基于BWO 优化VMD 和奇异谱熵的滚动轴承故障诊断

陈桂平，路晓鹏，刘婷婷

（1.柳州铁道职业技术学院，广西 柳州 545616；2.柳州职业技术学院，广西 柳州 545616）

0 引言

滚动轴承是旋转机械的关键部件，其状态的好坏关乎设备整体的正常运行和安全，因此，对滚动轴承进行实时、正确的状态识别与诊断极端重要。滚动轴承的故障特征在信号中以周期脉冲的形式存在，将周期脉冲成分从故障信号中提取出来是进行滚动轴承故障诊断的前提。对此，相关科研工作者开展了一系列的研究，并提出了多种提取信号特征的分解方法。小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种经典的信号分解方法，已被广泛应用于轴承故障信号的分解，然而WT 的噪声鲁棒性并不高，还需要人为选择小波函数[1]。经验模态分解（Empirical mode decomposition，EMD）一经提出就已被大量用于滚动轴承的故障分析中，但是EMD 存在端点效应、模态混叠等问题，此外递归分解会导致分解误差的积累[2]。针对EMD 端点效应和模态混叠等问题，Smith[3]于2005 年提出了局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD），LMD 虽然避免了过包络，端点效应和模态混叠也得到了改善，但是递归分解仍然会导致误差的累积。虽然WT、EMD 和LMD 不断地有改进方法被提出，但是这些方法并不能很好地提取故障信号中的周期脉冲[4-6]。

变分模态分解（Variational Mode Decomposition，VMD）是由Konstantin[7]提出的信号处理方法，采用非递归求解变分模态方式，求解分量的带宽和频率中心，自适应地对非平稳信号进行分解，能较好地应对模态混叠，此方法一经提出，就受到了国内外研究者的广泛讨论。但VMD 分解需要手动选取分解分量K和惩罚参数的值。如果参数选取不当，会影响到信号的分解效果。因此，针对VMD 超参数选取的问题，唐基贵等[8]提出以分解模态最小包络熵为目标函数，采用PSO 算法优化VMD 超参数；王卫玉等[9]则提出以分解分量能量之和与原始信号能量之间的最小误差为目标函数，采用GSA 算法优化VMD 超参数；郑义等[10]则以最大相关峭度为目标函数，采用GOA 算法优化VMD 超参数。以上方法，对参数优化后的VMD分解都能达到预期的分解效果。

本文提出了以分解模态最小包络熵为目标函数，采用白鲸优化算法（Beluga Whale Optimization，BWO）优化VMD 超参数进行变分模态分解，并以分解得到的最小包络熵的模态分量求取其奇异谱熵值作为特征向量数据集，最后利用SVM 训练、识别数据集实现滚动轴承的故障诊断。仿真结果表明，BWO 优化VMD 和奇异谱熵的特征提取方法能够有效地对滚动轴承故障进行诊断。

1 基本原理

1.1 白鲸优化算法

白鲸优化算法是Zhong C 等人根据白鲸的种群行为启发而提出的优化算法[11]。算法包含探索、开发和鲸落三个阶段。

由条白鲸组成的种群可以用矩阵表示如下：

那么，所有白鲸的适度函数可以表示为：

在式（1）（2）中，d为待优化变量的维数，n为种群数量，f为适应度关系。

探索阶段，搜索代理的位置由一对白鲸的游泳决定，白鲸的位置更新如下：

其中，t为当前迭代次数是第i条白鲸在第j维的新位置，和是第i和第r条白鲸（r为随机）的当前位置，r1和r2是（0，1）的随机数。sin（2πr2）和cos（2πr2）是用于平均鱼鳍之间的随机数。

开发阶段，在BWO 的开发阶段引入了Levy 飞行的策略捕捉猎物，其捕食的数学模型表示为：

其中，u和v是正态分布的随机数，β是默认为1.5 的常数。

鲸落阶段，白鲸的位置更新模型为：

其中，r5、r6和r7是（0，1）之间的随机数，Xstep=（ub是鲸鱼坠落的步长，C2= 2Wf×n为步长因子，ub和lb为变量的上界和下界。鲸鱼坠落的概率Wf被设计为线性函数：

