风控热晕下复合贝塞尔高斯光束的模式串扰

丁洲林，于永吉，李晓庆

（1 长春理工大学 物理学院 吉林省固体激光技术与应用重点实验室，长春 130022）（2 四川师范大学 物理与电子工程学院，成都 610068）

0 引言

贝塞尔高斯（Bessel-Gaussian， BG）光束在定向能、自由空间光通信、光学操纵、激光加工等方面的应用有重要价值［1-4］。BG 光束在一定距离内具有无衍射特性和自重建特性［5］。目前，已经有多种产生BG 光束的实验方法，如环缝-透镜法、轴棱锥法、全息法、光栅阵列法等［6-9］。不同角量子数的BG 光束彼此正交，通过多路复用可以拓展光束传输信息的信道［10-11］。复合贝塞尔高斯（composite Bessel-Gaussian， cBG）光束是由多个不同角量子数的BG 子光束同轴相干复用而成。大量学者研究了单模BG 光束和cBG 光束在大气中的传输特性［12-13］。单模BG 光束在大气湍流中会发生轨道角动量谱展宽现象，主模式的能量权重降低，同时产生其他模式分量［14］。cBG 光束在增加信息传输通道的同时，还具有自重建特性，使得其受到激光大气工程应用的青睐［2］。当cBG 光束只含有两个BG 子束时，其平均光强分布具有对称性，角频率等于两个BG 子束的角量子数之差［15］。此外，如果cBG 光束的各个子束具有不同的径向波数，此时波包会随传输距离变化而旋转［16］。涡旋类光束在大气传输传输过程中会发生串扰［17］。对于复合的涡旋类光束而言，除了各个初始模式自身的串扰外，初始模式彼此间还会相互串扰［18-19］。

在定向能和深空光通信等激光大气工程应用中往往需要高功率激光［20-22］。当激光束的功率较高或者传输较远时，激光会与大气相互作用产生一种非线性效应，即热晕效应［23］。具体物理过程为：大气中的分子和气溶胶粒子会吸收激光而被加热膨胀，导致局部折射率减小，进而使激光束发生畸变和扩展，严重地降低了光束质量［24-26］。基于多层相位屏的数值计算方法是定量分析热晕效应的有效手段，该方法同时考虑了光束的衍射和热晕效应的时间尺度［27］。最新研究表明：热晕效应会使得涡旋光束发生严重畸变；通过对光束结构的优化设计能有效地减小热晕效应的影响［28-29］。我们同时考虑光场的衍射和时间尺度，分析了风控热晕下风速、传输距离、初始角量子数差值、径向波数差值等参数对cBG 光束大气传输的影响。由于热晕效应导致的光强和相位畸变，cBG 光束会发生模式串扰。提供了一种降低cBG 光束模式串扰的方法，即增大初始角量子数差值以及径向波数差值。所得结论对定向能和深空光通信等激光大气工程应用有重要意义。

1 理论模型

复合贝塞尔高斯（cBG）光束是由多个不同角量子数的BG 子光束同轴相干复用形成的光束。源平面（z=0）处的cBG 光束在直角坐标系下第m个BG 子束的光场定义为［15］

式中，φ=arctan(y x)，a为高斯轮廓的宽度，lm为初始角量子数。Jlm(·)是第一类贝塞尔函数，kr（m）是径向波数。振幅因子A的表达式为

式中，P是总功率，I lm(·)是第一类修正贝塞尔函数。相干复用后，cBG 光束总的光场为

连续激光束在有横向风的大气中传输时，可用式（3）描述光束在大气中的衍射和热晕特性［27］。

式（3）是标量波方程，用以描述光束在具有非均匀折射率的吸收介质中的传播，∇⊥2=∂2/∂x2+∂2/∂y2，n0和n是未扰动和扰动后的折射率，k=2π/λ是波数，λ是波长；式（4）是流体力学方程，用以描述介质吸收激光能量时，其密度的变化规律以及能量传输过程，ρ、cs、γ、α分别是扰动后的密度、声速、比热容比、大气吸收系数，总光强I定义为exp(-αz)；式（5）描述了等压近似下折射率与密度的关系，其中κ为Gladstone Dale 常数。

