声波导单模光纤中后向受激布里渊散射的声模分析*

冯云龙 侯尚林 雷景丽 武刚 晏祖勇

(兰州理工大学理学院,兰州 730050)

本文推导了单模光纤中的声波亥姆霍兹方程,利用分离变量法求解并获得正规声波导导模的特征方程,定义了声模的归一化频率,结合贝塞尔函数的宗量近似分析了声波模式的特征值范围、截止频率和远离截止,探讨了声模的色散和布里渊增益谱的多峰成因.研究结果表明单模光纤中纵向声波基模L01 模无截止,主要被限制在纤芯中,与光基模耦合形成布里渊增益谱的主峰;高阶声模都存在低频截止,在包层分布比基模多,与LP01 模耦合形成布里渊增益谱的次峰.只有纵向L0n 声模对后向布里渊增益谱有贡献,纤芯掺锗浓度增大能使布里渊增益谱发生红移,声模数量增多,L01 模的增益峰值逐渐变大而高阶模的贡献减小.泵浦波长为1.55 μm,纤芯掺锗浓度3.65%、纤芯半径4.2 μm 的单模光纤存在4 个L0n 和16 个Lmn (m ＞ 0)声模,声模L01,L03,L04 与光模LP01 声光耦合产生布里渊增益谱的1 个主峰和2 个弱峰;纤芯掺锗浓度15%,纤芯半径1.3 μm 的单模光纤存在3 个L0n 模和7 个Lmn (m ＞ 0)模,L01,L02,L03 模与LP01 模声光耦合使得布里渊增益谱呈现3 个主峰.这些结论可以完全解释相应的实验现象,也为光纤SBS 声波导研究及应用提供理论参考.

1 引言

受激布里渊散射(stimulated Brillouin scattering,SBS)是一种典型的三阶非弹性散射.由于泵浦光使介质电致伸缩产生弹性声波,声波周期性地调制介质折射率而形成运动光栅,光栅散射的光波形成频率下移的斯托克斯波.光纤中的SBS 包括后向受激布里渊散射(backward SBS,BSBS)和前向受激布里渊散射(forward SBS,FSBS),也称为声波导布里渊散射(guided acoustic wave Brillouin scattering,GAWBS).由于光纤中的SBS 具有低阈值、不受波长限制、布里渊增益线宽窄、声光相互作用区长等特点,因而在高精度和高分辨率的温度和应变传感[1,2]、窄线宽激光器[3]、快慢光[4]、脉冲压缩[5]等领域具有广泛的应用前景.

光纤既可以是光学波导,也可以是声学波导.光纤中的SBS 主要决定于泵浦光与声波的重叠与耦合.当光波和声波的重叠较多时,SBS 过程将被有效地激发和增强;相反,声光重叠较少会导致SBS减弱甚至无法被观察到.因此,光纤声波导中的声学模式的产生、存在条件及分布对研究SBS 特性是至关重要的.光纤中掺杂稀土离子会改变声速[6].因此可以在包层和纤芯中掺杂不同浓度或类型的稀土离子以改变声学波导结构.

