基于温度场与D-Kalman 参数估计的光学电压传感温度补偿方法

陈胜硕，李岩松，陈东旭，康世佳，许智光，刘君

（华北电力大学 电气与电子工程学院， 北京 102206）

0 引言

随着现代电网的发展，对电网运行的可靠性与效率的要求日益提高。传感设备的智能化以及测量技术的不断进步为智能电网的高效稳定运行提供了重要保障。

随着电网容量的不断提高及跨地域远距输电的增多，在电网中广泛应用的电磁式电压传感器和电容式电压传感器的局限性也逐渐显露。由于传统电压传感器本身存在体积大、造价高、磁路饱和等固有缺点，光学电压传感器（Optical Voltage Sensors，OVS）显示出了更加广阔的应用前景。为满足新一代电力系统的发展需求，关于OVS 的研究与实用化已成为当前电压传感领域的重要研究方向之一［1-5］。

经过数十年的发展，OVS 在理论层面也取得了长足的进展，为了增加OVS 的实用性，需要对OVS 的测量精度不断进行优化。文献［6］提出一种基于条形铝金属偏振光栅的光学电压传感器，通过将电光相位延迟变化转化为光斑的平移，用图像传感器测量光斑位置实现电压直接测量。文献［7］通过研究OVS 光路结构的互易性机理，提出了一种运用多光纤相互结合的方法抑制系统光路寄生干扰相位差。文献［8］基于一次电光效应和杂散电容耦合原理提出了一种双铌酸锂晶体结构OVS，改善了光电传感单元的温度稳定性。文献［9］提出一种基于同轴电容结构的温度自愈式OVS，通过双光路法提高测量装置的温度稳定性。文献［10］设计了一种自校准OVS，通过设计基准电压源，使其与被测电压源串联实现自校准功能。综上，多数学者对OVS 温度补偿方面的研究更多倾向于硬件补偿，对OVS 本身的温度特性和电光晶体的热物性研究较少。本课题组前期设计了一款基于Pockels 效应的旋转式光学电压传感器，解决了在直流电场测量中面临的电荷积累问题，但其也面临着温度漂移的困境［11］。所以就其温度特性进行分析，本课题组提出通过处理OVS 的输出信号将温度与电压解耦的方法，尽量排除温度的影响［12］。但在后续分析中发现，部分参数仍会受到温度的影响，所以在文献［12］的基础上引入温度变化量参数，对受到温度影响的参数进行状态估计。

文献［12］以横向调制OVS 为研究对象，详细分析了OVS 在多物理场环境下的温度响应特性，通过频谱分析揭示了温度变化引起的漂移误差量的所处频带，通过相应的滤波方法提高OVS 的测量精度。然而在考虑热光效应时，是在已经确定了初始温度晶体折射率n0的基础上，分析温致折射率改变量Δn对测量精度的影响。实际上与热光效应同理，在不同初始温度下电光晶体的折射率也会发生改变［13］。从文献资料中往往只能查到电光晶体在固定入射光波长或固定环境温度下的折射率数据，这些数据无法应用于多变外界环境下的OVS 温度稳定性校正。同时，为了保证晶体的完整性以减少对内部光路的影响，大部分测温装置只能对晶体表面温度进行测量，这在稳态温度场环境下足以保证测量的准确性。但在外界温度不断改变的暂态温度场下，由于传热特性导致晶体表面温度与内部光路温度存在差值，仅利用表面温度数据也会对OVS 的温度补偿产生较大误差影响，因此建立晶体内外温度联系成为亟待解决的问题。文献［14］是在考虑第二类和第三类边界条件下构建Nd∶YAG 激光晶体的温度场模型，虽然本文中的晶体种类和边界条件与文献［14］有所不同，但也有相应的借鉴意义。

本文提出一种基于温度场分析与双卡尔曼滤波参数估计的温度补偿方法。首先建立锗酸铋（Bismuth Germanium， BGO）晶体的暂态温度场模型，再通过卡尔曼滤波（Kalman Filtering， KF）算法对晶体内部温度实现准确估计，从而得到准确的温度变化量参数。然后使用中心差分卡尔曼滤波（Central Differential Kalman Filtering， CDKF）算法实现对初始温度下晶体折射率n0的准确估计。最后将这两个修正参数结合传感器输出信号高频分量计算被测电压，实现温度补偿，从而提高传感器的测量精度与准确性。

