不确定条件下缺货不补货的库存模型分析

潘祥武 （青岛滨海学院，山东 青岛 266555）

不确定条件下缺货不补货的库存模型分析

潘祥武 （青岛滨海学院，山东 青岛 266555）

对以前研究得很少的一种情况——连续检查库存、提前期固定、需求随机且缺货不补进行了分析，详细推导了其最佳订货点和订货批量，并探讨了简化计算的合理性，然后用EXCEL进行了实例计算，最后进一步推广到提前期也随机的情况。

随机；缺货；不补；最优策略

很多论著里都提到了延期交货下的最优库存策略参考[1]，有学者分析了确定情况下的缺货不补货最优库存策略[2]，但对随机情况下的缺货不补货模型，即订货当时不能满足即失去该笔交易 （简称为脱销或失销），研究的比较少，或讲述不详细[3]。本文尝试对随机情况下的缺货不补货模型的最优库存策略做比较详细的分析，并用EXCEL进行了实例的计算。

1 假设与符号说明

1.1 假设

物品需求为单一品种，不考虑生产能力约束；需求速度是连续、随机的；允许缺货，但缺货在下一周期不需补充；每次订货量、每次订购费、单位存贮费、单位缺货损失费均不变；入库时间很短，可以近似地看作零；没有价格折扣；订货有提前期，它固定或随机；假设使用连续检查，当库存下降到再订货点r时，订购q单位的货物；精确求解使期望年度存储、脱销和订购费用最低的q和r。

1.2 本文涉及的符号意义

TC（ q,r）：预期年度总费用，包括年度存储费用、订购费用和缺货不补 （脱销）的费用；C1：单位产品年度存储费用；C2：每次的订购费用 （不含产品采购价格）；C3：每次缺货不补货 （脱销）所导致的费用；L：各份订单的提前期，单位为年；T：周期，任意相邻的两个收到订购货物时间之间的时间间隔；D：年度需求量的随机变量，其均值为μ，标准差为σ；X：提前期内需求量的随机变量，其密度函数记为f，分布函数记为F，均值为μL，标准差为σL；fS：标准正态分布的密度函数；FS：标准正态分布的分布函数；S：安全库存；Br：每个周期的脱销量的随机变量，期望值为μr；I（t）：时间t时的净存储水平。

2 提前期固定、需求随机且缺货不补货的模型分析

图1简单描述了库存随时间下降的情况，示意了提前期、再订货点、订货量和缺货不补情况。

图1 缺货不补下的库存随时间变化示意图

2.1 预期年度总费用的计算

预期年度总费用由存储费用、订购费用和缺货不补的费用三部分组成，分述如下。

2.1.1 年度存储费用的计算

一个周期结束时I（t）的期望值约为：r-μL+μr。一个周期开始时I（t）的期望值约为：r-μL+q+μr。 因此， 一个周期内I（t）的期望值约为［周期开始时I（t）的期望值+周期结束时I（t）的期望值 ］/2=q/2+r-μL+μr。

年度存储费用约为：c1［q/2 + r-μL+μr］。

2.1.2 年度订购费用的计算

年度订购费用=c2*（期望订购次数/年 ）=c2μ/q。

2.1.3 年度脱销的费用的计算

年度脱销的费用=脱销费率*周期内期望脱销数量*年期望订购次数=c3μrμ/q。

2.1.4 总成本费用及最优解求解

年预期总费用：

将总成本函数先对q偏导，令它等于零，得：

再将总成本函数对r求偏导，令它等于零，得：

将式 （6）所表示的期望缺货值，代入式 （2）中，得：

3 实例计算分析

已知某产品的年度平均销售量为1 000台，年需求量服从标准差为40.8的正态分布。该产品从批发商那进货，每次订购两星期后到货，每次订购费用为50元。单位产品的年储存费用为10元。所有需求均不延期交货，缺货就意味着失销，失销时单位损失为40元。请你为该产品确定最优再订购点、订购量、安全库存水平及周期服务水平 （CSL） （一年以52周计）。

解：提前期需求量的平均值μL为：1 000/26＝38.46

先给一个初始值，比如y=0，计算正态损失函数值，再计算订货量，再反过来计算订货点；第二次迭代，用新的订货点计算y的值，计算正态损失函数值，再计算订货量，再反过来计算新的订货点，从而不断逼近最优解。用EXCEL计算的情况如表1。

表1

可根据实际意义来判断是否需进一步迭代。本例中，当相邻两次的订货量的差值小于等于1时，可认为无需继续迭代计算。因此，经过四轮运算，即可确定本题的最优解：最优再订货点为54.12；最优订货量为103；最优周期服务水平为97.49%；最优安全库存水平为15.66。

4 简化的计算

上面的计算有些复杂，可不可以不考虑缺货对订货量的影响，即仍沿用EOQ法来计算近似的最优订货量，然后再计算最优再订货点呢？回答是肯定的。仍以上题为例，用EOQ法计算的近似最优订货量：

用EXCEL中的统计函数求解，NORMINV（ 0.9756,38.46,8 ）=54.22，即最优再订货点为54.22单位；最优周期服务水平为97.56%；最优安全库存为15.76。除了订货量小三单位外，其它结果与前面精确计算的基本一致。

事实上，如提前期内需求的标准差为一较小值时，缺货对最优订货量的影响也较小。虽然，单位脱销的损失越大则订货点越大，订货点越大则安全库存越大，而安全库存越大，正态损失函数NL（y ）的值越小，所以，单位脱销的损失与正态损失函数NL（y）的值的乘积仍然较小，对最优订货量影响很小。以上面所述题目为例，笔者分别计算了单位脱销损失从10元到60元的六种情况下的单位脱销的损失与正态损失函数NL（y ）损的值的乘积，与订购费用50元相比，影响较小，不超过8%，具体情况如表2：

表2

5 进一步推广到提前期随机且服从正态分布的情况

表3

6 结束语

本文先分析了随机情况下缺货不补的最优库存策略，给出了具体的表达式，并用EXCEL针对正态分布的情况进行了实例计算，具有一定的理论和实践意义，然而还有一些问题待深入研究，包括可近似计算的具体条件，非正态分布下的计算，定期检查下的最优库存策略等。

[1]钱颂迪.运筹学[M].北京：清华大学出版社，1990.

[2]朱俊，詹明清.缺货不补的存贮模型分析[J].武汉汽车工业大学学报，1999(6)：76-79.

[3]Wayne L.Winston.运筹学：概率模型应用范例与解法[M].北京：清华大学出版社，2006.

Analysis of Non-compensated Understock Inventory Model Under Uncertainty

PAN Xiang-wu(Qingdao Binhai University,Qingdao 266555,China)

With continuous review inventory policy,the optimal strategies of understock inventory models which lead time is fixed,demand is stochastic and the absent is non-compensating,is seldom researched.This article attempt to make a analysis,deduce the optimal order point and order quantity,and discuss the rationality of simplified computation.Then,several examples are computed by the using of EXCEL.At last,the model is expaded to cincumstance which lead-time is random.

random;understock;non-compensating;optimal policy

F253.7

A

1002-3100(2010)01-0065-03

2009-06-19

潘祥武（1974-），男，湖北仙桃人，青岛滨海学院国际商学系，讲师，硕士，研究方向：物流与供应链管理。