研究表明在声波导光纤中可以传播径向Rmn声模、扭转-径向TRmn声模和纵向Lmn声模[7],而且不同类型的声模与光模相互作用产生不同的SBS,如光学模式和纵向Lmn声模耦合形成BSBS;光学模式和径向R2n声模或扭转-径向TR2n声模耦合形成FSBS.1985 年,Shelby等[8]证明了声波导光纤中FSBS 声波可以在光纤横截面振荡形成驻波,形成的声模为径向R0n模和扭转-径向TR2n模.1989 年,Shibata等[9]在理论和实验上表明纤芯掺锗石英单模光纤的BSBS 是由光模LP01模和纵向声学模Lmn模相互作用产生,而且声波能量主要分布在纤芯中.2009 年,Tartara等[10]采用有限元法对反声波导单模光纤进行全模态分析,发现低阶声模能量主要存在于包层中,而高阶声模能量集中在纤芯,并与光场有较大的空间重叠.2013 年,Christopher等[11]通过求解声波方程分析了声学导模、泄漏模在光波导中对BSBS 增益的影响,但并未分析导模的截止条件与色散情况.2018 年,Xing等[12]提出了一种基于单模光纤BSBS 的多个声模实现多参数光纤传感器,实验成功实现了温度和应变的鉴别传感并且温度和应变精度分别为0.98 ℃和19.6 με,但文中并未解释多个声模存在的理论原因.2023 年,Tsvetkov 和Likhachev[13]理论研究了硅基光纤中纤芯同时掺P2O5和F 对布里渊增益的影响,通过调整掺杂浓度可实现单模光纤中高的声学折射率,有效地激发了BSBS 过程中声学模式并产生了宽波段的多峰布里渊增益谱(Brillouin gain spectrum,BGS),而且研究发现BGS 的最大值与声模数量成负相关.2023 年,Huang等[14]综述了光纤中抑制BSBS 的关键技术,提出通过横向设计光纤掺杂浓度、类型和波导结构减少光学基场与声模之间的重叠因子、增大光纤的有效模场面积,或者纵向串联不同的光纤都可提高布里渊阈值进而抑制BSBS.2023 年,He等[15]利用有限元法分析了纤芯掺锗和掺铝两种单模光纤的声场分布以及对布里渊阈值的影响,但并未解释声模的存在数量以及存在条件.通过充分的文献调研可知,目前还没有文献报道过光纤作为声波导在BSBS 中形成的正规声模的截止状态与远离截止情形,以及用声学归一化频率判断与光模满足相位匹配条件的声模数量的方法,用声光耦合解释BSBS 增益谱多峰结构的物理本质等内容.

本文从单模光纤中声光相互作用的物质方程出发,推导了声波亥姆霍兹方程,分析了BSBS 中声波模式分布和特征方程(声波色散方程),引入了声模的归一化频率,讨论了声波模式的截止和数量,研究了光纤中的声光耦合及对BSBS 性能的影响,计算并分析了两种单模光纤的全声模态的布里渊频移(Brillouin frequency shift,BFS)、声模模场分布以及多峰BGS,理论分析结果与已报道的实验结论符合得非常好.本文的研究结果揭示了光纤中的BSBS 现象的物理本质,并对光纤中BSBS在传感等领域的应用提供理论参考.

2 理论分析

2.1 光纤中声模和光模特征方程

简单起见,采用阶跃型石英单模光纤为研究对象.光纤中BSBS 声光相互作用的物质方程为[16]

式中,t表示时间,ρ表示相对于材料密度ρ0变化量,Γ表示阻尼因子,vl(r) 表示纵波声速,γ是电致伸缩系数,∇2为Laplace 算子.电场强度E满足[16]:

式中ez和e-z是光波前向传播的和后向传播的单位矢量,Aj(z,t)(j=p,s) 是泵浦光和斯托克斯光场的慢变振幅,βj,ωj为光波的传播常数和角频率,c.c 是复共轭.f(r,θ) 为线偏振模的光场二维分布,满足二维波动方程[17]:

由边界条件可得特征方程为[18]

其中ωa为声波角频率,βa为声波的传播常数,M是ρ未扰动时(γ=0,Γ=0 )的声模个数,ξm(r,θ)是振幅为(z,t) 的声模二维空间分布,并满足以下声波亥姆霍兹方程[16]:

式中vl,1为纤芯纵波声速,vl,2为包层纵波声速.(13)式的解具有沿圆周方向驻波状态的变化形式,即

对于石英光纤,引入声学折射率的概念,定义纤芯声折射率na,1=/vl,1,包层声折射率na,2=/vl,2,其中为二氧化硅的纵向声速.因此(17)式可写为

根据Crammer 法则,可得到其特征方程:

其中m阶LHX(Ua)和RHX(Ua) 函数的交点横坐标即为Lmn声模的特征值.由于BSBS中βa=2βo[19],所以vl,1βa＜ωa＜vl,2βa,即

定义有效声速[3]va,eff=ωa/βa和有效声折射率[19]na,eff=/va,eff,假设声波以 exp(-ΓBt) 衰减,BGS会呈现Lorentz 线型[20],即:

式中,f为声频率,下标i表示声模阶数,no,eff为光模的 有效折射率,满足no,eff=βo,eff/k0,p12为纵向弹光系数,c为真空中的光速,ΔfB为布里渊增益线宽,gP为布里渊增益系数,Aao为声光有效面积,是表征光纤中光模与声模间SBS 相对强度的重要参数,可表示为[16]