鲸鱼坠落的概率从初始迭代的0.1 下降到最后一次迭代的0.05。

1.2 变分模态分解

VMD 算法是一种非递归的自适应信号分解方法，其分解过程包括变分问题构造和求解过程。实现的过程是利用自适应的准正交变换将信号通过非递归方式分解为K个有限带宽的固有模态分量uk。算法理论中的uk是具有有限带宽的本征模态函数IMF，以ωk为中心频率进行波动，带宽通过对信号进行平滑估计获得，其变分问题可以表示为：

上式中，{uk} = {u1，…，uk}表示变分分解后K个模态分量，{ωk} = {ω1，…，ωk}为模态分量的中心频率，f（t）为原信号，δ（t）为狄拉克函数，∂t为求偏导，[δ（t）+]*uk（t）为uk（t）的Hilbert 谱。

用拉格朗日算子λ（t）和二次惩罚因子α将（8）式中的目标函数约束优化转化为无约束的优化问题，确保约束条件的严格性和信号重构精度。表达式如下：

采用交替方向乘子法迭代更新{uk}，{ωk}和λ，求取（9）式中的鞍点，即为（8）式的最优解。

算法的自适应实现过程如下[7]：

（2）n = n+ 1，执行整个循环；

（3）k = k+ 1，直到k = K，执行公式（9）迭代更新uk；

执行公式（10）迭代更新ωk；

（4）执行公式（11）迭代更新λ；

（5）根据各模态和中心频率不断循环更新，重复执行步骤2）～4），直到满足收敛条件＜ε，实现信号自适应分解为K个中心频率不重叠的模态分量。

1.3 奇异谱熵

奇异谱分析常用于分析和预测非线性时间序列，它能分析时间序列具有的潜在结构。奇异谱熵（Singular Spectral Entropy，SSE）则是一种基于奇异谱分析和信息熵分析相结合的分析方法[12]。奇异谱熵算法的原理如下：

对于长度为N的一维时间序列[x1，x2，…，xN]，选择合适的窗口长度L（一般要求L＜），将时间序列进行时间延时τ= 1 的滞后排列得到L × K的轨迹矩阵：

然后对X进行奇异值分解，其分解形式为：

其中，U和V均为单位正交矩阵，U称为左奇异矩阵，V称为右奇异矩阵，ΣL×K=diag（σ1，σ2，…，σL）为奇异值。

奇异值反映了对应的奇异矩阵对原信号序列的能量贡献，奇异值大表示包含的有效信息多。得到信号的奇异值谱{σi}后，对每个奇异值进行概率密度计算，即，参照Shannon 熵的概念，可以求得该信号的奇异谱熵为：

以上分析可以看出，奇异谱熵SSE 是对时间序列经奇异谱分解后的潜在结构的定量描述，一定程度上可以反映信号能量的分布情况。时间序列的能量越大，得到的奇异谱熵值就会越大，反之则越小。

2 轴承信号预处理

借助凯斯西储大学的滚动轴承试验数据进行验证分析。选取试验中驱动端的SKF-6205-RS JEM 深沟球型轴承，电机负载为1 HP、转速为1772 r/min 和采样频率为12 kHz 的采样信号，分别选取直径0.1778 mm、深度0.2794 mm 电蚀故障尺寸下的内圈、滚动体、外圈轴承和同样载荷、转速和采样频率下的正常轴承四种信号作为实验对象。

2.1 BWO 优化VMD 参数

VMD 分解时，需要先确定分解模态个数K和惩罚参数α。文献[13]指出，这两个参数的选取会影响到分解结果，惩罚参数α影响去噪效果和细节保留度，α越小，得到的各模态分量带宽越大，反之，α越大各分量带宽越小。至于模态个数K，信号分解模态数太少时，容易造成原始信号中的重要信息特征丢失，而分解模态数太多时，会造成邻近模态的中心频率接近，形成频率混叠。VMD 分解效果受模态分量数量和惩罚因子的影响，因此，采用BWO 算法对分解参数α和K进行优化，并以分解模态分量的最小包络熵为目标函数。BWO 优化VMD 参数的过程中4 种工况最小包络熵的迭代过程，如图1 所示。最终得到的最优分解参数α和K值以及各模态的包络熵见表1。

表1 BWO 优化VMD 参数值及各模态包络熵

图1 BWO 优化VMD 最小包络熵的迭代过程

根据熵的概念，对于信号来说，包络熵可以表示信号的稀疏特性，信号中噪声较多时，说明特征信息较少包络熵值较大，反之，则说明包络熵值较小。对分解得到的模态信号依次计算每个模态信号在该组分解信号集中的包络熵值，并选择熵值较小的一组模态分量作为后续的处理信号。因此，对四种工况的轴承的原始信号和VMD 分解得到的最小包络熵的模态分量及其包络谱如图2 所示。

