求解三角函数问题常用的数学思想

■贺显孟

三角函数是高中数学的重要内容之一,其中蕴含着丰富的数形结合思想、分类讨论思想、对称思想、等价转化思想、换元思想、函数与方程思想、整体代换思想等。

一、数形结合思想

例1 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图像,如图1所示,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+f(2023)的值为____。

图1

因为1+2+…+2023=4×506,所以f(0)+f(1)+f(2)+ … +f(2022)+f(2023)=4×506=2024。

评析:数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化,形中觅数,数中构形。

二、分类讨论思想

评析:因为m的符号不同,点P的位置不同,相应的角α的三角函数值不同,所以需要对m进行讨论。

三、对称思想

解:因为f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π,所以,解得ω=1,这时f(x)=sin（x+φ）。

评析:正弦函数和余弦函数的图像上相邻的两个最高点之间的距离为一个周期。函数f(x)=cosx的图像的对称中心为

四、等价转化思想

五、换元思想

例5 函数y=cos2x-4cosx+5 的值域为_____。

解:令t=cosx,由x∈R,可得-1≤t≤1。原函数等价于函数f(t)=t2-4t+5=(t-2)2+1。当t=-1,即cosx=-1时,函数f(t)有最大值10;当t=1,cosx=1时,函数f(t)有最小值2。

故所求函数的值域是[2,10]。

评析:令t=cosx,这时要注意t的取值范围。

六、函数与方程思想

评析:利用韦达定理,结合(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ,求出m的值是解题的关键。

七、整体代换思想

例7 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(8)=5,则f(25)的值为____。

解:因为f(8)=asin(8π+α)+bcos(8π+β)=asinα+bcosβ=5,所以f(25)=asin(25π+α)+bcos(25π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)=-5,即f(25)=-5。

评析:由题设得asinα+bcosβ=5,再利用整体代换思想求得f(25)的值。