三角函数的图像与性质的重点、难点突破

■胡 兴

三角函数的图像与性质是三角函数的主要内容,要想学好三角函数的图像与性质,就要掌握其重点和难点,下面就此实例剖析。

重点:有关三角函数的奇偶性与单调性

1.三角函数的奇偶性与应用

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

(2)已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|(x∈R)为奇函数,则a等于( )。

A.0 B.1

C.-1 D.±1

(2)此函数的定义域为R。因为f(x)为奇 函 数,所 以f（-x）= -f(x),即sin（ -x）-|a|=-sinx+|a|,所以|a|=0,所以a=0。应选A。

函数。

判断三角函数的奇偶性,应先求出函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下,再根据f（ -x）与f(x)及-f(x)的关系进行判断。判断函数奇偶性应把握的两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与f（ -x）的关系。对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简,再进行判断。

2.正弦(或余弦)函数的单调区间与应用

(2)已知函数y=cosx在区间[-π,a]上为增函数,求a的取值范围。

(2)因为y=cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以当-π

求形 如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可借助正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得。具体求解时,应注意三点:要把ωx+φ看作一个整体,当ω<0时,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正数;在A>0,ω>0 的情况下,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;在A<0,ω>0的情况下,同样方法可求得与正弦(或余弦)函数单调性相反的单调区间。

难点:利用正弦(或余弦)函数的图像解不等式

在同一直角坐标系下,作出函数y=sinx,x∈[0,2π]及直线的图像,如图1所示。

图1

图2

利用三角函数的图像解sinx>a(或cosx>a)的方法:作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的图像;确定sinx=a(或cosx=a)的x值;选取一个合适周期写出sinx>a(或cosx>a)的解集,要尽量使解集为一个连续区间;写出在x∈R 上的解集。