例析曲线公切线问题求解策略

摘 要：公切线是导数几何意义的综合应用，将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，考查转化与化归、推理与论证的能力.文章从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略.

关键词：公切线;分离函数;凹凸翻转

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）31-0009-03

收稿日期：2023-08-05

作者简介：金保源（1980.5-），男，湖北省天门人，本科，中学一级教师， 从事高中数学教学研究.[FQ）]

切线问题是近几年的高考热点问题，考查导数的综合运用，对考生有很好的区分度.如2016年全国Ⅲ卷文第16题、2017年全国Ⅰ卷文第14题、2018年全国Ⅰ卷文第6题、全国Ⅱ卷文第12题均考了与切线有关的题型.本文从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略，以供读者参考.

1 切点相同的公切线

2 切点不同的公切线

3 存在公切线求参数范围

4 利用公切线解决零点个数问题

点评 本题是已知函数的零点个数求参数范围问题，将零点问题转化为两曲线交点个数问题是常见的求法.借由例1的求解过程，可先求两曲线相切的临界情形，由公切线求出参数的值，根据图象变化特征即可得到參数的取值范围.

5 利用公切线解决恒成立问题

公切线的实质是导数几何意义的综合应用，将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，考查转化与化归、推理与论证的能力.解决公切线可考虑从数与形两方面着手，将问题转化为两个函数的图象关系，由图象凹凸反转的特征，利用切线不等式放缩［1］.求解方法蕴含泰勒展开、函数逼近的背景，渗透着数形结合、动静转化的思想，是命题者难以抗拒的源泉.

参考文献：

［1］武增明.两函数图象的公切线问题[J].数理化解题研究，2019（04）：24-27.

［责任编辑：李 璟］