1 光学电压传感器工作原理

横向调制光学电压传感器中的通光方向与外加电场方向相互垂直。整体结构主要由光源、起偏器、λ/4波片、电光晶体、检偏器以及后续的信号处理系统等组成，如图1。入射到电光晶体表面的线偏振光在晶体内产生双折射，相位差与外加电压成正比，如式（1）。通过测量双折射相位延迟即可计算传感器外加电压。

图1 横向调制OVS 原理Fig.1 Schematic of horizontal modulation OVS

式中，δ为双折射相位差，n0为晶体折射率，γ41为电光系数，l为晶体通光方向长度，U为外加电压，λ'为入射光波长，d为晶体在外加电场方向上的长度。

由于双折射相位差δ直接测量难度较高，往往采用偏光干涉法将相位调制转化为强度调制，在起偏器与晶体内光的偏振方向夹角为45o时，得到最大偏光干涉输出为［15］

由于式（2）代入式（1）得到的系统响应非线性，通过光偏置法利用λ/4 波片增加π/2 的相位偏移，简化后结果为

式中，Io为出射光强，Ii为入射光强。当δ远小于1 时即可得到线性响应，如式（3）［15］。再利用线性响应方程通过测量光强计算双折射相位差δ，代入式（1）最终得出被测电压U。

本课题组在文献［11］中对同时受到电场、温度场、应力场等多物理场作用下的光学电压传感器输出特性进行了建模与分析。在图2 所示的OVS 传感头剖面图中，以传感器通光方向为基轴之一（如图2 中z方向）建立坐标系。考虑到外界温度变化导致晶体产生热胀冷缩，BGO 晶体在图2 所示的槽位中由于外壳的约束产生热应力，使得以BGO 晶体为传感单元核心的光学电压传感器受到包括电光效应、热光效应、弹光效应等的共同影响。偏振光在沿晶体通光方向传播产生的相位延迟为［12］

图2 OVS 传感头内部结构剖面Fig.2 Internal structure section of OVS sensing head

式中，p11、p12、p44为BGO 晶体的弹光系数，σ为BGO 晶体在外界温度变化下受到的热应力，E为外加电压在晶体内产生的电场强度。

式（4）中晶体折射率n0会受到温度影响，同时由于外界温度变化导致晶体产生热膨胀效应，晶体通光方向长度l以及在外界约束下受到的热应力σ也会随着温度的改变而发生变化。在式（4）的基础上，综合考虑温度对式（4）中参数产生的影响，并进行后续补偿研究。

2 OVS 暂态温度场与状态估计模型

2.1 BGO 晶体热模型及边界条件

考虑温度影响时首先要建立BGO 晶体内部暂态温度场模型以求取内部通光光路实际温度。光学电压传感器中使用的BGO 晶体形状为长方体，图3 为BGO 晶体的热模型图，其中通光方向设定为z轴。晶体暴露在大气环境中，外界气温变化使晶体内部产生温度梯度，且晶体各表面均符合热力学第三类边界条件。在构建温度场时还要考虑入射光在晶体内衰减的能量，这部分能量可以近似看做晶体的内热源，而文献［16］中提到BGO 晶体对光的吸收系数极小，相对应的光强衰减也极小，所以晶体的内热源可视作近似为零。

图3 BGO 晶体热模型Fig.3 BGO crystal thermal model

由于BGO 晶体为各向同性介质［15］，并且内热源近似为零，则晶体内部的温度场热传导方程为

式中，ρ为晶体密度，Cp为晶体定压比热容，λ为晶体导热系数，T（x，y，z，t）为温度场的时空分布函数。

考虑到外界温度变化的不确定性，为了简化温度场函数解析解的计算，将空气温度变化设定为两个不同的阶段，如图4：阶段I 空气温度从初始温度T0以恒定速率v进行变化，在经过时间τ后，达到状态切换温度T1； 阶段II 从温度T1开始，外界温度保持恒定，但由于温度梯度的存在，晶体内部温度未在τ时刻温度同步变化到T1，在之后的一段时间仍会进行热传导过程，使晶体整体温度逐步逼近T1。

图4 外界温度变化示意Fig.4 Schematic of external temperature change

在不同阶段BGO 晶体均处于第三类边界条件之下，边界条件形式相同，如式（6）。

式中，h为BGO 晶体的表面对流换热系数，Tf为外界流体温度。不同阶段初始条件以及Tf的形式有所不同：阶段I 中Tf=T0+vt，初始条件为当t=0，T=T0；阶段II 中Tf=T1，初始条件为当t=τ，T=T（x，y，z，τ）。