为了得到精确的仿真结果，必须考虑光场的衍射和热晕效应的时间尺度。因此，对标量波方程式（3）采用多层相屏法处理，相位屏之间的衍射通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform， FFT）处理。设Enm为z=zn处的解，则zn+1=zn+Δz处的解可写作

可以看出，光束从zn到zn+1的传输可以分为三个步骤：首先，各个子光场通过快速傅里叶变换实现Δz/2的真空传输；然后，计算出总光强导致的折射率波动以及相位变化；最后，各个子光场再次通过快速傅里叶变换实现Δz/2 的真空传输。

假设风速vx沿x轴正方向，对流体力学方程式（4）使用差分法进行处理，得到

将式（7）和式（5）结合，可以得到扰动后的折射率。最终，将光束的大气传输转换为光束通过多层相位屏的传输，而大气热晕效应对激光的扰动由相位屏来体现。基于以上方法，编制了cBG 光束大气传输的4 维模拟仿真程序。值得注意的是，为了计算cBG 光束中每个子束的轨道角动量谱，方程数值求解过程中需要考虑每个子束光场的详细信息，而不能只考虑总光场。因此，本文采用的方法是：相位屏之间的真空传输阶。由于热晕是非线性效应，就整个传输过程而言，各个子光束并非独立传输，而是相互作用的。

本文考虑具有两个BG 子束（m=1，2）的cBG 光束，无特殊说明情况下计算参数为：λ=1.064 μm，a=0.05 m，P=1 kW，γ=1.4，n0=1.000 313。波长为λ=1.064 μm 的激光主要受气溶胶粒子的吸收影响，本文设置其大气吸收系数为α=6.5×10-5m-1［32-33］。除了图5（b），其它数值仿真结果都是光束到达稳态热晕时得到的。本文选取了200 个相位屏，相位屏之间的间隔为30 m，网格的计算精度为512×512。段保留各个子光束的光场；当光强作用于相位屏时，采用总光强

2 cBG 光束的模式串扰

本节研究了热晕效应对cBG 光束大气传输的影响，考虑两个BG 子束——l1子束和l2子束具有相同的径向波数，kr（1）=kr（2）=150 m-1。cBG 光束的光强分布如图1 所示，z=6 km。在自由空间中，和单束的BG 光束具有圆对称的光强分布不同，cBG 光束的光强分布具有分瓣的结构，并且光斑的瓣数等于两个子束的角量子数之差（见图1 第1 列）。在横向风主导的热晕下，cBG 光束会发生光强畸变，并往来风方向偏移（见图1 第2、3 列）。介质的流速决定其能量输运的快慢，这使得风速较小时，传输过程中介质吸收激光的热量输运缓慢，热效应明显，光束受热晕效应影响较强。因此vx=2 m/s 时的光强畸变大于vx=5 m/s 时的光强畸变（见图1 第2、3 列）。

图1 cBG 光束的光强分布Fig.1 Intensity distributions of the cBG beams

图2 为cBG 光束的相位分布图，z=6 km。不难发现，与自由空间相比，大气中光束的相位发生了畸变。此外，cBG 光束具有相位奇点，满足完全相干光的相位奇点方程［30］为总光场，Re [·]为光场的实部，Im [·]为光场的虚部，即光场实部和虚部均为零的位置定义为奇点。利用式（8），找到了光束的相位奇点（不考虑远离光斑位置的相位奇点），在图2 中用红点标注。在自由空间中，单束的BG 光束的相位奇点位于光束中心，而cBG 光束有多个相位奇点，并且呈中心对称分

图2 cBG 光束的相位分布Fig.2 Phase distributions of the cBG beams

式中布（见图2 第1 列）。在大气中，由于热晕效应会导致介质的横截面上折射率分布不再具有圆对称性，使得cBG 光束的相位奇点位置不再呈中心对称分布，并且有向右（顺风方向）移动的趋势（见图2 第2、3 列）。

由于热晕效应，cBG 光束的光强和相位都发生了畸变，这将使得轨道角动量谱发生展宽现象。为了分析cBG 光束在热晕效应下的轨道角动量谱展宽，将cBG 光束的两个子束按螺旋谐波展开为［14］

