一元一次不等式（组）应用题赏析

王德义

一元一次不等式（组）在实际生活中的应用非常广泛．有关的应用题常见有以下两类：一类是通过求不等式（组）的解集解答问题，一类是通过求不等式（组）的特殊解解答问题.现采撷几道近年的中考题予以分析、总结，供同学们参考.

一、求解集解答实际问题

例1 （江西）小杰到食堂买饭，看到A、B两个窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站到A窗口的队伍后面．过了2 min，他发现A窗口每分钟有4人买好饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买好饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人．

（1）此时，若小杰继续在A窗口队伍排队，他到达窗口还需要花多长时间？（用含a的代数式表示）

（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口队伍排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）.

解：（1） ∵A窗口每分钟有4人买好饭离开队伍，

∴2 min内有8人离开队伍．

∴小杰到达A窗口还需要 min．

（2） ∵B窗口每分钟有6人买好饭离开队伍，且队伍后面每分钟又增加5人，

∴小杰转移到B窗口队伍后面到达B窗口还需要 min．

根据题意，得＞，解得a＞20．

∴a的取值范围是a＞20．

评注：本题重点考查根据实际问题列不等式的能力.

例2 （南充市）某学校计划购买40支钢笔和若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）．甲、乙两家文具店的标价都是钢笔每支10元，笔记本每本2元．甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7．5折．问：购买笔记本的数量在什么范围内时到甲店更合算？

解：设要购买笔记本x（x＞40）本，依题意，得

10×0．9×40＋2×0．8x＜10×40＋2×0．75×（x－8）．

解得x＜280．

∴ 当购买的笔记本数小于280本且大于40本时到甲店更合算．

评注：本题以学生熟悉的学习用具为题材，贴近学生的实际生活，考查了在实际问题中构建不等式的能力.在确定最后结论时，应特别注意题设条件：笔记本数超过钢笔数.

二、求特殊解解答实际问题

例3 （广东）将一箱苹果分给若干位小朋友．若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分不够8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数.

分析：本题关键是要抓住题中“若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分不够8个苹果”这一条件来建立关系式.

解：设有x位小朋友，则苹果为（5x＋12）个．

依题意，得0＜8x－（5x＋12）＜8．

解得4＜x＜．

∵ x是正整数，∴ x取5或6．

当x＝5时，5x＋12＝37；当x＝6时，5x＋12＝42．

∴ 有两种情况满足题意：①这一箱苹果有37个，小朋友有5位；②这一箱苹果有42个，小朋友有6位.

评注：本题考查了不等式的正整数解的求法．解题时应注意在不等式解集内找出所有符合题意的解.

例4 （旅顺口区）仔细观察下图，认真阅读对话．

根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价．

分析：从营业员的一段话可以得出三个关系式：①一盒饼干的价格低于10元；②一盒饼干的价格和一袋牛奶的价格合计多于10元；③一盒饼干的价格打9折后和一袋牛奶的价格合计为（10－0．8）元.从对话中还可知道一盒饼干的标价是整数元.

解：设饼干的标价为每盒x元，则牛奶的标价为每袋（10－0．8－0．9x）元．

依题意，得x＋（10－0．8－0．9x）＞10，

x＜10．

解得8＜x＜10．

∵ x是整数，∴ x＝9．所以10－0．8－0．9x＝1．1．

∴ 饼干每盒标价为9元，牛奶每袋标价为1．1元．

评注：该题由传统的“叙述式”变为“谈话式”，形式新颖、别致，给学生一种轻松自然的感觉.本题既考查了识图、读图的能力，又考查了一元一次不等式组的特殊解的求法及其在实际问题中的应用．这种新题型是近几年中考的热点之一，希望同学们多加关注.