2.2 BGO 晶体内部温度场函数模型构建

2.2.1 阶段I 温度场函数模型构建

利用半解析法［17］求解式（5），得到其在满足边界条件式（6）下的解析解为

式中，Cijk（t）为温度场中与时间有关的系数。β1i可通过MATLAB 求解超越方程式（8）求得，β2j、β3k将式（8）中的长度a替换成对应在y、z轴方向的长度b、c即可同理求解。

将式（7）代入热传导方程式（5），整理可得

式（10）中的β11、β21、β31均取超越方程式（8）的第一个数值解，u1可以通过式（11）计算得到

式中，A=h/λ，u2、u3将式（11）中的长度a换成对应在y、z轴方向的长度b、c即可同理求解。

将式（10）中右侧部分整体看作常数f，即可解得

式中，c为任意常数，可以通过初始条件求解。再代入式（7）即可得到阶段Ⅰ暂态温度场表达式，表示为

2.2.2 阶段Ⅱ温度场函数模型构建

在达到阶段Ⅱ之后外界温度不再发生变化，即v=0。按照阶段Ⅰ的解法f=0，无法求解温度场，所以如图5 所示重新定义坐标系［x'，y'，z'］，以晶体中心为坐标原点，以通光方向为z'轴，根据晶体温度场的对称性对温度场函数模型进行求解。

图5 阶段II 温度场坐标系定义Fig.5 Coordinate system definition of stage II temperature field

具体解法在文献［18］中有详细过程，不再赘述，将阶段Ⅱ温度场的函数模型整理可得

式中，θ0为状态转换时刻的过余温度，'分别取长宽高对应的超越方程的第一个解，Fo为傅里叶数。

2.3 BGO 晶体中心温度状态估计

2.2 节中的暂态温度场函数模型建立了晶体表面温度与中心温度的联系，可以通过测量晶体表面温度计算中心温度的数值，但这也对晶体表面温度的测量精度提出了很高的要求。为了使中心温度解析解与实际温度更加贴近，在暂态温度场的基础上，通过引入热路模型并结合卡尔曼滤波算法对晶体中心温度进行状态估计［19-21］。采用文献［20］提出的方法，以晶体体中心点为原点，整体热路模型如图6（a）。由于外部温度变化，以升温环境为例，热量沿各面垂直外表面方向向晶体中心传递，将其中一条传热支路径向n等分，如图6（a）中的红框所示支路，每个小单元都包含热容与热阻。由于电光晶体需要保持完整性，只能对晶体表面温度进行测量，所以此处采取与文献［20］中相同的处理方法，令n=1。此时沿BGO 晶体六个不同表面的热路汇总在一起，如图6（a）。考虑到晶体物理参数的对称性，沿晶体相对面延伸的两条热路参数完全相等，六条支路相互并联。各条支路的热容并联后相加成为一个整体热容C，数值上与晶体热容相等；晶体内传导热阻RC与外换热热阻RS串联构成一条支路上的热阻，六条支路的热阻相互并联即可得到最终简化模型中的总热阻R。

图6 BGO 晶体热路模型构建Fig.6 Construction of BGO crystal thermal circuit model

图中Tc表示晶体体中心点温度，Tf表示晶体外部空气温度，Ci（i=1，2，…，6）表示支路热容，RCj（j=1，2，…，6）表示由于晶体热传导产生的热阻，RSk（k=1，2，…，6）表示由于晶体表面对流换热产生的热阻。其计算公式为，其中LC表示沿传热方向的特征长度，A表示传热面的表面积。

将图6（a）中的热路进行简化整理，得到如图6（b）所示的简化热路模型。其中R、C是经过等效化简后的热阻与热容。在阶段I 情况下Tf=T0+vt；在阶段II 情况下Tf=T1。根据基尔霍夫电流定律推导可得BGO晶体热路模型的求解方程为