式中，l为不同模式的角量子数，Ul(r，z)采用积分方法表示为

角量子数为l的模式的能量el表述为

cBG 光束在大气中传输的轨道角动量谱如图3 所示，z=6 km。从图3（a）可以看到，在自由空间中，cBG光束只存在初始的两个模式。从图3（b）（c）可以看出：由于热晕效应，cBG 光束在大气中会发生轨道角动量谱展宽，其初始模式的能量权重降低了，轨道角动量分散在了其它模式上，即发生了初始模式自身的串扰。除此之外，由于cBG 光束具有多个初始模式，初始模式彼此间还会相互串扰。光束在接收处的解复用过程中，可以引入与初始模式相反的涡旋相位，再利用小孔光阑滤掉除初始模式外的其它模式，但最终仍存在初始模式间的相互干扰［31］。基于此，本文所指的模式串扰为初始模式间的相互串扰。如图3（c）中，两个初始模式（-1，1）之间的能量会相互转移，产生模式串扰。对于-1 模式而言，其自身能量占84%，串扰能量占16%。1 模式的自身能量占84%，串扰能量占16%，可见-1 模式和1 模式的轨道角动量谱分布具有对称性。对比图3（c）和图3（d）可知：当初始角量子数差值较小时（见图3（c）），cBG 光束两个初始模式间相互转移的能量较多，模式串扰明显；当初始角量子数差值较大时（见图3（d）），cBG 光束初始模式间相互转移的能量很少，模式串扰程度非常小。对比图3（b）和图3（c），发现：vx=5 m/s 时的模式串扰程度要小于vx=2 m/s 时的模式串扰程度。这是由于在风速较大的情况下，传输过程中的热效应较弱，光束受热晕影响导致的模式串扰也就较小。我们还考虑了两个子束非相干复用的情况（图3（e）和图3（f）），此时模拟过程中的总光强为exp(-αz)。图3（e）中，1 模式的自身能量占89%，串扰能量占11%；-1 模式的自身能量占89%，串扰能量占11%。当初始角量子数差值较大时（见图3（f）），非相干子束间的模式串扰程度非常小。对比图3（c）和图3（e），发现非相干复用的模式串扰程度比相干复用的小。其原因是非相干合束比相干合束受热晕效应更小［34］。此外，与湍流作用下的轨道角动量谱［14］不同的是，光束在风控热晕下的轨道角动量谱不再是关于初始模式的对称分布。

图3 轨道角动量谱Fig.3 Orbital angular momentum spectrum

为了更好地分析cBG 光束的模式串扰，采用相对串扰能量clm来描述串扰的强弱［35］

clm越大，串扰能量所占的比重越大，光束的模式串扰越强。图4 为大气中l1子束的相对串扰能量cl1随l2子束的初始角量子数的变化，l1=-1。由图4 可知：当l2=-2 和l2=0 的时候，即初始角量子数差值|l2-l1|最小时，cl1最大，此时的模式串扰最强；随着|l2-l1|的增大，cl1减小，模式串扰减弱。因此，增大初始角量子数差值可以降低初始模式间的串扰。

图4 大气中相对串扰能量cl1 随初始角量子数l2的变化，vx=2m/sFig.4 The relative crosstalk energy cl1 in the atmosphere varies with the initial angular quantum number l2， vx=2m/s

图5 给出了大气中cBG 光束相对串扰能量clm随传输距离z和时间t的变化。从图5（a）不难看出，随传输距离的增加，clm不断增大，模式串扰增强。这是由于光束传输的越远，热晕效应导致的光束畸变越大，光束的模式串扰也越强。图5（b）中，随着时间的增加，clm逐渐增大，并且最终趋近于一个稳定值。这是因为，随着大气中的分子和气溶胶粒子吸收激光的时间的增加，光束逐渐发生畸变，使得clm变大。直到介质对激光能量的吸收与横向风导致的能量传输达到平衡时，热晕效应到达稳态，clm不再随时间变化。

图5 大气中相对串扰能量clm，vx=2m/sFig.5 The relative crosstalk energy clm， vx=2m/s

3 旋转cBG 光束的模式串扰

通常cBG 光束是由相同径向波数的BG 子束复用而成，正如第2 节所讨论的情况。旋转cBG 光束是由两束具有不同径向波数和角量子数的BG 子光束同轴相干复用形成的光束，该光束的波包会随传输距离变化而旋转（如图6 所示），其旋转周期与径向波数的差值呈反比［16］。本节研究了热晕效应对旋转cBG 光束的影响，l1=-1，l2=-2。

