数学教学中从几何空间创新理解向量数量积

摘 要：为引导学生全面深入地理解向量数量积概念，在几何空间中构造向量夹角，通过向量坐标法与向量封闭回路法建立向量夹角余弦值的算法，对该算法做适当修改后，以此为基础，可引导学生从中推导向量数量积公式.据此，文章进行了详细研究.

关键词：几何空间；向量夹角；向量数量积；向量坐标；封闭回路

中圖分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）31-0085-04

收稿日期：2023-08-25

作者简介：胡乙（1982-），男，江苏省南京人，硕士，讲师，从事高中数学教学研究.

在数学中，向量数量积（内积或点积）指：两个向量a和b的模与它们夹角余弦的乘积［1］.向量夹角与数量积教学一直是向量教学的重点与难点.在教学实践中，如何引导学生完整准确地理解以上概念，中外学界对此一直未达成共识.

目前国内教材普遍运用物理学中恒力F做功的公式说明向量数量积概念，而从数学几何出发讲授向量数量积，其研究尚处于萌芽状态.程仕然认为从物理学恒力F做功公式推导向量数量积公式有以下不足：一是学生尚不完全熟悉物理做功公式，二是物理学公式与数学公式描述的符号及说法上有不同，可能造成学生新的困扰［2］.据此，教师如果转换思路，从求解向量夹角入手推导向量数量积公式，则可能弥补以上不足.陈文雅、江一鸣主张：将向量视为线段，从线段投影出发，运用数形结合思想，将向量数量积视为向量间投影［3］.可见，若从几何空间出发设计向量相关教学，则师生教学可能更为轻松.

国外学界倾向于从几何空间出发，首先从笛卡尔坐标定义向量数量积，再运用向量封闭回路法构造直角三角形证明向量数量积公式.如卡尔·P.西蒙等提出应在几何空间中运用封闭回路构造直角三角形，并运用勾股定理推导向量数量积公式［4］.此观点已经涉及向量数量积的数学本质，但不完整.完整的向量数量积教学应包含两方面，即从向量坐标法与向量封闭回路法出发，全面讲授向量数量积概念.

此外，通过调整相关概念教学顺序，可能会提高教学效率.按观察问题、解决问题的逻辑顺序，学生应首先认识向量夹角，在计算向量夹角大小的过程中，教师可引导学生归纳出求解向量夹角余弦值的算法，对算法做适当变换后，再引导学生学习向量数量积概念.以上教学设计不仅有利于学生深入理解向量数量积的数学本质，而且可培养学生在解决实际问题中进行数学抽象的能力.

据此，研究拟从数学几何出发，首先引导学生发现笛卡尔平面中的向量夹角，并从向量坐标法与向量封闭回路法两种角度引导学生求解向量夹角余弦值，在此过程中，启发学生归纳出求解向量夹角余弦值的公式，对公式做适当变换后，教师可正式提出向量数量积概念.同时，因为向量是沟通几何与代数的桥梁，为使学生深入理解以上概念，研究将从向量坐标与封闭回路两个角度，引导学生运用向量数量积公式，创新证明欧氏几何直角三角形相关定理，使学生从多角度深入认识向量的概念与作用，并学会在数学、物理学、经济学等不同学科中，主动运用以上知识分析相关数学模型，以此激发学生的学习兴趣，实现教学初衷.

1 向量夹角与向量数量积

与传统教学不同，教师可在笛卡尔平面建立向量夹角，请学生运用三角函数计算该夹角的余弦值，在此过程中，引导学生推导向量数量积公式.待学生熟练掌握后，教师可从向量封闭回路角度再次引导学生理解向量夹角与向量数量积.

1.1 从向量坐标法理解向量夹角与向量数量积

1.2 从封闭回路理解向量夹角与向量数量积

1.3 向量数量积与勾股定理

1.4 向量数量积与直角三角形射影定理

2 总结

从数学几何出发，教师可首先指导学生计算向量间夹角数值，在此过程中，引导学生推导向量数量积公式.教师应从向量坐标法与向量封闭回路法两种角度完整讲授向量夹角与向量数量积.运用向量数量积，学生可创新证明欧式几何中相关定理.限于篇幅，本研究并未详细阐述向量数量积在立体几何、解析几何、不等式等教学内容中的应用.未来教学中，教师可尝试运用质点几何法讲授向量数量积及相关向量知识.

参考文献：

［1］ 吴静.应用数学［M］.第2版.广州：中山大学出版社，2016：8.

［2］ 程仕然.平面向量数量积课堂教学的反思与重构［J］.数学教学通讯，2020（3）：9-11.

［3］ 陈文雅，江一鸣.核心素养视野下的问题导学：以平面向量数量积复习课为例［J］.数学教学通讯，2019（9）：14-15.

［4］ 西蒙，布鲁姆.经济学中的数学［M］.第10版.杨介棒，何辉，译.北京：中国人民大学出版社，2012：184-185.

［5］ 张景中，彭翕成.绕来绕去的向量法［M］.北京：科学出版社，2010：78.

［责任编辑：李 璟］