将式（15）进行离散化，构建出关于晶体内部中心温度的状态方程为

式中，Tk、Tk+1分别为第k、k+1 时刻晶体内部中心温度，Δt为第k、k+1 时刻的间隔，wk为系统噪声，符合高斯分布。

矩阵形式线性卡尔曼滤波流程可表示为

式中，xk、xk'分别为k时刻状态向量的估计值和一步预测值，Pk、Pk'分别为估计协方差矩阵和一步预测协方差矩阵，A、B、H分别为状态转换矩阵、系统控制矩阵、量测转换矩阵，uk为系统控制向量，Q、R分别为系统噪声协方差矩阵、量测噪声协方差矩阵，Kk为卡尔曼增益矩阵，I为单位矩阵。

按照式（17）的线性卡尔曼滤波计算流程，以BGO 晶体内部体中心点温度Tc为状态变量，以能通过直接测量得到的晶体表面中心点温度为量测变量，根据式（16）构建状态方程，根据式（13）、（14）构建不同阶段量测方程，表示为

式中，（x1，y1，z1）、（x0，y0，z0）分别为测量点和晶体中心点坐标，vk为量测噪声，符合高斯分布。通过式（16）、（18）可以看出温度估计模型是线性模型，为了解决线性模型精确估计问题并提高计算速度，引入卡尔曼滤波方法实现对晶体内部中心温度的状态估计，并以此修正表面测量温度计算式（4）中受到温度影响的参数。

2.4 BGO 晶体折射率状态估计

在不考虑光源扰动性的前提下，式（4）中受到温度影响的参数包括晶体长度l、晶体受到的热应力σ以及晶体折射率n0。其中晶体通光方向长度l在外界温度变化时会发生热膨胀效应；晶体在外界温度变化时所产生的热应力σ与热应变和晶体的物性参数有关。前两个参数可以直接构建其与温度变化量ΔT的关系，而对初始温度下的晶体折射率n0的求取则为本节研究的重点。

结合式（3）、（4）可得在多物理场下OVS 输出信号的低频分量Io-与高频分量Io～分别为

以图2 中坐标系进行分析，BGO 晶体承受的热应力σ与热应变ε关系可表示为

式中，εx、εy、εz分别为沿x、y、z的热应变，σx、σy、σz分别为沿x、y、z的热应力，E'为BGO 晶体杨氏模量，μ为BGO晶体泊松比，α'为BGO 晶体热膨胀系数，ΔT为温度变化量。

在图2 所示的OVS 传感头外壳的限制下，BGO 晶体只能沿通光方向z轴自由伸缩，在另外两个基轴方向受到外壳限制，得到εx=εy=0，σz=0，代入式（20）可得

晶体长度l在外界温度变化时发生热胀冷缩，其计算公式如（22），其中l0为初始长度。

由于σx=σy=2σ［12］，将式（21）、（22）代入式（19）可得

光学电压传感器的输出信号为交直流混合信号，经过高通滤波得到分离的低频与高频输出信号。由式（23）得到输出信号低频分量与初始折射率n0的非线性关系，其中温度变化量ΔT即为2.3 节状态估计得到的晶体中心温度的变化量。以式（23）中的低频分量Io-作为n0的量测方程，考虑到式（23）为非线性模型，第2.3 节中的卡尔曼滤波无法解决此类问题，故引入CDKF 算法对n0进行状态估计，同时CDKF 算法也能提高估计结果的精度。

CDKF 算法的具体流程如图7。

图7 中心差分卡尔曼滤波流程Fig.7 Flow of central differential Kalman filtering

先通过第一次状态估计得到晶体中心点实际温度变化量ΔT的准确值，再通过第二次状态估计得到初始温度下晶体折射率n0的准确值，结合式（23）中OVS 输出信号的高频分量Io～，得到被测电压U的补偿测量结果，最终实现对光学电压传感器的温度补偿。

3 仿真分析

3.1 仿真参数

通过BGO 晶体的温度场仿真验证2.2 节构建的暂态温度场的正确性。在对BGO 晶体进行温度场仿真时需要输入多个物性参数，考虑到物性参数本身也会受到温度变化的影响，根据文献［22］对各项物性参数进行拟合，得到其与温度的关系式，如图8。

图8 BGO 晶体物性参数温度拟合图Fig.8 Temperature fitting image of BGO crystal physical properties parameters

各物性参数拟合公式及评价指标如表1。

表1 物性参数拟合公式及评价指标Table 1 Fitting formula and evaluation index of physical properties parameters