图2 四种工况轴承原始信和最小包络熵的分量及其包络谱

2.2 奇异谱熵的计算

对于电机转速为1772 r/min 和采样频率为12 kHz的采样信号，可以计算出电机每旋转1 圈，约产生406 个采样点。为了简化计算，将电机1 个旋转周期内的采样点等分为4 份，即可得到4 段时间序列，分别计算奇异谱熵，得到4 个奇异谱熵值。为了完整揭示一个旋转周期内4 段时间序列奇异谱熵的变化趋势，处理时，将旋转范围取到5/4 圈，即每5 个奇异谱熵值为一个特征向量。从理论上来说，第1 个奇异谱熵的值和第5 个奇异谱熵的值是相等的。

分别对正常、内圈故障、滚动体故障、外圈故障四种工况轴承的振动信号进行滑窗取样，每次取样窗口是510 个数据，每次滑动的长度是406 个数据，对取样窗口的数据进行VMD 分解，将包络熵值最小的一组模态分量分为5 个时间序列，分别进行奇异谱熵计算，即可得到5 个奇异谱熵值为一组的一个特征向量。每种工况信号滑窗取样200 次，则每种工况可以得到200 组特征向量。

经VMD 处理后的每种工况得到的200 个特征向量的平均值如图3 所示。图中每种奇异谱熵值变化的趋势可以反映出该信号的能量波动趋势，可以以此来表示特征，它们之间的趋势差别越大越有利于诊断识别。此外，图中第1 个奇异谱熵值的大小和第5 个奇异谱熵值的基本上是相等的，这也验证了前面的猜想。图4 所示为四种工况原始信号的包络谱熵均值的特征向量图，图中滚动体故障和外圈故障的后三个熵值趋势比较相似，将会影响正确的诊断识别，从侧面也可以反映出经VMD 处理后的四种工况的奇异谱熵的区分效果会更好。

图3 VMD 处理后四种工况的奇异谱熵值对比

图4 原始信号四种工况的奇异谱熵值对比

3 故障轴承诊断

将每种工况的每5/4 转动周期的5 个奇异谱熵作为一组特征向量，则可得到800 组特征向量。将800 组数据样本打乱，取70%作为训练样本，剩下30%作为测试样本。先用SVM 对训练样本进行训练得到训练模型，再将测试样本输入到训练好的模型中进行诊断识别[14]。其得到的分类结果如图5 所示，可以看出，采用BWO 优化VMD 和奇异谱熵的特征提取方法，其轴承状态准确率达100%。对原始信号直接进行奇异谱熵计算的SVM 识别结果如图6 所示，可见采用奇异谱熵作为特征向量，有较好的识别效果，并且滚动体和外圈有部分误识别的情况，这与前面的分析基本一致。

图5 BWO-VMD+SSE 识别结果

图6 原始信号+SSE 识别结果

选用同样的工况轴承信号，分别采用EMD、LMD进行信号分解，仍然选取分解得到其模态分量最小包络熵的分量信号构造特征向量，用SVM 对4 种工况轴承进行故障诊断，得到的分类结果如图7、图8 所示，由图可见故障识别率依然很高。因此，信号分解得到的最小包络熵的模态分量和奇异谱熵结合进行故障诊断具有较好的效果。

图7 EMD+SSE 识别结果

图8 LMD+SSE 识别结果

4 结语

结合滚动轴承故障振动周期性冲击的特点，提出了一种基于BWO 优化VMD 和奇异谱熵的特征提取方法，以信号在一个周期内的奇异谱熵值的特征映射出故障脉冲的特点。

以VMD 分解模态分量的最小包络熵为目标函数，用BWO 算法对VMD 的分解参数α和K进行优化，并以最优参数进行VMD 分解，对分解得到的最小包络熵的模态分量求取奇异谱熵作为特征向量输入SVM，可以准确实现滚动轴承的故障诊断。

采用BWO 优化VMD 和奇异谱熵的故障特征提取方法在表达振动信号的复杂度时，能够很好区分轴承的四种工况状态，与EMD+SSE 和LMD+SSE 的特征提取能力相比，具有较好的诊断识别效果。