光模的有效模场面积Aeff可表示为[21]

声光重叠因子I满足[10]:

反映了BSBS 过程的散射效率,其值越接近1 则表明声模的散射效率越强.(29)式需要利用(5)式和(25)式在纤芯、(6)式和(26)式在包层中分区间积分.如果光纤中声模的阶数m＞0 时,角向变量cos(mθ)或sin(mθ)对θ在0到2π 的积分则为0,这将导致声光重叠因子为0,所以单模光纤中只有L0n模对BGS 有贡献,即在BSBS 过程中声模必须满足m=0 .这与文献[3]研究结论相符.

2.2 截止条件和远离截止情形

在特征方程(21)式中令Wa→0 可以得到声模的截止条件,即ωa=vl,2βa是声模截止的临界状态.

1) 当截止时,Wa→0,(21)式右边为

特征方程变为

定义截止函数:

2)当远离截止时,Wa→∞,(21)式右边为

特征方程变为

定义远离截止函数:

Lmn模的Ua应介于m阶C1(Ua) 的零点和m阶C2(Ua) 的零点之间.相比于目前运用有限元法[10,22,23]求解BSBS 的声学模式以及分析BGS,其难以解释光纤中光场激发的声模种类、数量以及截止特性,本文通过定义声模的归一化频率并结合声模的截止条件与远离截止情形可有效解决上述问题.声模的归一化频率可分析光纤中的正规声模的存在和截止,此方法相较于以往工作[22,23]更能揭示光纤中BSBS 的声光耦合现象.

2.3 纤芯掺锗浓度对声速和密度影响

石英单模光纤通常在纤芯掺锗提高折射率,其也可以改变声速和介质密度.纤芯纵向声速vl,1和密度ρ0随锗浓度ωGeO2(摩尔分数)变化如下[24]:

而当泵浦波长为 1.55 μm 时,折射率no,1和布里渊线宽 ΔfB随锗浓度变化如下[24]:

3 数值模拟结果与讨论

3.1 声模分布及色散

由特征方程(21)式可知,Lmn模的Ua应介于C1(Ua)=Ua[Jm-1(Ua)-Jm+1(Ua)]+2mJm(Ua)的零点和C2(Ua)=Jm(Ua) 的零点之间.图1 表示m=0 (L0n模)和m=1(L1n模)的Ua取值范围,其中蓝色曲线为声模的截止函数曲线,红色曲线为声模的远离截止函数曲线.由图1 可见L01模的Ua＜2.4048,类似于LP01模,称为声学基模.次高阶模L11模满足2.4048＜Ua＜3.8317.当Va＜2.4048 时,L11模截止,此时只存在L01模.当Va分别大于3.8317,7.0156 和10.1735 时,L02,L03和L04声模被激发,高阶声模与光波耦合致使BGS 呈现多个增益峰.

图1 (a) L0n 模;(b) L1n 模的Ua 取值范围Fig.1.The Ua value range of (a) L0n mode and (b) L1n mode.

当Wa=0 时,声模被截止,此时Ua=Va.图2为Ua=f(Va)以及na,eff=f(Va)的色散曲线.可见Ua随着Va的增大而增大,并且变化率逐渐减小,模式趋向于远离截止状态.na,eff随着Va的增大而非线性增大,而当Va减小时声模的有效声折射率趋向于包层的声折射率,声模的相速度增大趋向于包层声速,当二者相等时对应的Va即为声学导模的截止点.声场基模L01模表现出“无截止传输特性”,这与图1 的结论一致.L11模、L21模、L02模和L31模等高阶模的截止频率Va依次为2.4048,3.8317,5.1356······由图2(b)可 见,L21模和L02模的截止点相同,但二者并不是简并模式.

图2 声模色散曲线 (a) Ua与Va 的关系;(b) na,eff与Va 的关系Fig.2.Dispersion curve of acoustic mode:(a) Ua=f(Va) ;(b) na,eff=f(Va) .