图6 自由空间中旋转cBG 光束的光强分布，kr（1）=150 m-1，kr（2）=200 m-1Fig.6 Intensity distributions of the rotating cBG beam in free space， kr（1）=150 m-1， kr（2）=200 m-1

大气中旋转cBG 光束和非旋转cBG 光束不同位置处的光强分布如图7 所示，vx=2 m/s。不难看出，旋转cBG 光束的光强分布比非旋转cBG 光束更均匀。其物理原因是：在风控热晕效应下，横向风会抑制光束在风方向的光斑扩展，而垂直于风方向光斑扩展明显。对于旋转cBG 光束而言，光束的旋转特性使其在随传输距离变化的过程中，四周都能得到均匀的扩展，因此光斑会比非旋转cBG 光束更均匀。

图7 大气中的光强分布Fig.7 Intensity distributions in the atmosphere

图8 为旋转cBG 光束和非旋转cBG 光束在大气中的轨道角动量谱，z=6 km。由图8 可知：在热晕效应下，非旋转cBG 光束和旋转cBG 光束都有明显的轨道角动量谱展宽；对于非旋转cBG 光束，-1 模式的串扰能量占52%，-2 模式的串扰能量占64%，存在较强的模式串扰；对于旋转cBG 光束，-1 模式的串扰能量占33%，-2 模式的串扰能量占32%，光束的模式串扰得到了一定的改善。原因是旋转cBG 光束在传输路径上光强分布更均匀，使得介质横截面上因吸收光束能量导致的折射率梯度更小，光束的畸变也就更小。

图8 大气中的轨道角动量谱Fig.8 Orbital angular momentum spectrum in the atmosphere

大气中旋转cBG 光束的l1子束的相对串扰能量cl1随传输距离z的变化如图9 所示。可以看出，非旋转cBG 光束（对应图9 中kr（1）=kr（2）=150 m-1的情况）的cl1最大，模式串扰最强。也就是说，旋转cBG 光束在热晕效应下的模式串扰比非旋转cBG 光束小。此外，径向波数差值|kr(2)-kr(1)|越大，cl1越小，光束的模式串扰越弱。因此，增大径向波数差值可以降低模式串扰。此外，对比kr（2）=200 m-1以及kr（2）=100 m-1（或kr（2）=250 m-1以及kr（2）=50 m-1），尽管径向波数差值|kr(2)-kr(1)|相同，模式串扰减弱的程度却不相同。原因是：径向波数的增加会使得振幅因子A增加，峰值光强变大；这将进一步使得热晕效应增强，造成更强的模式串扰。

图9 大气中旋转cBG 光束的相对串扰能量cl1 随传输距离z 的变化，kr（1）=150 m-1Fig.9 The relative crosstalk energy cl1 of the rotating cBG beams in the atmosphere varies with the propagation distance z， kr（1）=150 m-1

4 结论

本文同时考虑了光场的衍射和热晕效应的时间尺度，采用多层相屏法和快速傅里叶法数值变换求解热晕方程。对cBG 光束在风控热晕下的轨道角动量谱进行分析，发现光束初始模式之间的能量会相互转移，产生模式串扰。随着传输距离的增大或者风速的减小，cBG 光束的模式串扰增强。初始角量子数差值较大的cBG 光束，其相对串扰能量较小，受热晕效应影响导致的模式串扰较弱。此外，cBG 光束的相对串扰能量随时间逐渐增大；直到介质对激光能量的吸收与横向风导致的能量传输达到平衡时，热晕效应到达稳态，相对串扰能量不再随时间变化。还研究了风控热晕效应对旋转cBG 光束的影响。旋转cBG 光束比非旋转cBG 光束光强分布更均匀，模式串扰更小。并且，旋转cBG 光束的模式串扰程度随着径向波数差值的增大而减弱。本文所得结论对BG 光束在定向能和空间光通信等激光大气工程方面的应用有重要意义。还需指出的是，激光大气传输是一个非常复杂的问题，为了更方便的分析热晕效应对cBG 光束模式串扰的影响，我们暂时没有考虑大气的湍流效应。这意味着本文的研究结果更为接近于湍流效应较弱的情况。热晕和湍流的综合效应对cBG 光束模式串扰的影响是值得进一步研究的课题，我们将在后续的研究中深入探讨。