文献中给出了BGO 晶体杨氏模量E'与温度的关系式以及其他参数的数值［23-26］，将BGO 晶体建模所需物性参数以及宏观尺度整理如式（24）及表2。

表2 模型参数Table 2 Model parameters

E'=1.082×1011-2.380×106T-4.647×104T2+76.8T3（24）

结合以上模型参数进行BGO 晶体的暂态温度场仿真。

3.2 BGO 晶体暂态温度场仿真结果

利用COMSOL 软件进行仿真，设置BGO 晶体与周围环境的初始温度为293.15 K，仿真场景设定为晶体外界大气温度以0.5 K/min 的速度持续上升，升温时间持续2 400 s，直至大气温度升温到313.15 K， 在2 400 s 外界温度达到313.15 K 后不再改变，然后持续运行至6 000 s。

在2 400 s 时BGO 晶体表面温度仿真图像如图9（a），内部温度仿真图像如图9（b）。

图9 BGO 晶体温度场仿真Fig.9 Simulation of BGO crystal temperature field

从图9 可以明显看出，在外界温度持续变化时，晶体各表面以及内部温度出现了明显的温度梯度，说明晶体表面温度与内部光路温度存在明显差异，验证了计算内部温度的必要性。

结合仿真结果对2.2 节构建的BGO 晶体暂态温度场解析表达式进行验证。选取BGO 晶体表面中心点以及晶体中心点分别进行仿真计算和解析计算的温度比较，结果如图10。

图10 BGO 晶体面中心点、体中心点模型计算与仿真对比Fig.10 Model calculation and simulation comparison of BGO crystal face center point and body center point

从图10 可以看出，通过半解析法构建的BGO 晶体暂态温度场模型式（13）、（14）与仿真计算结果非常吻合。表面中心点的温度相对误差在0.015%以内，体中心点的温度相对误差基本在0.02%以内，仅由于两段温度场的构建方法不同在状态转换点存在一定的相对误差阶跃。

为了验证理论模型建立的完整性，额外设定一个外界温度下降的温度环境：1）外界温度以0.75 K/min的速度从303.15 K 降低到273.15 K；2）外界温度保持273.15 K 持续1 h。由于探究性质与升温情况的相似性，以BGO 体中心点的解析式与仿真计算结果为例进行说明，如图11。在状态转换温度处由于解析式的改变，存在相对误差阶跃的情况下，整个过程的相对误差稳定在0.03%以内，解析式计算曲线与仿真计算曲线同样十分吻合。说明之前建立的BGO 晶体在两种不同温度阶段下的暂态温度场模型式（13）、（14）也适用于外界温度下降的情况，验证了该理论模型的正确性和完整性。后续仿真研究以升温情况为主进行论证说明。

图11 降温环境BGO 体中心点模型计算与仿真对比Fig.11 Cooling environment BGO body center point model calculation and simulation comparison

用BGO 晶体两个特殊位置点验证了2.2 节构建的暂态温度场模型的正确性。考虑到虽然在外加电压影响下入射光线在晶体中会产生双折射，但双折射角的数量级很小，所以直接以晶体通光方向的中心轴线作为通光光路进行近似，中心轴线如图12（a），并用中心轴线的模型计算结果与仿真结果对比验证暂态温度场模型的正确性。整条光路上各个位置的温度与时间变化曲线如图12（b）。

图12 BGO 晶体中心轴线各个位置温度-时间分布Fig.12 Temperature-time distribution at each position of the central axis of the BGO crystal

从图12（b）可以看出晶体中心轴线上各点的时间变化趋势保持一致，从中选出两条特别的曲线分别投影到坐标面。其中一条是体中心点的温度-时间曲线，与图10（b）相吻合；另外一条是在状态转换温度时刻（2 400 s）整条光路的温度分布图像，投影到温度-位置坐标面上可以明显看出呈边缘高、中间低的对称特性，符合热力学特征。图13 展示了晶体通光方向中心轴线在3.2 节设定的外界升温环境下的仿真计算结果与温度场模型计算结果的相对误差。

图13 通光光路解析式与仿真相对误差Fig.13 The analytical formula of the through optical path and the relative error of the simulation

如图13，在升温期间，暂态温度场模型对BGO 晶体中心轴线的温度计算结果与仿真结果十分吻合，相对误差控制在0.02%以内。综上，从仿真层面验证了2.2 节建立的暂态温度场模型式（13）、（14）的正确性，为后续实验研究提供了理论基础。

