t图像与横轴围成图形的面积之差.

图4

图5

物块A、B第一次碰撞分离后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,与一直在水平面上运动的B再次碰撞,由于斜面是粗糙的,所以A滑上的速度与滑下的速度不同,之后物块A再次滑上斜面,达到的最高点与前一次相同,那么物块A第一次滑上斜面时,速度是2v0,第二次滑上斜面时,因为达到的高度相同,故也是2v0.

通过分析发现第(2)问考查了“人船模型”的拓展应用,第(3)问考查了斜面上往返的多过程问题以及弹性碰撞,这些内容源于教材,又高于教材.

弄清了问题的本质,就明确了解题的方向.

5 破解问题难点

本题的难点在于物块B与弹簧接触的过程中,弹簧弹力随着弹簧形变量的变化而变化,物块A和物块B所受的合力以及加速度都是随时间的变化而变化的,即为变加速的情况,且题目中没有直接给出物块A、B速度随时间变化的函数关系,只给了t＝0到t＝t0时,物块A的位移为0.36v0t0.位移对时间的变化率是速度,而速度函数在某段时间内的定积分即为位移.

对第(2)(3)问的解答如下.

(2)方法1设0～t0时间内,物块A、B的速度分别为vA、vB,vA和vB是与时间有关的函数,则xA＝.由动量守恒定律得M•1.2v0＋m•0＝MvB＋mvA,得.因此

所以xB－xA＝1.128v0t0－0.36v0t0＝0.768v0t0.

另外此问也可利用位移等于速度在时间上的累积求解.

方法2设同一时刻物块A、B的加速度分别为aA、aB,瞬时速度分别为vA、vB.同一时刻弹簧对物块A、B的弹力大小相等,根据牛顿第二定律F＝ma,可知同一时刻aA＝5aB,则vA＝aAt,vB＝

据位移等于速度在时间上的累积可得xA＝vAt,xB＝vBt,已知xA＝0.36v0t0,故xB＝1.128v0t0,所以xB－xA＝1.128v0t0－0.36v0t0＝0.768v0t0.

(3)设物块A第一次滑下斜面的速度大小为vA1,向左为正方向,由动量守恒定律可得

据能量守恒定律可得

联立两式解得vA1＝v0.

设物块A在斜面滑行的长度为L,对上滑过程由动能定理有－mgLsinθ－μmgLcosθ＝0－,下滑过程由动能定理得mgLsinθμmgL•cosθ＝,解得μ＝0.45.

物理与数学是不可分割的整体,物理学的发展离不开数学的支撑.物理问题在经历建立模型分析、运用规律之后,往往转化成为数学问题,可借助数学知识和方法来求解.

(完)