图3 为纤芯半径取4.1—4.5 μm,纤芯掺锗浓度从0.4%—4%时的Va和Vo变化曲线.由图3可见,当纤芯半径不变时,二者都随着掺锗浓度的增大而增大.这是因为纤芯掺锗浓度的增大,增大了纤芯和包层的相对折射率差和声速比vl,2/vl,1,因而增大了归一化频率Vo、传播常数βo以及Va.由于Vo＜ 2.4048,光纤为单模传输,而声学L0n模数量最多为4 个.光纤的纤芯半径取4.5 μm 时,在保持单模传输的条件下,当ωGeO2≤0.3% 时仅存在L01模;当 0.4%≤ωGeO2≤1.1% 时存在L01模和L02模;当 1.2%≤ωGeO2≤2.4% 时存在L01模、L02模和L03模;当 2.5%≤ωGeO2≤4% 时存在L01模、L02模、L03模和L04模.

图3 Va和Vo 随掺锗浓度的变化Fig.3.Variation of Va and Vo with germanium doped concentration.

单模光纤的BSBS 过程中是光学基模与不同声模之间发生的相互作用,因此BGS 中将出现一个或多个中心频率和强度不同的增益峰[25],而掺锗浓度在改变声模数量的同时进而影响BGS.由掺杂(38)式和(40)式可分别得到不同掺锗浓度下的纤芯声速和纤芯折射率,根据光纤的折射率和纵向声速分布求解给定纤芯半径的光模和声模特征方程(7)式和(21)式,可得到LP01模的no,eff和L0n模的BFS,并由(28)式和(29)式得到布里渊增益系数gP和声光有效面积Aao,进而得到光纤的BGS.当纤芯半径为4.5 μm 时,BGS 随纤芯掺锗浓度从1%每隔0.5%增大到4%时的计算结果如图4 所示.可见BGS 随着掺锗浓度的增大而出现红移,并且L01模的增益峰值逐渐变大;当掺锗浓度分别大于1.5%和2.5%时,L03模和L04模的增益峰出现且增益峰值不断变小.由于单模光纤中的SBS主要由L01模散射LP01模,而增大掺锗浓度使得纤芯折射率增大、纵向声速减小,LP01模和L01模被强烈地限制在纤芯中导致声光重叠增强,所以增益峰值变大,而高阶模分布在纤芯和包层中,他们的增益峰值比较小.

图4 布里渊增益谱随掺锗浓度变化曲线Fig.4.BGS variation curves with germanium doped concentration.

3.2 布里渊频移及多峰布里渊增益谱分析

根据文献[22,23],模拟单模光纤参数如表1所示,根据以上理论进行模拟,并和实验结果相比较以验证上述理论的正确性.分别按照两种光纤的参数,首先求解(7)式得到光场的Uo传播常数βo,然后代入(21)式可以求得声模的Ua以及BFS.

表1 光纤参数Table 1.Optical fiber parameters of two kinds of fiber.

Fiber 1 的纤芯掺杂浓度为3.65%,纤芯半径为4.2 μm,可计算得到归一化频率Vo=2.1368 ＜2.4048,满足单模传输条件.声波L0n模Ua的分布如图5(a)所示,LHX(Ua)和RHX(Ua) 有4 个交点.由于Fiber1的Va=11.7081 ＜ 13.3237,因此L05模被截止,所以(21)式仅存在4 个特征值Ua,这与文献[22]实验研究结果相符合.图5(b)为L0n模和LP01模的归一化场分布.可见声波L01模和光波LP01模在整个光纤横截面随半径增大而衰减,但高阶L0n模在纤芯振荡、包层衰减,L01模和LP01模重叠区域最大,其声光有效面积Aao和有效模场面积Aeff分别为78.87 μm2和76.32 μm2,两者数值接近使得声光重叠因子I达到0.9668.由于高阶声模在纤芯振荡,它们和LP01模耦合作用比较弱.

图5 Fiber 1 的(a) L0n 模特征方程和(b)归一化场分布Fig.5.(a) L0n mode characteristic equation and (b) normalized field distribution of Fiber 1.