4 实验结果分析

本节主要在实验层面继续验证暂态温度场模型的正确性，并在此基础上使用晶体表面温度和传感器输出信号的测量数据，实现对晶体中心温度与初始温度下折射率n0的状态估计，最后结合式（23）中传感器输出信号的高频分量Io～计算被测电压U。

4.1 BGO 晶体暂态温度场测量验证实验

将5 mm×5 mm×10 mm 规格大小的BGO 晶体传感单元置于温度控制箱内，设置温度控制箱温度为20 ℃并保持1 h，以充分保证BGO 晶体的整体初始温度趋于一致。然后以0.5 ℃/min 的速率从20 ℃升温至40 ℃，升温过程持续40 min 左右，然后再将温度控制箱温度保持在40 ℃持续1 h。期间使用荧光光纤测温仪以BGO 晶体非通光方向表面中心点作为测温点，持续测量BGO 晶体在不同阶段下的温度变化情况。采样间隔设置为1 s，测温时间持续100 min，将测温结果汇总整理，与温度场模型计算结果进行对比，如图14（a）。相对误差如图14（b）。

图14 晶体表面中心点温度实测数据与温度场模型计算值对比Fig.14 Comparison of the measured data of the temperature of the center point of the crystal surface and the calculated value of the temperature field model

将图14（a）与图12（a）进行对比，可以看出在3.2 节设置的升温背景下，BGO 晶体表面中心点温度的实验量测数据与仿真及温度场模型计算结果相吻合。晶体表面中心点在升温过程的量测数据与模型计算结果相对误差整体在0.2 %以内，从实验层面证明了BGO 晶体暂态温度场模型的正确性。

4.2 BGO 晶体中心温度状态估计与分析

4.1 节中的表面中心点温度测量数据在部分时间点与模型计算结果相对误差较大。考虑到由于人为因素、仪器振动等对测量过程产生的影响，晶体各处实际温度不可能与暂态温度场模型的计算结果完全相同，并且测量数据存在大量噪声。直接利用晶体表面中心点量测数据代入暂态温度场模型求解的中心温度与实际中心点温度会产生明显误差。此时采用卡尔曼滤波算法对测量数据进行处理，利用式（16）作为状态方程，式（18）作为量测方程，对晶体体中心点温度进行状态估计。

图6 的热路模型中需要对热容、热阻两个参数进行辨识。其中热容C=mc，m为BGO 晶体质量，c为晶体比热容；热阻与BGO 晶体的导热系数与对流换热系数有关，不同的外界条件辨识结果不同。以3.2 节设置的升温条件进行辨识，结果如表3。

表3 热路模型参数Table 3 Thermal path model parameters

根据表3 的热路模型参数对晶体体中心点温度进行状态估计，结果如图15。

图15 BGO 晶体内部温度估计结果Fig.15 BGO crystal internal temperature estimation result

由图15 可知，在3.2 节设置的升温情况下，晶体中心温度的状态估计结果与直接用暂态温度场模型对该情景模拟计算的结果相吻合，也避免了将量测数据直接代入暂态温度场模型计算中心温度造成的误差。以晶体中心温度的估计结果与初始温度作差得到温度变化量ΔT用于后续折射率参数的估计和电压的补偿计算。

4.3 晶体折射率估计与电压补偿实验

给OVS 施加频率为50 Hz、幅值为3 kV 的工频电压。传感单元输出的光信号经过光电探测器变成与光强成正比的电信号，如图16。经过数据采集卡变成数字信号后接入计算机并使用LabVIEW 软件记录观察，数据采集卡的采样速率设定为10 kHz。

图16 光电探测器线性响应标定Fig.16 Photodetector linear response calibration

将传感器输出信号进行交直流分离，得到的低频、高频分量以及原始信号，如图17。

图17 升温环境下传感器输出信号交直流分量Fig.17 The AC and DC components of the sensor output signal in a heating environment

在3.2 节设置［20 ℃，40 ℃］升温背景下对图17 进行分析。图17（a）展示了传感器输出信号波形，仅截取能显示具体波形的部分时间跨度，去噪后的正弦波形未出现明显失真。图17（b）展示了低频分量在整个实验区间的变化，其变化趋势与晶体内部温度变化趋势基本吻合，能够明显看出外界温度变化对输出信号低频分量的影响。而传感器输出信号高频分量在升温过程中仅略有波动。

将4.2 节得到的温度变化量ΔT与图17（b）中低频分量的量测数据代入到式（23）构成折射率n0的量测方程，利用CDKF 算法对初始温度下的晶体折射率n0进行估计，结果如图18。