Fiber 1 的BGS如图6所示.可见BGS 有3 个增益峰,对应的BFS 分别为10.9244,11.0494,11.1576 GHz.这3 个峰分别由L01模、L03模、L04模与LP01模耦合产生,这与文献[22]研究结果相符合.由于L02模和L01模的BFS 差仅为45.0 MHz,并且其声光重叠因子I仅为0.0049,所以L02模并没有明显的增益峰,而L03模和L04模与光模耦合导致BGS 中呈现2 个增益弱峰.

图6 Fiber 1 的布里渊增益谱Fig.6.The BGS of Fiber 1.

Fiber 2 的纤芯掺杂浓度为15%,纤芯半径为1.3 μm,光场归一化频率Vo=1.3358 ＜ 2.4048,满足单模传输条件.L0n模Ua的分布如图7(a)所示,LHX(Ua)和RHX(Ua)仅有3 个交点,由 于Fiber 2的Va=7.8052 ＜ 10.1735,因此L04模被截止,所以仅存在3个Ua,这与文献[23]实验研究结果一致.L0n模和LP01模的归一化场分布如图7(b)所示,LP01的有效模场面积Aeff和L01模声光有效面积Aao分别为21.02 μm2和26.06 μm2,其声光重叠因子I达到0.8068,而高阶声模L02模和L03模与LP01模的声光重叠因子I分别为0.0436,0.0639.由图8 可见Fiber 2 的BGS 有3 个增益主峰,这与文献[23]研究结果相一致.L01模和LP01模耦合使得BGS 在10.0902 GHz 中呈现一个主峰,相邻峰值间布里渊差为381.9 和613.6 MHz.由于高阶模的布里渊增益较小,所以标准单模光纤往往不能运用于后向布里渊多参数传感,但可以灵活设计光纤的声波导结构以提高光模与高阶声模的声光重叠,从而扩展其的应用范围.

图7 Fiber 2 的(a) L0n 模特征方程和(b)归一化场分布Fig.7.(a) L0n mode characteristic equation and (b) normalized field distribution of Fiber 2.

当取m≥ 1 时,Fiber 1 和Fiber 2 特征方程分别还有16 个根和7 个根,即这2 种光纤中与泵浦波和斯托克斯波满足相位匹配条件的声模分别总共存在20 个和10 个.所有Lmn模的BFS 如表2所示,根据本文理论推导可得到单模光纤中高阶Lmn(m＞ 0) 模的声光重叠因子I为0,所以对BGS没有贡献.由于高阶模处于截止状态,因此可通过增大纤芯半径或减小纤芯声速诱导其出现.

表2 Fiber 1 和Fiber 2 的Lmn 模BFS (GHz)Table 2.BFS (GHz) of the Lmn modes in Fiber 1 and Fiber 2.

表3 为这2 种单模光纤的Aeff,Aao和I,以及文献[22,23]中实验结果和本文理论计算得到的BFS 和两者的相对误差.由表3 中可见本文计算结果与实验测量数据最小误差为0.0323%,最大为0.8087%,符合得非常好.误差的主要来源是实际制造过程中的精度影响,因为理论计算是按照理想的情况进行的,但这样的误差精度足够验证特征方程的正确性及声波归一化频率Va的适用广泛性.

表3 两种单模光纤的理论计算与实验结果比较Table 3.Comparison of experimental and theoretical calculation results of two single-mode optical fibers.

4 结论

光纤作为一种声学波导和光学波导,可以传播机械波和电磁波,本文在光波导传统线偏振模式理论的基础上理论推导了BSBS 声波方程的解析解及特征方程,通过对照光纤的归一化频率Vo定义了声模的归一化频率Va,通过Bessel 函数的宗量近似得到了声模的色散曲线,进一步根据特征方程计算了单模光纤的声模全模态BFS,研究了声模场分布以及多峰BGS,BFS 的理论与实验最大相对误差仅为0.8087%.色散曲线表明声场基模L01模没有低频截止,高阶声模的归一化频率Va从小到大依次为2.4048,3.8317,5.1356······,对应为L11模、L21模和L02模、L31模等等,此模型可以与光纤中的线偏振模式理论结合完整分析BSBS 中的正规声、光导模.单模光纤中仅有L0n模对BGS 有贡献,L01模在整个光纤横截面衰减,高阶L0n(n＞1)模在纤芯振荡、包层衰减.本文结论将为光纤BSBS声波导特性研究提供理论指导.