图18 折射率n0的CDKF 估计结果Fig.18 CDKF estimation results for refractive index n0

从图18 可以看出晶体折射率n0在估计初期存在很大的波动，经分析是由于晶体内部温度的状态估计值在实验初期结果扰动过大导致。考虑到状态估计结果的波动，以实验后1 000 s 稳定区间取平均值作为晶体未加电场时的折射率n0的状态估计结果。在初始温度为293.15 K，入射光波长为850 nm 的情况下，n0的估计结果为2.068 28，与文献［26］中的计算结果相对偏差为0.017 6 %。

最后将温度变化量ΔT、晶体折射率n0及图17（c）中高频分量的量测数据代入式（23）中的高频分量计算公式，得到补偿后的传感器测量电压U。在外加电压为3 kV 的情况下，补偿计算结果如表4。

表4 不同外界温度下电压补偿计算结果Table 4 Calculation results of voltage compensation at different external temperatures

与同平台下的反向传播神经网络（Back Propagation Neural Network， BPNN）补偿方法进行比较，结果如表5。

表5 同平台下不同温度补偿方法相对误差比较Table 5 Comparison of relative errors of different temperature compensation methods under the same platform

与文献［7］和文献［27］的补偿结果进行对比，结果如表6。

表6 不同平台不同温度补偿方法相对误差比较Table 6 Comparison of relative errors of different temperature compensation methods for different platforms

由表5 可知，BPNN 补偿方法在［20 ℃，40 ℃］范围内最大相对误差为0.96 %。相比之下，在同平台下所提出的温度补偿方法可以更大程度上减小温度漂移对传感器测量产生的影响。由表6 可知，相比于文献［7］和［27］，本文提出的温度补偿方法补偿结果更优。但考虑到不同实验平台实验条件和装置精度的不同，不应该对其中某种方法进行全盘否定，同时考虑到文献［7］、［27］提出的更偏向于硬件补偿方法，而本文更偏向于软件补偿方法，互相借鉴能有更大的研究空间。

4.4 OVS 温度补偿实验平台展示

为了研究光学电压传感器中BGO 晶体的暂态温度场以及进行被测电压温度补偿实验，搭建了传感器温度实验平台，如图19。实验平台包括电路与光路通道、一台可编程温控箱、一台电源控制箱、一台荧光光纤测温装置、一台高频变压器以及光电传感单元。通过光纤和导线分别连接光学电压传感器的光信号回路与电信号回路，通过荧光光纤测温仪对BGO 晶体非通光方向表面中心点进行温度测量，构成测温回路。

图19 光学电压传感器温度补偿实验平台设备Fig.19 Optical voltage sensor temperature compensation experimental platform equipment

图19 显示了光学电压传感器温度补偿实验平台的主要设备与部分连接情况，为了更加形象直观地展示整个实验平台，绘制了平台完整组装后的连接原理图，如图20。

图20 光学电压传感器温度补偿实验平台连接原理Fig.20 Optical voltage sensor temperature compensation experiment platform connection schematic

实验设备具体型号如表7。

表7 实验设备型号Table 7 Experimental equipment model

5 结论

在得到相位延迟δ的基础上，引入温度变化量ΔT进行修正。首先从理论上推导了BGO 晶体的暂态温度场模型，然后利用KF 实现对晶体中心温度的状态估计，从而得到温度变化量的准确数据，再利用CDKF实现对初始温度下晶体折射率n0的状态估计。最后将这两个修正参数代入传感器输出信号高频分量Io～计算被测电压，实现温度补偿。

为验证理论分析的正确性，在温度响应特性实验平台基础上增加了测温回路并进行实验。实验结果表明，外界温度在［20 ℃，40 ℃］范围内以0.5 ℃/min 的速率升高，暂态温度场模型计算结果与实验测量温度的误差在0.2%以内，与仿真结果的误差在0.02%以内。而补偿后的被测电压与标定电压的相对误差小于0.52%，补偿效果优于同平台下BPNN 补偿方法以及不同平台下的多种补偿方法。证明提出的基于温度场与双卡尔曼滤波参数估计的温度补偿方法在光学电压传感器温度补偿方面具有一定的应用价值。但在研究过程中没有考虑光源的波动性以及光在晶体中的能量损耗，还需进行更进一步的研究。